מידתיות מורכבת: הסבר, כלל מורכב משלושה, תרגילים - מתמטיקה - 2025

המידתיות המורכבות או מרובות היא היחס של מעל שני גדלים, אשר ניתן לצפייה במישרין ומידתי הפוך בין נתון הלא הנודע. זוהי גרסה מתקדמת יותר של מידתיות פשוטה, אם כי הטכניקות המשמשות בשני הנהלים דומות.

לדוגמה, אם נדרשים 7 אנשים כדי לפרוק 10 טונות של סחורה ב -3 שעות, ניתן להשתמש במידתיות המורכבת כדי לחשב כמה אנשים יידרשו לפרוק 15 טון ב -4 שעות.

מקור: pixabay.com

כדי לענות על שאלה זו, נוח להכין טבלת ערכים ללימוד ולקשר בין הגודל והלא נודע.

אנו ממשיכים לנתח את סוגי מערכות היחסים בין כל סדר גודל לבין הלא נודע הנוכחי, אשר במקרה זה תואם את מספר האנשים שיעבדו.

ככל שמשקל הסחורה עולה, כך גם מספר האנשים הנדרש לפרוק אותו. בגלל זה, הקשר בין משקל לעובדים הוא ישיר.

לעומת זאת, ככל שמספר העובדים גדל, שעות העבודה פוחתות. בשל כך, היחסים בין אנשים ושעות עבודה הם מהסוג ההפוך.

כיצד לחשב פרופורציות מורכבות

כדי לפתור דוגמאות כמו זו שלמעלה, נעשה שימוש ברובו הכלל המורכב משלוש שיטות. זה מורכב מקביעת סוגי מערכות היחסים בין כמויות לא נודעות ואז ייצוג מוצר בין שברים.

לגבי הדוגמא הראשונית, השברים התואמים לטבלת הערכים מסודרים כדלקמן:

אך לפני שנפתור ופותר את הלא נודע, יש להפוך את השברים התואמים למערכת היחסים ההפוכה. שמתאים למקרה זה לזמן המשתנה. בדרך זו, הפעולה לפיתרון תהיה:

שההבדל היחיד שלו הוא היפוך השבר המתאים למשתנה הזמן 4/3. אנו ממשיכים לפעול ולנקות את הערך של x.

לפיכך, דרושים יותר מאחד-עשר אנשים בכדי שיוכלו לפרוק 15 טונות של סחורה תוך 4 שעות או פחות.

הֶסבֵּר

מידתיות היא הקשר המתמיד בין כמויות הנתונות לשינוי, שיהיו סימטריות לכל אחד מהכמויות המעורבות. ישנם קשרים פרופורציונאליים באופן ישיר והפוך, ובכך מגדירים את הפרמטרים של מידתיות פשוטה או מורכבת.

כלל ישיר של שלושה

זה מורכב מקשר יחסי בין משתנים, המראים את אותה התנהגות בעת שינוי. זה תכוף מאוד בחישוב האחוזים המתייחסים לעוצמות שאינן מאה, שם מוערך המבנה הבסיסי שלה.

כדוגמה ניתן לחשב 15% מתוך 63. במבט ראשון לא ניתן להעריך בקלות אחוז זה. אך ביישום הכלל של שלוש, ניתן לקיים את הקשר הבא: אם 100% הם 63, אז 15%, כמה זה יהיה?

100% ---- 63

15% ---– X

והפעולה המקבילה היא:

(15%. 63) / 100% = 9.45

שם מפשטים את אחוזי הסימנים ומתקבל הנתון 9.45 המייצג 15% מתוך 63.

כלל הפוך משלושה

כשמו כן הוא, במקרה זה הקשר בין המשתנים הוא הפוך. יש ליצור את הקשר ההפוך לפני שתמשיך לחישוב. הנוהל שלה הוא הומולוגי לזה של הכלל הישיר של שלושה, למעט ההשקעה בשבר שיש לחשב.

