מצולע קמור: הגדרה, אלמנטים, תכונות, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

מצולע קמור הוא דמות גיאומטרית הכלול מטוס מאופיין כי יש לו את כל האלכסונים שלה בפנים שלה והזוויות שלה למדוד פחות מ 180 מעלות. בין המאפיינים שלה:

1) זה מורכב מ- n קטעים רצופים שבהם האחרון של הקטעים מצטרף לראשון. 2) אף אחד מהקטעים מצטלבים באופן שתוחם את המישור באזור פנימי ובאזור חיצוני. 3) כל זווית ואיזור באזור הפנים היא פחות מזווית מישורית.

איור 1. מצולעים 1, 2 ו 6 הם קמורים. (הוכן על ידי ריקרדו פרז).

דרך פשוטה לקבוע אם מצולע קמור או לא, היא לשקול את הקו שעובר באחד הצדדים שלו, שקובע שני מישורים למחצה. אם בכל שורה העוברת בצד אחד, הצדדים האחרים של המצולע הם באותו חצי מישור, אז זה מצולע קמור.

אלמנטים של מצולע

כל מצולע מורכב מהיסודות הבאים:

- צדדים

- קודקודים

הצדדים הם כל אחד מהקטעים הרצופים המרכיבים את המצולע. במצולע לאף אחד מהקטעים המרכיבים אותו לא יכול להיות סוף פתוח, במקרה כזה יהיה קו מצולע אך לא מצולע.

קודקודים הם נקודות הצומת של שני קטעים רצופים. במצולע, מספר הקודקודים שווה תמיד למספר הצדדים.

אם שני צדדים או קטעים של מצולע מצטלבים, יש לך מצולע חוצה. נקודת המעבר אינה נחשבת קודקוד. מצולע צולב הוא מצולע לא קמור. מצולעי הכוכבים הם מצולעים צולבים ולכן אינם קמורים.

כאשר מצולע לכל צלעותיו באותו אורך, אז יש לנו מצולע רגיל. כל המצולעים הרגילים הם קמורים.

מצולעים קמורים ולא קמורים

איור 1 מראה מספר מצולעים, חלקם קמורים וחלקם אינם. בואו ננתח אותם:

המספר 1 הוא מצולע תלת צדדי (משולש) וכל הזוויות הפנימיות פחות מ- 180 מעלות, ולכן זהו מצולע קמור. כל המשולשים הם מצולעים קמורים.

המספר 2 הוא מצולע ארבע-צדדי (מרובע) בו אף אחד מהצדדים לא מצטלבים וכל זווית פנים ופחות היא פחות מ- 180 מעלות. זה אז מצולע קמור עם ארבעה צדדים (קמור מרובע).

מצד שני, המספר 3 הוא מצולע עם ארבעה צדדים אך אחת מזוויות הפנים שלו גדולה מ- 180 מעלות, כך שהוא לא עומד בתנאי הקמור. כלומר, זהו מצולע רב-צדדי לא קמור הנקרא ריבועי קעור.

המספר 4 הוא מצולע עם ארבעה קטעים (צדדים), שניים מהם מצטלבים זה בזה. ארבע זוויות הפנים פחות מ -180 מעלות, אך מכיוון ששני הצדדים מצטלבים זה מצולע חוצה לא קמור (חוצה ריבועיות).

מקרה אחר הוא המספר 5. זהו מצולע בעל חמש צלעות, אך מכיוון שאחת מזוויות הפנים הפנימיות שלו עולה על 180 מעלות, אז יש לנו מצולע קעור.

לבסוף, למספר 6, שיש לו גם חמישה צדדים, כל הזוויות הפנימיות שלו פחות מ- 180 מעלות, ולכן זהו מצולע קמור עם חמש צדדים (מחומש קמור).

מאפיינים של המצולע הקמור

1- מצולע לא חוצה או מצולע פשוט מחלק את המישור שמכיל אותו לשני אזורים. האזור הפנימי והאזור החיצוני, כאשר המצולע הוא הגבול בין שני האזורים.

אבל אם המצולע הוא קמור נוסף, יש לנו אזור פנים שמחובר פשוט, מה שאומר שלקחת שתי נקודות מהאזור הפנימי, תמיד אפשר לחבר אליו פלח ששייך כולו לאזור הפנים.

איור 2. מצולע קמור מחובר פשוט ואילו אחד קעור אינו. (הוכן על ידי ריקרדו פרז).

2- כל זווית פנים של מצולע קמור פחות מזווית מישורית (180 מעלות).

3 - כל נקודות הפנים של מצולע קמור שייכות תמיד לאחד המישורים החצייים שהוגדרו על ידי הקו שעובר בשני קודקודים רצופים.

4- במצולע קמור כל האלכסונים כלולים לחלוטין באזור המצולע הפנימי.

5- נקודות הפנים של מצולע קמור שייכות לחלוטין לתחום הזוויתי הקמור המוגדר על ידי כל זווית פנים.

6- כל מצולע בו כל קודקודיו נמצאים על היקף הוא מצולע קמור הנקרא מצולע מחזורי.

7- כל מצולע מחזורי הוא קמור, אך לא כל מצולע קמור הוא מחזורי.

8- כל מצולע לא חוצה (מצולע פשוט) שיש לו את כל צלעותיו באורך שווה הוא קמור ומכונה מצולע רגיל.

אלכסונים וזוויות במצולעים קמורים

9- המספר הכולל של N באלכסונים של מצולע קמור עם צלעות N ניתן באמצעות הנוסחה הבאה:

N = ½ n (n - 3)

הוכחה: במצולע קמור עם צדי N של כל קודקוד, נמשכים אלכסונים n - 3, מכיוון שהקודקוד עצמו ושני אלה הסמוכים אינם נכללים. מכיוון שיש N קודקודים, נמשכים בסך הכל n (n - 2) אלכסונים, אך כל אלכסון נמשך פעמיים, כך שמספר האלכסונים (ללא חזרה) הוא n (n-2) / 2.

10- הסכום S של הזוויות הפנימיות של מצולע קמור עם צלעות N ניתן על ידי הקשר הבא:

S = (n - 2) 180º

דוגמאות

דוגמא 1

משושה מחזורי הוא מצולע עם שישה צדדים ושש קודקודים, אך כל הקודקודים הם באותו היקף. כל מצולע מחזורי הוא קמור.

משושה מחזורי.

דוגמא 2

קבע את הערך של זוויות הפנים של אנגון רגיל.

הפיתרון: האנגון הוא מצולע בן 9 צדדים, אך אם הוא גם רגיל, כל הצדדים והזוויות שלו שווים.

הסכום של כל הזוויות הפנימיות של מצולע דו צדדי הוא:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

אבל יש 9 זוויות פנימיות של מידה שווה α, כך שיש למלא את השוויון הבא:

S = 9 α = 1260º

מכאן יוצא כי המידה α של כל זווית פנימית של האניגון הרגיל היא:

α = 1260º / 9 = 140º