תורת הקבוצות: מאפיינים, אלמנטים, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

תורת הקבוצות היא ענף של היגיון-אשר מתמטי אחראי לחקר יחסים בין הישויות בשם סטים. הסטים מאופיינים בכך שהם אוספים של חפצים מאותו אופי. אובייקטים אמריים הם האלמנטים של הסט ויכולים להיות: מספרים, אותיות, דמויות גיאומטריות, מילים המייצגות אובייקטים, האובייקטים עצמם ואחרים.

זה היה גיאורג קנטור, לקראת סוף המאה ה -19, שהציע את תורת הקבוצות. בעוד מתמטיקאים בולטים אחרים במאה העשרים עשו את הפורמליזם שלהם: גוטלוב פרגה, ארנסט צרמלו, ברטרנד ראסל, אדולף פרנקל.

איור 1. תרשים Venn של הסטים A, B והצומת שלהם A⋂ B. (פירוט משלו).

דיאגרמות Venn הן הדרך הגרפית לייצג קבוצה, והיא מורכבת מדמות מישור סגורה שבתוכה האלמנטים של הסט.

לדוגמא, באיור 1 מוצגות שתי קבוצות A ו- B, שיש בהן אלמנטים משותפים, האלמנטים המשותפים ל- A ו- B. אלה מהווים קבוצה חדשה הנקראת מערך הצומת של A ו- B, שכתוב בצורה סמלי כדלקמן:

א ∩ ב

מאפיינים

הסט הוא מושג פרימיטיבי כפי שהוא בגיאומטריה מושג נקודה, קו או מישור. אין דרך טובה יותר לבטא את המושג מאשר להצביע על דוגמאות:

סט E נוצר על ידי צבעי דגל ספרד. דרך זו לביטוי הסט נקראת על ידי הבנה. אותה קבוצה E שנכתבה על ידי סיומת היא:

E = {אדום, צהוב}

במקרה זה, אדום וצהוב הם אלמנטים של סט E. יצוין כי האלמנטים רשומים בסוגריים ואינם חוזרים על עצמם. במקרה של דגל ספרד ישנם שלושה פסים צבעוניים (אדום, צהוב, אדום), שניים מהם חוזרים על עצמם, אך האלמנטים אינם חוזרים על עצמם כאשר השלם בא לידי ביטוי.

נניח שהסט V נוצר על ידי שלושת אותיות הוויקל הראשונות:

V = {a, e, i}

מערך הכוח של V שמצוין על ידי P (V) הוא מערך כל הסטים שיכולים להיווצר בעזרת האלמנטים של V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

סוגי סטים

סט סופי

זוהי מערכת שבה האלמנטים שלה ניתנים לספור. דוגמאות לקבוצות סופיות הן אותיות האלף-בית הספרדי, תנועות ספרדיות, כוכבי הלכת של מערכת השמש, בין היתר. מספר האלמנטים בערכה סופית נקרא הקרדינליות שלה.

סט אינסופי

קבוצה אינסופית מובן שהיא כל כך שמספר האלמנטים שלה אינו ניתן לספירה, מכיוון שלא משנה כמה גדול יהיה מספר האלמנטים שלו, תמיד ניתן למצוא עוד אלמנטים.

דוגמה לסט אינסופי היא קבוצת המספרים הטבעיים N שבצורה נרחבת באה לידי ביטוי באופן הבא:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} הוא בבירור קבוצה אינסופית, מכיוון שלא משנה כמה גדול יכול להיות מספר טבעי, תמיד ניתן למצוא את המספר הבא בגודלו, בתהליך אינסופי. ברור שהקרדינליות של סט אינסופי היא ∞.

סט ריק

זה הסט שלא מכיל אלמנטים כלשהם. הערכה הריקה V מסומנת על ידי Ø או על ידי זוג מפתחות ללא אלמנטים בפנים:

V = {} = Ø.

הסט הריק הוא ייחודי, ולכן עליו להיות שגוי לומר "סט ריק", הטופס הנכון הוא לומר "הסט הריק".

