לשתי נקודות A ו- A 'יש סימטריה מרכזית ביחס לנקודה O כאשר הקטע AA' עובר דרכה והיא גם נקודת האמצע של AA '. נקודה O נקראת מרכז הסימטריה.
הסימטריה המרכזית של משולש ABC ביחס לנקודה O, היא משולש A'B'C נוסף שיש לו את המאפיינים הבאים:
-מקטעים הומולוגיים באורך שווה
-זוויות המקבילות שלהם יש את אותה מידה.
איור 1. משולש ABC וה- A'B'C הסימטרי שלו. מקור: פ. זפטה.
איור 1 מראה משולש ABC (אדום) והסימטריה המרכזית שלו A'B'C '(ירוק), ביחס למרכז הסימטריה O.
באותה נתון, צופה קשוב היה מבין שאותה תוצאה מתקבלת על ידי יישום סיבוב של המשולש המקורי, כל עוד הוא 180 מעלות ומרכזו O.
לפיכך, סימטריה מרכזית שווה לסיבוב של 180 מעלות ביחס למרכז הסימטריה.
מאפייני סימטריה מרכזית
לסימטריה מרכזית יש את המאפיינים הבאים:
מרכז הסימטריה הוא נקודת האמצע של הקטע המצטרף לנקודה עם הסימטריה שלו.
-נקודה סימטרית של אחר שנמצא במרכז הסימטריה, עולה בקנה אחד עם מרכז הסימטריה.
-הסימטריה המרכזית של משולש היא משולש הלימה (שווה) למקור.
-תמונה בסימטריה מרכזית של מעגל היא מעגל נוסף ברדיוס שווה.
להיקף יש סימטריה מרכזית ביחס למרכז עצמו.
איור 2. עיצוב עם סימטריה מרכזית. מקור: Pixabay.
לאליפסה סימטריה מרכזית ביחס למרכזה.
למקטע יש סימטריה מרכזית ביחס לנקודת האמצע שלו.
למשולש השווה-צדדי אין סימטריה מרכזית ביחס למרכזו, מכיוון שהסימטריה שלו, על אף שהיא מתיישבת עם הראשונה, נותנת משולש שווה-צלעות מסתובבות.
לריבועים סימטריה מרכזית ביחס למרכזם.
מחומש חסר סימטריה מרכזית ביחס למרכזו.
למצולעים רגילים יש סימטריה מרכזית כאשר יש להם מספר שווה של דפנות.
דוגמאות
לקריטריונים של סימטריה יישומים רבים בתחום המדע וההנדסה. סימטריה מרכזית קיימת בטבע, למשל גבישי קרח וסוגי עכביש יש סימטריה מסוג זה.
יתר על כן, בעיות רבות נפתרות בקלות כאשר מנצלים את קיומה של סימטריה מרכזית וסוגי סימטריה אחרים. לכן, נוח לזהות במהירות מתי זה מתרחש.
איור 3. לגבישים של קרח יש סימטריה מרכזית. מקור: Pixabay.
דוגמא 1
בהינתן נקודה P של קואורדינטות (א, ב), עלינו למצוא את הקואורדינטות של P הסימטרי שלה ביחס למקור O של הקואורדינטות (0, 0).
הדבר הראשון הוא לבנות את הנקודה P ', שלגביה נמתח קו העובר דרך המקור O ודרך הנקודה P. המשוואה של קו זה היא y = (b / a) x.
עכשיו בוא נקרא (a ', b') את הקואורדינטות של הנקודה הסימטרית P '. נקודה P 'חייבת לשכב על הקו שעובר דרך O ולכן היא נכונה: b' = (b / a) a '. בנוסף, המרחק OP חייב להיות שווה ל- OP ', שנכתב באופן אנליטי כך:
√ (a 2 + b 2 ) = √ (a ' 2 + b' 2 )
להלן החלפה של b '= בביטוי הקודם וריבוע את שני צידי השוויון בכדי לחסל את השורש הריבועי: (a 2 + b 2 ) =
על ידי חילוץ גורם משותף ופישוט, אנו מקבלים ש- 2 = a 2 . למשוואה זו שני פתרונות אמיתיים: a '= + a או a' = -a.
כדי לקבל b ', אנו שוב משתמשים ב b' = (b / a) a '. אם החלפת הפיתרון החיובי של a ', אנו מגיעים לאותה b' = b. וכשמוחלף הפיתרון השלילי, אז b '= -b.
הפיתרון החיובי נותן עבור P את אותה נקודה P, כך שהיא מושלכת. הפיתרון השלילי בהחלט נותן את קואורדינטות הנקודה הסימטרית:
P ': (-a, -b)
דוגמא 2
זה נדרש להראות שלמקטע AB וה- A'B הסימטרי המרכזי שלו יש אותו אורך.
