עיקרון התוסף הוא טכניקת ספירת הסתברות המאפשר לנו למדוד בכמה דרכים שונות לפעילות יכולה להתבצע, אשר, בתורו, יש כמה חלופות להתבצע, מתוכם רק אחד יכול להיבחר בכול פעם. דוגמה קלאסית לכך היא כשרוצים לבחור קו תחבורה שיעבור ממקום למקום.
בדוגמה זו, החלופות יתאימו לכל קווי התחבורה האפשריים המכסים את המסלול הרצוי, אווירי, ים או יבשתי. איננו יכולים להגיע למקום המשתמש בשני אמצעי תחבורה בו זמנית; עלינו לבחור רק אחד.
עקרון התוסף אומר לנו שמספר הדרכים שעלינו לבצע את הטיול הזה יתאים לסכום של כל חלופה (אמצעי תחבורה) אפשרית שקיימת ללכת למקום הרצוי, זה אפילו יכלול אמצעי התחבורה שעושים עצירה איפשהו (או מקומות) בין לבין.
ברור שבדוגמא הקודמת תמיד נבחר את החלופה הנוחה ביותר המתאימה ביותר לאפשרויות שלנו, אך באופן סביר, חשוב ביותר לדעת בכמה דרכים ניתן לבצע אירוע.
הִסתַבְּרוּת
באופן כללי ההסתברות היא תחום המתמטיקה שאחראי על לימוד אירועים או תופעות וניסויים אקראיים.
ניסוי או תופעה אקראית היא פעולה שלא תמיד מניבה את אותן תוצאות, גם אם היא מבוצעת עם אותם תנאים ראשוניים, מבלי לשנות דבר בהליך הראשוני.
דוגמה קלאסית ופשוטה להבנה ממה מורכב ניסוי אקראי היא הפעולה של השלכת מטבע או קוביות. הפעולה תמיד תהיה זהה, אך לא תמיד נקבל "ראשים" או "שש", למשל.
ההסתברות אחראית לספק טכניקות לקביעת התדירות שבה אירוע אקראי נתון יכול להתרחש; בין כוונות אחרות, העיקרית היא לחזות אירועים עתידיים אפשריים שאינם בטוחים.
הסתברות לאירוע
ליתר דיוק, ההסתברות שאירוע A מתרחש היא מספר אמיתי בין אפס לאחד; כלומר מספר השייך למרווח. זה מצוין על ידי P (A).
אם P (A) = 1, אז ההסתברות להתרחשות A היא 100%, ואם הוא אפס אין סיכוי שהוא יתרחש. מרחב הדגימה הוא מערך כל התוצאות האפשריות שניתן להשיג באמצעות ניסוי אקראי.
ישנם לפחות ארבעה סוגים או מושגים של הסתברות, תלוי במקרה: הסתברות קלאסית, הסתברות תכופות, הסתברות סובייקטיבית והסתברות אקסיומטית. כל אחד מתמקד במקרים שונים.
ההסתברות הקלאסית מקיפה את המקרה בו לחלל המדגם יש מספר סופי של אלמנטים.
במקרה זה, ההסתברות לאירוע A תהיה מספר החלופות הזמינות להשגת התוצאה הרצויה (כלומר מספר האלמנטים בסט A), מחולק במספר האלמנטים במרחב הדגימה.
כאן עלינו לקחת בחשבון כי כל האלמנטים במרחב הדגימה חייבים להיות סבירים באותה מידה (לדוגמא, כנתון שאינו משתנה, שבו ההסתברות להשיג אחד מששת המספרים זהה).
לדוגמה, מה ההסתברות שגלגול למות יקבל מספר אי-זוגי? במקרה זה, הסט A יהיה מורכב מכל המספרים המוזרים שבין 1 ל 6, ושטח הדגימה יהיה מורכב מכל המספרים מ 1 עד 6. אז, A יש 3 אלמנטים ובחלל המדגם יש 6. אז לכן, P (A) = 3/6 = 1/2.
מהו עקרון התוסף?
כאמור, ההסתברות מודדת את התדירות שבה מתרחש אירוע מסוים. כחלק מהיכולת לקבוע תדירות זו, חשוב לדעת בכמה דרכים ניתן לבצע אירוע זה. עקרון התוסף מאפשר לנו לבצע חישוב זה במקרה מסוים.
עקרון התוסף קובע את הדברים הבאים: אם A הוא אירוע שיש בו דרכי ביצוע "a", ו- B הוא אירוע אחר שיש בו "b" דרכי ביצוע, ואם בנוסף רק A או B יכולים להתרחש ולא שניהם בו זמנית באותה העת, אז הדרכים להתממש A או B (A deB) הן + b.