לדוגמא, 3 ציירים צריכים 5 שעות כדי לסיים קיר. בכמה שעות היו 4 ציירים שיסיימו את זה?

במקרה זה, מערכת היחסים הפוכה, מכיוון שככל שמספר הציירים גדל, זמן העבודה אמור לרדת. הקשר מתבסס;

3 ציירים - 5 שעות

4 ציירים - X שעות

ככל שהיחסים מתהפכים, סדר הפעולה מתהפך. זו הדרך הנכונה;

(3 ציירים). (5 שעות) / 4 ציירים = 3.75 שעות

המונח ציירים מפושט והתוצאה היא 3.75 שעות.

מַצָב

כדי להיות בנוכחות תרכובת או פרופורציונליות מרובה, יש צורך למצוא את שני סוגי היחסים בין גודל ומשתנים.

- ישיר: למשתנה יש התנהגות זהה לזו הלא ידועה. כלומר, כאשר האחד מגדיל או יורד, האחר משתנה באופן שווה.

- הפוך: למשתנה יש התנהגות אנטונית לזו של הלא נודע. יש להפוך את השבר המגדיר את המשתנה האמור בטבלת הערכים, על מנת לייצג את היחס היחסי ההפוך בין משתנה ללא ידוע.

אימות התוצאות

מקובל מאוד לבלבל את סדר הכמויות בעבודה עם פרופורציות מורכבות, בשונה ממה שקורה בחישובי הפרופורציות הרגילות, שאופיין ברובו ישיר ופתר באמצעות כלל פשוט של שלוש.

מסיבה זו, חשוב לבחון את הסדר ההגיוני של התוצאות, ולוודא את הקוהרנטיות של הדמויות המיוצרות על ידי הכלל המורכב משלוש.

בדוגמה הראשונית, טעות כזו תביא ל -20 כתוצאה. כלומר 20 איש שיפרקו 15 טונות של סחורה ב -4 שעות.

במבט ראשון זה לא נראה כתוצאה מטורפת, אבל זה מוזר עלייה של כמעט 200% בצוות (מ -7 ל -20 איש) כאשר הגידול בסחורה הוא 50%, ואפילו עם מרווח זמן גדול יותר לביצוע העבודה.

לפיכך, האימות ההגיוני של התוצאות מייצג צעד חשוב ביישום הכלל המורכב משלושה.

מִרוָח

למרות היותו בסיסי יותר ביחס להכשרה מתמטית, אישור האישור מהווה צעד חשוב במקרים של מידתיות. די בכדי לקבל אישור שגוי כדי לפסול כל תוצאה המתקבלת כלל פשוט או מורכב משלושה.

הִיסטוֹרִיָה

שלטונם של שלושה התפרסם במערב דרך הערבים, עם פרסומים של סופרים שונים. ביניהם אל-ג'וואריזמי ואל-בירוני.

אל-בירוני, בזכות הידע הרב-תרבותי שלו, הייתה גישה למידע עצום הנוגע לנוהג זה במהלך נסיעותיו להודו, והיה אחראי לתיעוד הנרחב ביותר על כלל השלושה.

הוא קובע במחקרו כי הודו הייתה המקום הראשון בו הפך השימוש בשלטון לשלושה נפוץ. הכותב מבטיח שהוא בוצע בצורה זורמת בגירסאותיו הישירות, ההפוכות ואפילו המורכבות.

התאריך המדויק שבו כלל השלושה הפך לחלק מהידע המתמטי של הודו אינו ידוע. עם זאת, המסמך העתיק ביותר העוסק בפרקטיקה זו, כתב היד של בקשלי, התגלה בשנת 1881. הוא נמצא כיום באוקספורד.

היסטוריונים רבים של המתמטיקה טוענים כי כתב יד זה מתוארך מראשית העידן הנוכחי.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

על חברת תעופה לשאת 1,535 איש. ידוע שעם 3 מטוסים ייקח 12 יום להגיע הנוסע האחרון ליעד. 450 אנשים נוספים הגיעו לחברת התעופה ומוזמנים לתקן 2 מטוסים כדי לעזור במשימה זו. כמה ימים ייקח לחברת התעופה להעביר כל נוסע אחרון ליעדם?

