הנמקה אלגברית (עם תרגילים שנפתרו) - מתמטיקה - 2025

חשיבה אלגברית בעיקרו מורכב טיעון מתמטי מתקשר באמצעות שפה מיוחדת, מה שהופך אותו יותר משתנים קפדני וכלליות באמצעות פעולות אלגבריות הוגדרו וכל האחרים. מאפיין של המתמטיקה הוא הקפדנות והנטייה המופשטת המשמשים בטיעוניה.

זה מחייב לדעת את "הדקדוק" הנכון לשימוש בכתיבה זו. יתר על כן, הנמקה אלגברית נמנעת מעמימות בהצדקת טיעון מתמטי, שהוא חיוני להוכחת כל תוצאה במתמטיקה.

משתנים אלגבריים

משתנה אלגברי הוא פשוט משתנה (אות או סמל) המייצג אובייקט מתמטי מסוים.

לדוגמה, האותיות x, y, z משמשות לרוב לייצוג המספרים המספקים משוואה נתונה; האותיות p, qr, לייצוג נוסחאות הצעה (או אותיות רישיות בהתאמה לייצוג הצעות ספציפיות); ואת האותיות A, B, X וכו ', לייצוג קבוצות.

המונח "משתנה" מדגיש כי האובייקט המדובר אינו קבוע, אלא משתנה. כזה הוא המקרה של משוואה, שבה משתמשים במשתנים לקביעת פתרונות שאינם ידועים באופן עקרוני.

באופן כללי, ניתן לראות במשתנה אלגברי כאות המייצגת אובייקט כלשהו, ​​בין שהוא קבוע ובין אם לא.

כשם שמשתנים אלגבריים משמשים לייצוג אובייקטים מתמטיים, אנו יכולים גם לשקול סמלים לייצג פעולות מתמטיות.

לדוגמה, הסמל "+" מייצג את הפעולה "תוספת". דוגמאות נוספות הן הרישומים הסמליים השונים של קישוריות לוגיות במקרה של הצעות וסטים.

ביטויים אלגבריים

ביטוי אלגברי הוא שילוב של משתנים אלגבריים באמצעות פעולות שהוגדרו קודם. דוגמאות לכך הן הפעולות הבסיסיות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק בין מספרים, או הקשרים קישור הגיוני בהצעות ובתפאורות.

הנמקה אלגברית אחראית לביטוי נימוק או טיעון מתמטיים באמצעות ביטויים אלגבריים.

צורת ביטוי זו מסייעת לפישוט ולקיצור הכתיבה, מכיוון שהיא עושה שימוש ברישומים סימבוליים ומאפשרת הבנה טובה יותר של ההנמקה, הצגתה בצורה ברורה ומדויקת יותר.

דוגמאות

בואו נסתכל על כמה דוגמאות המראות כיצד משתמשים בהיגיון האלגברי. משתמשים בו באופן קבוע כדי לפתור בעיות היגיון וחשיבה, כפי שנראה בקרוב.

קחו למשל את ההצעה המתמטית הידועה "הסכום של שני מספרים הוא קומוטטיבי." בואו נראה כיצד אנו יכולים לבטא את ההצעה הזו באופן אלגברי: בהינתן שני מספרים "a" ו- "b", משמעותה של הצעה זו היא ש- + b = b + a.

ההנמקה המשמשת לפירוש האמירה הראשונית ולהביע אותה במונחים אלגבריים היא הנמקה אלגברית.

נוכל להזכיר גם את הביטוי המפורסם "סדר הגורמים לא משנה את המוצר", המתייחס לעובדה שתוצר של שני מספרים הוא גם קומוטיטיבי, והוא בא לידי ביטוי אלגברי כמו axb = bxa.

באופן דומה, ניתן לבטא (ויבואו) את המאפיינים האסוציאטיביים וההפצה לתוספות ולמוצר, שכלולים בהם חיסור וחלוקה, באופן אלגברי.

