נעילת רכוש האלגברה: הוכחה, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

רכוש המנעול של אלגברה הוא תופעה המתייחסת שני אלמנטים של סדרה עם מבצע, שבו התנאי ההכרחי הוא כי, לאחר 2 האלמנטים מעובדים תחת המבצע אמר, התוצאה גם שייכת הקבוצה הראשונית.

לדוגמא, אם ניקח את המספרים השווים כסט וסכום כפעולה, נקבל מנעול מאותה קבוצה ביחס לסכום. הסיבה לכך היא שסכום של 2 מספרים אחידים תמיד יניב מספר אחיד נוסף, ובכך ימלא את תנאי הנעילה.

מקור: unsplash.com

מאפיינים

יש תכונות רבות שקובעות חללים או גופים אלגבריים, כמו מבנים או טבעות. עם זאת, מאפיין המנעול הוא אחד הידועים באלגברה בסיסית.

לא כל היישומים של מאפיינים אלה מבוססים על אלמנטים או תופעות מספריות. ניתן לעבוד על דוגמאות יומיומיות רבות מתוך גישה אלגברית-תיאורטית טהורה.

דוגמא יכולה להיות אזרחי מדינה הנוהגים מערכת יחסים משפטית מכל סוג, כגון שותפות מסחרית או נישואים בין היתר. לאחר ביצוע פעולה או ניהול זה, הם נשארים אזרחי המדינה. בכך מייצגים פעולות אזרחות וניהול ביחס לשני אזרחים מנעול.

אלגברה נומרית

ביחס למספרים, ישנם היבטים רבים שעברו נושא הלימוד בזרמים שונים של מתמטיקה ואלגברה. מספר רב של אקסיומות ומשפטים צצו ממחקרים אלו המשמשים בסיס תיאורטי למחקר ויצירה עכשווית.

אם אנו עובדים עם הסטים המספריים, נוכל ליצור הגדרה תקפה נוספת עבור נכס הנעילה. סט A אמור להיות המנעול של קבוצה אחרת B אם A הוא הסט הקטן ביותר שמכיל את כל הסטים והפעולות ש- B מכיל.

הפגנה

הוכחת המנעול מיושמת על אלמנטים ופעולות הקיימות במערך המספרים האמיתי.

תן ל- A ו- B להיות שני מספרים ששייכים לסט R, סגירת האלמנטים הללו מוגדרת לכל פעולה הכלולה ב- R.

סְכוּם

- סכום: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

זו הדרך האלגברית לומר שעבור כל A ו- B ששייכים למספרים האמיתיים, יש לנו כי סכום A פלוס B שווה ל- C, ששייך גם למספרים האמיתיים.

קל לבדוק אם ההצעה הזו נכונה; מספיק לבצע את הסכום בין מספר אמיתי כלשהו ולוודא אם התוצאה שייכת גם למספרים האמיתיים.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

נציין כי תנאי הנעילה מתקיים עבור המספרים האמיתיים והסכום. בדרך זו ניתן להסיק: סכום המספרים האמיתיים הוא מנעול אלגברי.

כֶּפֶל

- כפל: ∀ A ˄ B ∈ R → א. B = C ∈ R

לכל A ו- B השייכים למימוש, יש לנו כי הכפל של A על ידי B שווה ל- C, השייך גם לריאליים.

בעת אימות עם אותם אלמנטים מהדוגמה הקודמת, התוצאות הבאות נצפות.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

זו עדות מספקת למסקנה כי: הכפלת המספרים האמיתיים היא מנעול אלגברי.

ניתן להרחיב הגדרה זו לכל פעולות המספרים האמיתיים, אם כי נמצא חריגים מסוימים.

מקור: pixabay.com

מקרים מיוחדים בר

חֲלוּקָה

המקרה המיוחד הראשון הוא חלוקה, שם נראה החריג הבא:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

לכל A ו- B השייכים ל- R יש לנו כי A בין B אינו שייך לריאליים אם ורק אם B שווה לאפס.

