הכלל של סימפסון: נוסחה, הוכחה, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

סימפסון של הכלל הוא שיטה לחישוב, כ, אינטגרלים מובהקים. זה מבוסס על חלוקת מרווח השילוב למספר אחיד של מרווחי משנה מרווחים באותה מידה.

הערכים הקיצוניים של שני מרווחי משנה רצופים מגדירים שלוש נקודות, דרכן משתלבת פרבולה, שהמשוואה שלה היא פולינום מדרגה שנייה.

איור 1. בשיטה של ​​סימפסון, מרווח האינטגרציה מחולק למספר אחיד של מרווחים ברוחב שווה. הפונקציה משוערת על ידי פרבולה בכל 2 תת מרווחים והאינטגרל משוער בסכום השטח שמתחת לפרבולות. מקור: upv.es.

ואז האזור שמתחת לעיקול הפונקציה בשני המרווחים ברציפות מוערך על ידי שטח פולינום האינטרפולציה. הוספת התרומה לאזור שמתחת לפרבולה של כל מרווחי המשנה העוקבים, יש לנו את הערך המשוער של האינטגרל.

מצד שני, מכיוון שניתן לחשב את אינטגרל הפרבולה בצורה אלגברית במדויק, ניתן למצוא נוסחה אנליטית לערך המשוער של האינטגרל המוגדר. זה ידוע כנוסחת סימפסון.

השגיאה בתוצאה המשוערת שהתקבלה כך יורדת ככל שמספר חלוקות המשנה n גדול יותר (כאשר n הוא מספר אחיד).

להלן יינתן ביטוי המאפשר להעריך את הגבול העליון של שגיאת הקירוב למצב האינטגרלי I, כאשר נעשתה מחיצה של n מרווחי משנה רגילים של המרווח הכולל.

נוּסחָה

מרווח האינטגרציה מחולק לתת-מרווחי משנה כאשר n הוא מספר שלם אפילו. רוחב כל חלוקת משנה יהיה:

h = (b - a) / n

באופן זה, המחיצה נעשית על פני המרווח:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

כאשר X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2 שעות, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

הנוסחה המאפשרת קירוב אינטגרלי I המוגדר של הפונקציה הרציפה והעדיפה חלקה במרווח היא:

הפגנה

כדי להשיג את הנוסחה של סימפסון, בכל חלוקת משנה הפונקציה f (X) משוערת על ידי פולינום מדרגה שנייה p (X) (פרבולה) העוברת בשלוש הנקודות:; ו.

ואז מחושב האינטגרל של הפולינום p (x) בו הוא מתקרב לאינטגרל של הפונקציה f (X) באותו מרווח.

איור 2. תרשים להדגמת הנוסחה של סימפסון. מקור: פ. זפטה.

מקדמים של פולינום האינטרפולציה

למשוואה של הפרבולה p (X) יש את הצורה הכללית: p (X) = AX ² + BX + C. כאשר הפרבולה עוברת דרך הנקודות Q המצוינות באדום (ראה איור), אז המקדמים A, B, C נקבעים ממערכת המשוואות הבאה:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

ניתן לראות כי המקדם C נקבע. כדי לקבוע את המקדם A אנו מוסיפים את המשוואות הראשונה והשלישית שמתקבלות:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

ואז מוחלף הערך של C ונמחק A, ומשאיר:

A = / (2 שעות ² )

כדי לקבוע את המקדם B, משוואת המשוואה השלישית מהראשונה ונפתרת B, תוך השגת:

B = = 2 שעות.

לסיכום, לפולינום מדרגה ראשונה p (X) שעובר בנקודות צ'י, צ'י + 1 ו- צ'י + 2 יש מקדמים:

A = / (2 שעות ² )

B = = 2 שעות

C = f (Xi + 1)

חישוב האינטגרל המשוער ב-

חישוב משוער של האינטגרל ב-

כאמור, מחיצה {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} נעשית על פני מרווח האינטגרציה הכולל עם שלב h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, שם n הוא מספר שווה.

שגיאת קירוב

שים לב שהשגיאה פוחתת עם העוצמה הרביעית של מספר חלוקות המשנה במרווח. לדוגמה, אם אתה עובר מחלקות משנה ל- 2n, השגיאה פוחתת בגודל 1/16.

את הגבול העליון של השגיאה המתקבלת באמצעות קירוב סימפסון ניתן לקבל מאותה נוסחה, והחליף את הנגזרת הרביעית בערך המוחלט המרבי של הנגזרת הרביעית במרווח.

דוגמאות מעובדות

- דוגמה 1

שקול את הפונקציה f (X) = 1 / (1 + X ² ).

מצא את האינטגרל המוגדר של הפונקציה f (X) על המרווח בשיטה של ​​סימפסון עם שתי מחלקות משנה (n = 2).

פִּתָרוֹן

אנו לוקחים n = 2. גבולות האינטגרציה הם a = -1 ו- b = -2, כך שהמחיצה נראית כך:

X0 = -1; X1 = 0 ו- X2 = +1.

לכן הנוסחה של סימפסון לובשת את הצורה הבאה:

איור 3. דוגמה לשילוב מספרי לפי הכלל של סימפסון באמצעות תוכנה. מקור: פ. זפטה.

הפניות

1. Casteleiro, JM 2002. חישוב מקיף (מהדורה מאוירת). מדריד: מערכת ESIC.
2. UPV. השיטה של ​​סימפסון. האוניברסיטה הפוליטכנית של ולנסיה. התאושש מ-: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. המהדורה התשיעית של החשבון. אולם פרנטיס.
4. ויקיפדיה. הכלל של סימפסון. התאושש מ: es.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. אינטרפולציה פולינומית של לגראנז '. התאושש מ: es.wikipedia.com