הקשר בין מספר האנשים לימי העבודה הוא ישיר, מכיוון שככל שמספר האנשים גדול יותר, ייקח יותר ימים לבצע את העבודה הזו.

מצד שני, הקשר בין מטוסים לימים הוא ביחס הפוך. ככל שמספר המטוסים גדל, יורדים הימים הדרושים להסעת כל הנוסעים.

טבלת הערכים המתייחסת למקרה זה נעשית.

כמפורט בדוגמה הראשונית, יש להפוך את המונה והמכנה בשבר המתאים למשתנה ההפוך ביחס הלא נודע. הפעולה היא כדלקמן:

X = 71460/7675 = 9.31 יום

כדי להעביר 1985 אנשים המשתמשים בחמישה מטוסים, זה לוקח יותר מ- 9 ימים.

תרגיל 2

יבול תירס בן 25 טון מועבר למשאיות המטען. ידוע כי בשנה הקודמת לקח להם 8 שעות עם שכר עבודה של 150 עובדים. אם לשנה זו עלה שכר השכר בכ -35%, כמה זמן ייקח להם למלא את משאיות המטען בגידול של 40 טון?

לפני הייצוג של טבלת הערכים, יש להגדיר את מספר העובדים לשנה זו. זה עלה ב -35% מהנתון הראשוני של 150 עובדים. כלל ישיר משלושה משמש לשם כך.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35,100) / 100 = 52.5. זהו מספר העובדים הנוספים ביחס לשנה הקודמת, המשיגים מספר עובדים כולל של 203, לאחר שעיגלו את הסכום שהושג.

אנו ממשיכים להגדיר את טבלת הנתונים המתאימה

במקרה זה המשקל מייצג משתנה שקשור ישירות לזמן הלא ידוע. מצד שני, למשתנה העובדים יש קשר הפוך עם הזמן. ככל שמספר העובדים גדול יותר, כך יום העבודה קצר יותר.

אם ניקח בחשבון שיקולים אלה והפוך את השבר המתאים למשתנה העובדים, אנו ממשיכים לחשב.

X = 40600/6000 = 6.76 שעות

המסע ייקח מעט פחות משבע שעות.

תרגילים מוצעים

- הגדירו 73% מתוך 2875.

- חשב את מספר השעות בהן תרזה ישנה, ​​אם ידוע שהיא ישנה רק 7% מכלל היום. הגדירו כמה שעות אתם ישנים בשבוע.

- עיתון מפרסם 2000 עותקים כל 5 שעות, ומשתמש רק בשתי מכונות דפוס. כמה עותקים הוא ייצר בשעה אחת, אם הוא ישתמש ב 7 מכונות? כמה זמן ייקח לייצר 10,000 עותקים באמצעות 4 מכונות?

הפניות

1. אנציקלופדיה אלברז-חניכה. א 'אלווארז, אנטוניו אלברז פרז. מד"א, 2001.
2. מדריך מלא להוראה יסודית ועל יסודית גבוהה יותר: לשימוש של מורים שואפים ובעיקר תלמידים בבתי הספר הרגילים במחוז, כרך א '. Joaquín Avendaño. הדפסת ד. דיוניסיו הידאלגו, 1844.
3. קירוב רציונאלי של פונקציות אמיתיות. פ.פ. פטרושב, וסיל אטנסוב פופוב. הוצאת אוניברסיטת קיימברידג ', 3 במרץ. 2011.
4. חשבון יסודי להוראה בבתי ספר ובמכללות במרכז אמריקה. דריו גונזלס. עֵצָה. ארנאלס, 1926.
5. חקר המתמטיקה: על לימוד וקשיי המתמטיקה. אוגוסטוס דה מורגן. בולדווין וקרדוק, 1830.