הנמקה מסוג זה מקיפה שפה רחבה מאוד ומשמשת בהקשרים רבים ושונים. בהתאם לכל מקרה ומקרה, בהקשרים אלה יש צורך להכיר דפוסים, לפרש משפטים ולהכליל ולנסח את הביטוי שלהם במונחים אלגבריים, תוך מתן הנמקה תקפה ורצף.

תרגילים שנפתרו

להלן כמה בעיות לוגיות שנפתור באמצעות הנמקה אלגברית:

תרגיל ראשון

מה המספר שלוקח חצי ממנו שווה למספר?

פִּתָרוֹן

כדי לפתור תרגיל מסוג זה, כדאי מאוד לייצג את הערך שאנו רוצים לקבוע באמצעות משתנה. במקרה זה אנו רוצים למצוא מספר שכאשר לוקחים מחצית ממנו מביא למספר הראשון. נסמן ב- x את המספר המבוקש.

"לקיחת מחצית" מספר מרמז על חלוקתו ב- 2. כך שניתן לבטא את האמור לעיל באופן אלגברי כ- x / 2 = 1, והבעיה מסתכמת בפתרון משוואה, שבמקרה זה היא ליניארית וקלה מאוד לפיתרון. בפתרון ל- x נקבל שהפתרון הוא x = 2.

לסיכום, 2 הוא המספר שכאשר לוקחים מחצית שווה ל -1.

תרגיל שני

כמה דקות עד חצות אם לפני 10 דקות 5/3 ממה שנותר עכשיו?

פִּתָרוֹן

נסמן על ידי "z" את מספר הדקות עד חצות (ניתן להשתמש בכל אות אחרת). כלומר כרגע יש "z" דקות עד חצות. זה מרמז שלפני 10 דקות, "z + 10" דקות היו חסרות לחצות וזה תואם 5/3 ממה שחסר עכשיו; כלומר, (5/3) z.

ואז הבעיה מסתכמת בפתרון המשוואה z + 10 = (5/3) z. הכפלת שני הצדדים של השוויון ב -3, נקבל את המשוואה 3z + 30 = 5z.

כעת, כאשר מקבצים את המשתנה "z" בצד אחד של שוויון, אנו משיגים את ה- 2z = 15, מה שמשתמע ש- z = 15.

אז השעה 15 דקות לחצות.

תרגיל שלישי

בשבט העוסק בסחר חליפין, ישנן שווי ערך אלה:

- חנית ושרשרת מחליפים למגן.

- חנית שווה סכין ושרשרת.

- מחליפים שני מגנים לשלוש יחידות סכינים.

כמה שרשראות שווה חנית לזה?

פִּתָרוֹן

שון:

Co = שרשרת

L = חנית

E = מגן

Cu = סכין

אז יש לנו מערכות היחסים הבאות:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

אז הבעיה מסתכמת בפתרון מערכת משוואות. למרות שיש יותר אלמונים משוואות, ניתן לפתור מערכת זו, מכיוון שהיא לא מבקשת מאיתנו פתרון ספציפי אלא אחד מהמשתנים כפונקציה של אחרת. מה שעלינו לעשות הוא לבטא "Co" במונחים של "L" באופן בלעדי.

מהמשוואה השנייה יש לנו כי Cu = L - Co. המחליף בשלישי אנו משיגים ש- E = (3L - 3Co) / 2. לבסוף, החלפה במשוואה הראשונה ופישוטה מתקבלת כי 5Co = L; כלומר חנית שווה לחמש שרשראות.

הפניות

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). מתמטיקה: גישה לפיתרון בעיות עבור מורים לחינוך יסודי. עורכי לופז מטוס.
2. Fuentes, A. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחשבון. Lulu.com.
3. García Rua, J., & Martínez Sánchez, JM (1997). מתמטיקה בסיסית יסודית. משרד החינוך.
4. Rees, PK (1986). אַלגֶבּרָה. Reverte.
5. רוק, נ.מ. (2006). אלגברה אני קלה! כל כך קל. צוות רוק עיתונות.
6. סמית ', ס.א. (2000). אַלגֶבּרָה. פירסון חינוך.
7. Szsei, D. (2006). מתמטיקה בסיסית וקדם-אלגברה (מאויר). עיתונות קריירה.