החל מקואורדינטות של נקודה A, שהם (גרזן, אי) ואלה של נקודה B: (Bx, על ידי), אורך הקטע AB ניתן על ידי:
d (AB) = √ ((Bx - גרזן) 2 + (על ידי - אי) 2 )
באנלוגיה, לקטע הסימטרי A'B יהיה אורך הניתן על ידי:
d (A'B ') = √ ((Bx' - גרזן ') 2 + (מאת' - Ay ') 2 )
הקואורדינטות של הנקודה הסימטרית A 'הן Ax' = -Ax ו- Ay '= -Ay. באופן דומה אלה של B 'הם Bx' = -Bx ו- By '= -By. אם הקואורדינטות הללו מוחלפות במשוואה של המרחק d (A'B ') יש לנו:
d (A'B ') = √ ((-Bx + גרזן) 2 + (-By + Ay) 2 ) שזה שווה ל:
√ ((Bx - Ax) 2 + (על ידי - Ay) 2 ) = d (AB)
וכך מוצג ששני המקטעים בעלי אורך זהה.
תרגילים שנפתרו
- תרגיל 1
הראה באופן אנליטי ש- O הסימטרי המרכזי של מעגל רדיוס R ומרכז O הוא אותו מעגל מקורי.
פִּתָרוֹן
המשוואה של מעגל עם רדיוס R ומרכז O (0,0) היא:
x 2 + y 2 = R 2 (משוואת היקף C)
אם נמצא בכל נקודה P של היקף y של קואורדינטות (x, y) P 'הסימטרי שלה של הקואורדינטות (x', y '), המשוואה של ההיקף הסימטרי היא:
x ' 2 + y' 2 = R 2 (משוואה של המעגל הסימטרי C ')
כעת אנו מתייחסים לתוצאה של דוגמא 1, בה הוסכם כי הקואורדינטות של נקודה P ', סימטריות ל- P ועם קואורדינטות (a, b), הן (-a, -b).
אך בתרגיל זה, לנקודה P יש קואורדינטות (x, y), כך ש- P 'הסימטרי שלה יהיה קואורדינטות x' = -xe y '= -y. החלפת זאת במשוואה של המעגל הסימטרי שיש לנו:
(-x) 2 + (-y) 2 = R 2
המקבילה ל: x 2 + y 2 = R 2 , למסקנה שהסימטריה המרכזית של מעגל ביחס למרכזו היא המעגל עצמו.
- תרגיל 2
הראה בצורה גיאומטרית שהסימטריה המרכזית שומרת על הזוויות.
פִּתָרוֹן
תרשים 4. בניית הנקודות הסימטריות לתרגיל 2. מקור: F. Zapata.
יש שלוש נקודות A, B ו- C במטוס. הסימטריות שלה A ', B' ו- C 'בנויות ביחס למרכז הסימטריה O, כפי שמוצג באיור 4.
כעת עלינו להראות כי לזווית ∡ABC = β יש מידה זהה לזווית ∡A'B'C '= β'.
מכיוון ש- C ו- C 'הם סימטריים, אז OC = OC'. באופן דומה OB = OB 'ו- OA = OA'. מצד שני, הזווית ∡BOC = ∡B'OC מכיוון שהם מתנגדים לקודקוד.
לכן המשולשים BOC ו- B'OC הם חופפים מכיוון שיש להם זווית שווה בין שני צדדים שווים.
מכיוון ש- BOC עולה בקנה אחד עם B'OC 'אז הזוויות γ ו- γ' שוות. אבל זוויות אלה, בנוסף למילוי של γ = γ ', הן תחליפים פנימיים בין קווים לפנה"ס ו- B'C ", מה שמשמע כי קו BC מקביל ל- B'C.
באופן דומה BOA עולה בקנה אחד עם B'OA 'שממנו יוצא כי α = α'. אבל α ו- α 'הם זוויות פנים חלופיות בין שורות BA ו- B'A', ומתוכם ניתן להסיק כי קו BA מקביל ל- B'A.
מכיוון שלזווית ∡ABC = β הצדדים שלו מקבילים לזווית ∡A'B'C '= β' וגם שניהם חדים, ניתן להסיק כי:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
מתוך הוכחה בדרך זו, כי הסימטריה המרכזית שומרת על מידת הזוויות.
הפניות
- Baldor, JA 1973. מטוס וגיאומטריה בחלל. תרבות מרכז אמריקה.
- חוקים ונוסחאות מתמטיים. מערכות מדידת זווית. התאושש מ: ingemecanica.com.
- וונטוורת ', ג. גיאומטריה של מטוס. התאושש מ: gutenberg.org.
- ויקיפדיה. סימטריה מרכזית. התאושש מ: es.wikipedia.com
- ויקיפדיה. מַסוֹעַ. התאושש מ: es.wikipedia.com
- זפאטה פ. מצמידים זוויות פנימיות וחיצוניות. התאושש מ: lifeder.com