מקרה זה מתייחס להגבלה של אי יכולת להתחלק באפס. מכיוון שאפס שייך למספרים האמיתיים, אז נובע מכך: החלוקה איננה מנעול על הריאלים.

תיוק

יש גם פעולות התגברות, ליתר דיוק אלה של הקצנה, בהן מוצגים חריגים לכוחות רדיקליים של אינדקס:

עבור כל ה- A ששייך לריאליים, השורש ה- A של A שייך לריאליים, אם ורק אם A שייך לריאליים החיוביים המחוברים לסט שכל האלמנט שלו הוא אפס.

בדרך זו מצוין כי השורשים האלו חלים רק על ממשי חיובי ומסקנה כי ההעצמה אינה מנעול ב- R.

לוֹגָרִיתְם

באופן הומולוגי ניתן לראות זאת עבור הפונקציה הלוגריתמית, שאינה מוגדרת לערכים פחות או שווים לאפס. כדי לבדוק אם הלוגריתם הוא מנעול של R, המשך באופן הבא:

לכל A ששייך למימוש, הלוגריתם של A שייך לריאליים, אם ורק אם A שייך לריאליים החיוביים.

על ידי אי הכללת ערכים שליליים ואפס ששייכים גם ל- R ניתן לקבוע כי:

הלוגריתם אינו נעילה של המספרים האמיתיים.

דוגמאות

בדוק את המנעול כדי להוסיף וחיסור של המספרים הטבעיים:

סיכום ב- N

הדבר הראשון הוא לבדוק את מצב הנעילה לאיתור אלמנטים שונים בסט הנתון, כאשר אם נצפה כי אלמנט כלשהו נשבר עם התנאי, ניתן להכחיש את קיומו של מנעול באופן אוטומטי.

מאפיין זה נכון לכל הערכים האפשריים של A ו- B, כפי שניתן לראות בפעולות הבאות:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

אין ערכי טבע המשברים את מצב הנעילה, לכן מסקנתם:

הסכום הוא מנעול ב- N.

חיסור ב- N

מבקשים יסודות טבעיים המסוגלים לשבור את המצב; א - ב שייך לילידים.

הפעלה קל למצוא זוגות של אלמנטים טבעיים שאינם עומדים במצב הנעילה. לדוגמה:

7 - 10 = -3 ∉ a N

בדרך זו אנו יכולים להסיק כי:

חיסור אינו מנעול בערכת המספרים הטבעיים.

תרגילים מוצעים

1-הצג אם מאפיין הנעילה מתקיים עבור קבוצת המספרים הרציונליים ש ', לתוספת פעולות, חיסור, כפל וחילוק.

2-הסבר אם קבוצת המספרים האמיתיים היא מנעול של קבוצת המספרים השלמים.

3 - קבע איזו קבוצה מספרית יכולה להיות נעילת המספרים האמיתיים.

הוכח את המאפיין של המנעול עבור קבוצת המספרים הדמיוניים, ביחס לתוספת, חיסור, כפל וחילוק.

הפניות

1. פנורמה של מתמטיקה טהורה: הבחירה הבורבקיסטית. ז'אן דיודונה. Reverte, 1987.
2. תורת המספרים האלגבריים. אלחנדרו ג'י דיאז באריגה, אנה אירן רמירז, פרנסיסקו טומאס. האוניברסיטה האוטונומית הלאומית במקסיקו, 1975.
3. אלגברה לינארית ויישומיה. סנדרה איבת אוצ'ואה גרסיה, אדוארדו גוטיירז גונזלס.
4. מבנים אלגבריים V: תורת הגוף. הקטור מרקלן. ארגון המדינות האמריקאיות, המזכירות הכללית, 1979.
5. מבוא לאלגברה קומוטטיבית. מייקל פרנסיס אטייה, אי.ג. מקדונלד. Reverte, 1973.