בין המאפיינים של הסט הריק יש לנו שמדובר בתת קבוצה של כל קבוצה:

Ø ⊂ א

יתר על כן, אם ערכה היא תת-קבוצה של הסט הריק, בהכרח הסט האמור יהיה הוואקום:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

סט אחד

ערכת יחידות היא כל קבוצה המכילה אלמנט יחיד. לדוגמה, מערכת הלוויינים הטבעיים של כדור הארץ היא מערכת יחידה, שהיסוד היחיד שלה הוא הירח. לסט B של מספרים שלמים פחות מ- 2 וגדול מאפס יש רק אלמנט 1, ולכן הוא ערכת יחידות.

סט בינארי

סט הוא בינארי אם יש לו רק שני אלמנטים. לדוגמא הסט X, כך ש x הוא פיתרון של מספר אמיתי של x ^ 2 = 2. סט זה על ידי סיומת נכתב כך:

X = {-√2, + √2}

סט אוניברסלי

הסט האוניברסלי הוא סט המכיל קבוצות אחרות מאותו סוג או טבע. לדוגמה, הסט האוניברסלי של המספרים הטבעיים הוא קבוצת המספרים האמיתיים. אבל המספרים האמיתיים הם קבוצה אוניברסלית גם של המספרים השלמים והמספרים הרציונליים.

פריטי ליבה

- יחסים בין סטים

במכלולים ניתן ליצור קשרים מסוגים שונים בינם לבין גורמיהם. אם לשני קבוצות A ו- B יש אותם אלמנטים בדיוק ביניהם, נוצר קשר שוויוני, שמסומן כך:

א = ב

אם כל האלמנטים של סט A שייכים לסט B, אך לא כל האלמנטים של B שייכים ל- A, אז בין קבוצות אלה קיים קשר הכללה שמצוין כך:

A ⊂ B, אבל B ⊄ A

הביטוי לעיל נכתב: A היא תת-קבוצה של B, אך B אינה תת-קבוצה של A.

כדי לציין כי אלמנט או אלמנטים מסוימים שייכים לסט, סמל החברות ∈ משמש, למשל כדי לומר שאלמנט או אלמנטים של x שייכים לסט A נכתב באופן סמלי כך:

x ∈ א

אם אלמנט אינו שייך לסט A, הקשר הזה נכתב כך:

ו- ∉ א

יחסי החברות קיימים בין אלמנטים של סט לסט, למעט היחיד של מערכת הכוח, כאשר מערכת הכוח היא אוסף או קבוצה של כל הסטים האפשריים שיכולים להיווצר בעזרת האלמנטים של הסט האמור.

נניח V = {a, e, i}, מערכת הכוח שלו היא P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, במקרה זה הסט V הופך לאלמנט של הסט P (V) וניתן לכתוב אותו:

V ∈ P (V)

- מאפייני הכללה

המאפיין הראשון של ההכללה קובע כי כל קבוצה כלולה בפני עצמה, או במילים אחרות, שהיא תת-קבוצה של עצמה:

A ⊂ A

המאפיין האחר של הכללה הוא מעבר-דרך: אם A היא תת-קבוצה של B ו- B בתורו היא תת-משנה של C, אז A היא תת-קבוצה של C. בצורה סמלית, יחס הטרנזיטיביות נכתב כך:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

להלן תרשים Venn המתאים לטרנזיטיביות של הכללה:

איור 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- פעולות בין סטים

הִצטַלְבוּת

הצומת הוא פעולה בין שתי קבוצות שמולידה מערכת חדשה השייכת לאותה מערכה אוניברסאלית כמו שתי הראשונות. במובן זה, מדובר בפעולה סגורה.

באופן סמלי פעולת הצומת מנוסחת כך:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

דוגמה לכך היא הבאה: הסט A של האותיות במילה "אלמנטים" והערכה B של האותיות של המילה "חוזר", הצומת בין A ל B נכתב כך:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. הסט האוניברסלי U של A, של B וגם של A⋂B הוא קבוצת האותיות של האלף-בית הספרדי.

