סיכום טלסקופי: איך זה נפתר והתרגילים נפתרים - מתמטיקה - 2025

סכום הטלסקופים הם סדרה מספרית פעולות סניף. הוא עוסק בסיכום האלמנטים מערך התחלתי ל- "n" של ביטויים שהטיעון שלהם מציית לכל אחד מהדפוסים הבאים:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

כמו גם:

מקור: Pixabay.com

הם מייצגים סיכום של אלמנטים שכאשר הם פותחים, נתונים לביטולים של תנאים הפוכים. מה שמאפשר להגדיר את השוויון הבא לסיכומים טלסקופיים:

שמו מקורו במערכת היחסים עם המראה של טלסקופ קלאסי, שניתן לקפלו ולפרשו, ובמיוחד לשנות את הממד שלו. באותו אופן ניתן לסכם סיכומים טלסקופיים, שהם אין סופיים באופיים, בביטוי הפשוט:

F ₁ - F _{n + 1}

הפגנה

כשמפתחים את סיכום המונחים, ביטול הגורמים הוא די ברור. היכן שבכל אחד מהמקרים יופיעו אלמנטים הפוכים באיטרציה הבאה.

המקרה הראשון, (F _x - F _{x + 1} ), יילקח כדוגמא , שכן התהליך עובד בצורה הומולוגית עבור (F _{x + 1} –F _x ).

פיתוח שלושת הערכים הראשונים {1, 2, 3} נצפתה מגמת הפישוט

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

איפה כאשר מבטאים את סכום האלמנטים המתוארים:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

נציין כי המונחים F ₂ ו- F ₃ מתוארים יחד עם ניגודיהם, מה שהופך את הפישוט שלהם לבלתי נמנע. באותו אופן נציין כי המונחים F ₁ ו- F ₄ נשמרים.

אם הסכום נעשה מ- x = 1 ל- x = 3, זה אומר שהרכיב F ₄ תואם למונח הגנרי F _{n + 1.}

וכך מפגינים שוויון:

איך זה נפתר?

מטרת הסיכומים הטלסקופיים היא להקל על העבודה, כך שלא יהיה צורך לפתח מספר אינסופי של מונחים, או לפשט איזו שרשרת תוספות שהיא ארוכה מדי.

לצורך רזולוציה יהיה צורך רק להעריך את המונחים F ₁ ו- F _{n + 1} . ההחלפות הפשוטות הללו מהוות את התוצאה הסופית של הסיכום.

מכלול התנאים לא יבוא לידי ביטוי, יהפכו לנחוצים רק להפגנת התוצאה, אך לא לתהליך החישוב הרגיל.

הדבר החשוב הוא לשים לב להתכנסות של סדרת המספרים. לפעמים טיעון הסיכום לא יבוא לידי ביטוי טלסקופית. במקרים אלה יישום שיטות פקטורינג אלטרנטיביות נפוץ מאוד.

שיטת הפקטוריזציה האופיינית לתוספות טלסקופיות היא של שברים פשוטים. זה קורה כאשר שבר מקורי מתפרק לסכום של כמה שברים, בהם ניתן לצפות בתבנית הטלסקופית (F _x - F _{x + 1} ) או (F _{x + 1} - F _x ).

פירוק לשברים פשוטים

כדי לאמת את ההתכנסות של סדרות מספריות, מקובל מאוד לשנות ביטויים רציונליים בשיטת השבר הפשוט. המטרה היא לתכנן את העלילה לצורת סיכום טלסקופי.

לדוגמא, השוויון הבא מייצג פירוק לשברים פשוטים:

בעת פיתוח סדרת המספרים ויישום התכונות המתאימות, הביטוי לובש את הצורה הבאה:

איפה שמוערכים את הצורה הטלסקופית (F _x - F _{x + 1} ).

הנוהל די אינטואיטיבי ומורכב במציאת ערכי המונה שבלי הפרת השוויון מאפשרים להפריד בין המוצרים שנמצאים במכנה. המשוואות שעולות בקביעת ערכים אלה, מועלות על פי השוואה בין שני צידי השוויון.

הליך זה נצפה צעד אחר צעד בהתפתחות תרגיל 2.

הִיסטוֹרִיָה

לא ברור אם ניתן יהיה להגדיר את הרגע ההיסטורי בו הוצגו סיכומי הטלסקופיה. עם זאת, יישומה מתחיל להיראות במאה השבע עשרה, במחקרים של סדרות מספריות שביצעו לייבניץ והויגנס.

