סכום רימן הוא השם שניתן לחישוב המקורב של אינטגרל מובהק, באמצעות סיכום דיסקרטי עם מספר סופי של תנאים. יישום נפוץ הוא קירוב אזור הפונקציות בגרף.
היה זה המתמטיקאי הגרמני גאורג פרידריך ברנהרד רימן (1826-1866) שהציע לראשונה הגדרה קפדנית לאינטגרל של פונקציה בפרק זמן נתון. הוא הודיע זאת במאמר שפורסם בשנת 1854.
איור 1. סכום רימן מוגדר על פונקציה f ועל מחיצה במרווח. מקור: פאני זפטה.
סכום רימן מוגדר בפונקציה y = f (x), כאשר x שייך למרווח הסגור. במרווח זה נוצרת מחיצה P של אלמנטים n:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
המשמעות היא שהמרווח מחולק באופן הבא:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
איור 1 מציג באופן גרפי את סכום רימן של הפונקציה f במרווח על מחיצה של ארבע אינטרוולים תת-מימדיים, המלבנים האפורים.
הסכום מייצג את השטח הכולל של המלבנים והתוצאה של סכום זה מתקרבת באופן מספרי לשטח שמתחת לעיקול f, בין האבסיסה x = x 0 ל- x = x 4 .
כמובן שהקירוב לאזור שמתחת לעיקול משתפר מאוד ככל שמספר ה- n של המחיצות גדול יותר. באופן זה הסכום מתכנס לאזור שמתחת לעיקול, כאשר מספר n של המחיצות נוטה לאינסוף.
נוסחאות ותכונות
סכום רימן של הפונקציה f (x) במחיצה:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
מוגדר על פני המרווח, הוא ניתן על ידי:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
כאשר t k הוא ערך במרווח. בסכום רימן משתמשים לרוב במרווחים קבועים ברוחב Δx = (b - a) / n, כאשר a ו- b הם הערכים המינימליים והמקסימליים של האבסיסה, בעוד n הוא מספר חלוקות המשנה.
במקרה זה הסכום הנכון של רימן הוא:
Sd (f, n) = * Δx
איור 2. סכום ימני של רימן. מקור: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
ואילו הסכום השמאלי של רימן בא לידי ביטוי כ:
אם (f, n) = * Δx
איור 3. סכום רימן שמאלי. מקור: Wikimedia Commons. 09glasgow09
סוף סוף סכום רימן המרכזי הוא:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
איור 4. סכום רימן ביניים. מקור: Wikimedia Commons. 09glasgow09
תלוי איפה הנקודה tk נמצאת במרווח, סכום רימן יכול להעריך או להמעיט בערך המדויק של האזור שמתחת לעיקול הפונקציה y = f (x). במילים אחרות, המלבנים יכולים לבלוט מהעקומה או להיות מעט מתחתיו.
השטח שמתחת לעיקול
המאפיין העיקרי של סכום רימן וממנו נובע חשיבותו, הוא שאם מספר מחלקות המשנה נוטות לאינסוף, התוצאה של הסכום מתכנסת לאינטגרל המובהק של הפונקציה:
תרגילים שנפתרו
- תרגיל 1
חשב את הערך של האינטגרל המוגדר בין a = -2 עד b = +2 של הפונקציה:
f (x) = x 2
השתמש בסכום של רימן. לשם כך, מצא תחילה את הסכום עבור n מחיצות רגילות של המרווח ואז קח את המגבלה המתמטית למקרה שמספר המחיצות נוטה לאינסוף.
פִּתָרוֹן
אלה הם השלבים הבאים:
ראשית, מרווח המחיצה מוגדר כ:
Δx = (b - a) / n.
ואז סכום רימן מימין המתאים לפונקציה f (x) נראה כך:
ואז הוא מוחלף בזהירות בסיכום:
השלב הבא הוא להפריד את הסיכומים ולקחת את הכמויות הקבועות כגורם משותף לכל סכום. יש לקחת בחשבון שהמדד הוא i, ולכן המספרים והמונחים עם n נחשבים קבועים:
-כל סכום מוערך, שכן לכל אחד מהם יש ביטויים מתאימים. לדוגמה, הראשון מבין הסכומים נותן n:
בסופו של דבר, האינטגרל שיש לחשב הוא:
הקורא יכול לבדוק שזו התוצאה המדויקת, שניתן להשיג על ידי פתרון האינטגרל הבלתי מוגדר והערכת גבולות האינטגרציה לפי הכלל של בארו.
- תרגיל 2
קבע בערך את השטח תחת הפונקציה:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (x 2 /2)
הזן x = -1 ו- x = + 1, בעזרת סכום רימן מרכזי עם 10 מחיצות. השווה עם התוצאה המדויקת והערך את הפרש האחוזים.
פִּתָרוֹן
השלב או התוספת בין שני ערכים נפרדים ברציפות הוא:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0.2
אז המחיצה P עליה מוגדרים המלבנים נראית כך:
P = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}
אך מכיוון שהרצוי הוא הסכום המרכזי, הפונקציה f (x) תוערך בנקודות האמצע של אינטרוולים המשנה, כלומר בערכה:
T = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}.
סכום רימן (המרכזי) נראה כך:
S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 + … + f (0.7) * 0.2 + f (0.9) * 0.2
מכיוון שהפונקציה f היא סימטרית, ניתן להפחית את הסכום ל -5 מונחים בלבד והתוצאה מוכפלת על ידי שניים:
S = 2 * 0.2 * {f (0.1) + f (0.3) + f (0.5) + f (0.7) + f (0.9)}
S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683
הפונקציה שניתנה בדוגמה זו היא לא אחרת מאשר הפעמון הגאוסי הידוע (מנורמל, עם הממוצע שווה לאפס וסטיית תקן). האזור שמתחת לעיקול במרווח לפונקציה זו ידוע כ- 0.6827.
איור 5. איור 5. שטח מתחת לפעמון גאוסי, המשוער בסכום רימן. מקור: פ. זפטה.
משמעות הדבר היא שהפתרון המשוער עם 10 מונחים בלבד תואם את הפיתרון המדויק לשלושה מקומות עשרוניים. אחוז השגיאה בין האינטגרל המקורב והמדויק הוא 0.07%.
הפניות
- Casteleiro, JM, and Gómez-Álvarez, RP (2002). חשבון אינטגרלי (מאויר). מדריד: מערכת ESIC.
- אמריקאים. היסטוריה של מושג האינטגרל. התאושש מ: repositorio.unican.es
- UIS. רימן מסכם. התאושש מ: matematicas.uis.edu.co
- ויקיפדיה. סכום רימן. התאושש מ: es.wikipedia.com
- ויקיפדיה. שילוב רימן. התאושש מ: es.wikipedia.com