באופן כללי, זה מצוין לאיחוד של מספר קבוצות מוגדר (גדול או שווה ל -2).
דוגמאות
דוגמא ראשונה
אם חנות ספרים מוכרת ספרים על ספרות, ביולוגיה, רפואה, אדריכלות וכימיה, מתוכם יש 15 סוגים שונים של ספרים על ספרות, 25 על ביולוגיה, 12 על רפואה, 8 על אדריכלות ו -10 על כימיה, כמה אפשרויות יש לאדם לבחור ספר אדריכלות או ספר ביולוגיה?
עקרון התוסף אומר לנו שמספר האפשרויות או הדרכים לבחירה זו הוא 8 + 25 = 33.
ניתן ליישם עיקרון זה גם במקרה בו מדובר באירוע בודד אשר בתורו יש אלטרנטיבות שונות שיש לבצע.
נניח שברצונך לבצע פעילות או אירוע A מסוים, וכי יש מספר אלטרנטיבות לכך, נניח n.
בתורו, האלטרנטיבה הראשונה כוללת 1 דרכים להיעשות, האלטרנטיבה השנייה כוללת 2 דרכים להיעשות, וכן הלאה, ניתן לבצע מספר אלטרנטיבי n בדרכים n .
עקרון התוסף קובע כי ניתן לבצע את האירוע A ב- 1 + ל- 2 + … + בדרכים n .
דוגמא שנייה
נניח שאדם רוצה לקנות זוג נעליים. כשהוא מגיע לחנות הנעליים הוא מוצא רק שני דגמים שונים בגודל הנעליים שלו.
ישנם שני צבעים זמינים של אחד, וחמישה צבעים זמינים של השני. כמה דרכים צריך אדם זה לבצע את הרכישה הזו? לפי עקרון התוסף התשובה היא 2 + 5 = 7.
יש להשתמש בעקרון התוסף כאשר ברצונך לחשב את הדרך לבצע אירוע כזה או אחר, ולא את שניהם בו זמנית.
כדי לחשב את הדרכים השונות לביצוע אירוע יחד ("ו-") עם אחר - כלומר ששני האירועים חייבים להתרחש בו זמנית - נעשה שימוש בעקרון הכפול.
ניתן לפרש את עקרון התוסף גם במונחים של הסתברות כדלקמן: ההסתברות להתרחש אירוע A או אירוע B, שמסומן על ידי P (A∪B), בידיעה ש- A לא יכולה להתרחש במקביל ל- B, ניתן על ידי P (A∪B) = P (A) + P (B).
דוגמא שלישית
מה ההסתברות לקבל 5 כאשר מגלגלים למות או ראשים כשזורקים מטבע?
כפי שנראה לעיל, באופן כללי ההסתברות לקבל מספר כלשהו בעת גלגול למות היא 1/6.
בפרט, ההסתברות לקבל 5 היא גם 1/6. באופן דומה, ההסתברות לקבל ראשים כשזורקים מטבע היא 1/2. לכן התשובה לשאלה הקודמת היא P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.
הפניות
- בלהאוס, דר '(2011). אברהם דה מויברה: קביעת הבמה להסתברות קלאסית ויישומיה. לחץ על CRC.
- Cifuentes, JF (2002). מבוא לתורת ההסתברות. הלאומית של קולומביה.
- Daston, L. (1995). הסתברות קלאסית בהארה. הוצאת אוניברסיטת פרינסטון.
- הופקינס, ב '(2009). מקורות להוראת מתמטיקה נפרדת: פרויקטים בכיתה, מודולי היסטוריה ומאמרים.
- ג'ונסונבו, ר '(2005). מתמטיקה נפרדת. פירסון חינוך.
- Larson, HJ (1978). מבוא לתורת ההסתברות וההסיק הסטטיסטי. לימוזה עריכה.
- Lutfiyya, LA (2012). פותר בעיות מתמטיקה סופי ודיסקרטי. עורכי אגודות מחקר וחינוך.
- Martel, PJ, and Vegas, FJ (1996). הסתברות וסטטיסטיקה מתמטית: יישומים בפרקטיקה קלינית וניהול בריאות. מהדורות דיאז דה סנטוס.
- פדרו, פ.צ. (2001). מתמטיקה נפרדת. פוליטק. של קטלוניה.
- שטיינר, א '(2005). מתמטיקה למדעים יישומיים. Reverte.