שני המתמטיקאים, בוחנים את סיכומי המספרים המשולשים, מתחילים להבחין במגמות בהתכנסות של סדרות מסוימות של אלמנטים רצופים. אבל אפילו יותר מעניין הוא תחילת הדוגמנות של ביטויים אלה, באלמנטים שלא בהכרח עוקבים זה אחר זה.

למעשה הביטוי ששימש בעבר להתייחס לשברים פשוטים:

זה הוצג על ידי הויגנס ומיד תפס את תשומת ליבו של לייבניץ. אשר לאורך זמן יכול היה להתבונן בהתכנסות לערך 2. מבלי לדעת זאת, הוא יישם את מתכונת הסיכום הטלסקופית.

תרגילים

תרגיל 1

הגדירו לאיזה מונח הסכום הבא מתכנס:

בעת פיתוח ידני של הסכום, התבנית הבאה נצפית:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

כאשר הגורמים מ- 2 ⁴ עד 2 ¹⁰ מראים חלקים חיוביים ושליליים, מה שמבהיר את ביטולם. ואז הגורמים היחידים שלא יתפשטו הם "2 ³ " הראשונים ו- "2 ¹¹ " האחרונים .

בדרך זו, בעת יישום קריטריון סיכום הטלסקופי, מתקבל הדבר הבא:

תרגיל 2

הפוך את הטיעון לסיכום מסוג טלסקופי והגדר את ההתכנסות של הסדרה:

כפי שצוין בהצהרה, הדבר הראשון שצריך לעשות הוא להתפרק לשברים פשוטים, על מנת להחזיר את הויכוח ולהביע אותו בצורה טלסקופית.

עליכם למצוא שני שברים שהמכנים בהם הם בהתאמה "n" ו- "n + 1", כאשר השיטה הנהוגה בהמשך חייבת להשיג את הערכים של המונה המספקים את השוויון.

אנו ממשיכים להגדיר את הערכים של A ו- B. ראשית, הוסף את השברים.

אז מפשטים את המכנים ומקימים משוואה לינארית.

בשלב הבא מופעל הביטוי מימין, עד להשגת תבנית הדומה ל" 3 "בצד שמאל.

כדי להגדיר את המשוואות בהן יש להשתמש, יש להשוות בין התוצאות של שני הצדדים לשוויון. במילים אחרות, לא נצפים ערכים של המשתנה n בצד שמאל, באופן זה A + B יצטרך להיות שווה לאפס.

A + B = 0; A = -B

מצד שני, הערך הקבוע יצטרך להיות שווה לערך הקבוע 3.

A = 3

לכן.

A = 3 ו- B = -3

לאחר הגדרת ערכי המונה עבור השברים הפשוטים, הסיכום הוחזר מחדש.

שם כבר הושגה הצורה הגנרית של סיכום טלסקופי. הסדרה הטלסקופית מפותחת.

כאשר כאשר מחלקים במספר גדול מאוד התוצאה תתקרב יותר ויותר לאפס, תוך התבוננות בהתכנסות הסדרה לערך 3.

לא ניתן היה לפתור סוג זה של סדרה בשום דרך אחרת, בשל המספר האינסופי של איטרציות המגדירות את הבעיה. עם זאת, שיטה זו, יחד עם רבים אחרים, ממסגרות את ענף המחקר של סדרות מספריות, שמטרתה לקבוע את ערכי ההתכנסות או להגדיר את הסטייה של הסדרה האמורה.

הפניות

1. שיעורי חשבון אינפיניטסימליים. מנואל פרנקו, מנואל פרנקו ניקולאס, פרנסיסקו מרטינז גונזלס, רוק מולינה לגז. EDITUM, 1994.
2. חשבון אינטגרלי: רצפים וסדרות פונקציות. אנטוניו ריברה פיגארואה. גרפו פטריאה, 21 באוקטובר. 2014.
3. קורס בחישוב ובניתוח אמיתי. סודהיר ר. גורפדה, בלמהאן. לימאי. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 5 ביוני. 2006.
4. סדרה אינסופית. פורט טומלינסון. הוצאת קלרנדון, 1930.
5. אלמנטים מתורת התהליכים האינסופיים. לויד לירוי סמייל. חברת הספרים McGraw-Hill, התאגדה, 1923.