הִתאַחֲדוּת

האיחוד של שני סטים הוא הסט שנוצר על ידי האלמנטים המשותפים לשתי הסטים והאלמנטים הלא שכיחים של שני הסטים. פעולת האיחוד בין הסטים באה לידי ביטוי באופן סמלי כך:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

הֶבדֵל

פעולת ההפרש של סט A מינוס סט B מסומנת על ידי AB. AB הוא מערך חדש שנוצר על ידי כל האלמנטים שנמצאים ב- A ואינם שייכים ל- B. באופן סמלי זה כתוב כך:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

איור 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

הבדל סימטרי

ההבדל הסימטרי הוא פעולה בין שתי מערכות בהן הסט שהתקבל מורכב מהאלמנטים שאינם משותפים לשתי הסטים. ההבדל הסימטרי מיוצג באופן סמלי כך:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

דוגמאות

דוגמא 1

תרשים ה- Venn הוא דרך גרפית לייצוג מערכות. לדוגמה, ערכת C של האותיות בערכת המילים מיוצגת כך:

דוגמא 2

להלן מוצג בתרשימי Venn שקבוצת התנועות במילה "סט" היא תת-קבוצה של קבוצת האותיות במילה "סט".

דוגמא 3

הסט Ñ של אותיות האלף-בית הספרדי הוא קבוצה סופית, הסט הזה באמצעות סיומת כתוב ככה:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} והקרדינליות שלו היא 27.

דוגמא 4

הסט V של התנועות בספרדית הוא קבוצת משנה של הסט Ñ:

V ⊂ Ñ ולכן הוא קבוצה סופית.

הסט הסופי V בצורה נרחבת נכתב כך: V = {a, e, i, o, u} והקרדינליות שלו היא 5.

דוגמא 5

בהינתן הסטים A = {2, 4, 6, 8} ו- B = {1, 2, 4, 7, 9}, קבעו את AB ו- BA.

A - B הם האלמנטים של A שאינם ב- B:

א - ב = {6, 8}

B - A הם האלמנטים של B שאינם ב- A:

B - A = {1, 7, 9}

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

כתוב בצורה סמלית וגם בהרחבה את הסט P של מספרים טבעיים אפילו פחות מ -10.

הפיתרון: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

תרגיל 2

נניח לסט A שנוצר על ידי המספרים הטבעיים שהם גורמים של 210, והסט B שנוצר על ידי המספרים הטבעיים הראשוניים פחות מ 9. קבע בהרחבה את שני הקבוצות וקבע איזה קשר יש בין שתי הקבוצות.

הפיתרון: כדי לקבוע את האלמנטים של סט A, עלינו להתחיל למצוא את הגורמים של המספר הטבעי 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

ואז נכתב על הסט A:

A = {2, 3, 5, 7}

אנו רואים כעת את הסט B, שהוא הקדמונים הנמוכים מ 9. 1 אינו ראשוני מכיוון שהוא אינו עומד בהגדרת הפריים: "מספר הוא ראשוני אם ורק אם יש לו בדיוק שני מחלקים, 1 והמספר עצמו." ה- 2 שווה ובו זמנית הוא ראשוני מכיוון שהוא עונה להגדרה של פריים, שאר הפרימטים פחות מ -9 הם 3, 5 ו -7. אז הסט B הוא:

B = {2, 3, 5, 7}

לכן שתי הקבוצות שוות: A = B.

תרגיל 3

קבע את הסט שרכיביו x שונים מ- x.

הפיתרון: C = {x / x ≠ x}

מכיוון שכל אלמנט, מספר או אובייקט שווים לעצמו, הערכה C לא יכולה להיות אחרת מאשר הסט הריק:

C = Ø

תרגיל 4

תן לסט ה- N של המספרים הטבעיים ו- Z להיות קבוצת המספרים השלמים. קבע N ⋂ Z ו- N ∪ Z.

פִּתָרוֹן:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z כי N ⊂ Z.

הפניות

1. גארו, מ '(2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד פותרים משוואה ריבועית. מארילו גרו.
2. הייסלר, אי.פי, ופול, רס (2003). מתמטיקה לניהול וכלכלה. פירסון חינוך.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). מתמטיקה 1 SEP. מפתן.
4. Preciado, CT (2005). קורס מתמטיקה שלישי. פרוגרסו עריכה.
5. מתמטיקה 10 (2018). "דוגמאות לסטים סופיים". התאושש מ: matematicas10.net
6. ויקיפדיה. קבע תיאוריה. התאושש מ: es.wikipedia.com