מקביל במקביל: מאפיינים, סוגים, שטח, נפח - מתמטיקה - 2025

מַקבִּילוֹן היא גוף גיאומטרי מורכב שש פאות, המאפיין העיקרי שבהם הוא כי כל הפרצופים שלה הם מקביליות וגם כי הנגדיים שלו הם מקבילים זה לזה. זהו פוליאדרון נפוץ בחיי היומיום שלנו, מכיוון שאנו יכולים למצוא אותו בארגזי נעליים, בצורת לבנה, בצורת מיקרוגל וכו '.

בהיותו פולי-תדרני, מקבילי-הצנרת סוגרים נפח סופי וכל פניו שטוחים. זה חלק מקבוצת המנסרות, שהן אותן polyhedra בהן כל קודקודיו נמצאים בשני מישורים מקבילים.

אלמנטים של מקביל במקביל

פרצופים

הם כל אחד מהאזורים שנוצרו על ידי מקבילים המגבילים את מקבילי הצוואר. לפילד מקביל יש שישה פנים, כאשר לכל פנים ארבע פנים צמודות ואחת מנוגדת. כמו כן, כל פנים מקבילות להיפך.

קצוות

הם הצד השכיח של שני פנים. בסך הכל, למקור מקביל יש שנים עשר קצוות.

קָדקוֹד

זוהי הנקודה המשותפת של שלושה פרצופים הסמוכים זה לזה שניים על שניים. לאזור מקביל יש שמונה קודקודים.

אֲלַכסוֹנִי

בהינתן שתי פנים של רצועה מקבילה זו מול זו, נוכל לצייר קטע קו העובר מקודקוד הפנים האחת לקודקוד הנגדי של האחר.

קטע זה ידוע כאלכסון מקבילי הצוואר. לכל אחד מהקווים המקבילים יש ארבעה אלכסונים.

מֶרְכָּז

זו הנקודה בה מצטלבים כל האלכסונים.

מאפייני המקבילה המקבילה

כפי שכבר הזכרנו, לגוף הגיאומטרי הזה יש שנים עשר קצוות, שישה פנים ושמונה קודקודים.

בזרם מקבילי ניתן לזהות שלוש מערכות שנוצרו על ידי ארבעה קצוות, אשר מקבילות זו לזו. יתר על כן, לקצוות של הסטים האמורים יש גם את המאפיין שיש להם אורך זהה.

מאפיין נוסף שיש לאנרגיה מקבילה מקבילה הוא שהם קמורים, כלומר אם ניקח זוג נקודות כלשהו השייך לחלקו הפנימי של המקביל, הקטע שנקבע על ידי צמד הנקודות האמור יהיה גם בתוך צינור ההקבלה.

בנוסף, מרווחים מקבילים שהם polyhedra קמור עומדים במשפט של Euler עבור polyhedra, מה שנותן לנו קשר בין מספר הפנים, מספר הקצוות ומספר הקודקודים. קשר זה ניתן בצורה של המשוואה הבאה:

C + V = A + 2

מאפיין זה ידוע כמאפיין אוילר.

כאשר C הוא מספר הפנים, V מספר הקודקודים ו- A מספר הקצוות.

סוגים

אנו יכולים לסווג חללים מקבילים על פי פניהם, לסוגים הבאים:

אורתודרון

הם הם מרצפי המקביל שבהם פניהם נוצרים על ידי שישה מלבנים. כל מלבן בניצב לאלו החולקים קצה. הם הנפוצים ביותר בחיי היומיום שלנו, זו הצורה הרגילה של קופסאות נעליים ולבנים.

קוביה רגילה או משושה

זהו מקרה מסוים של הקודם, בו כל אחד מהפנים הוא ריבוע.

הקוביה היא גם חלק מהגופים הגיאומטריים הנקראים מוצקים אפלטוניים. מוצק אפלטוני הוא פולידרון קמור, כך ששני הפנים שלו וזוויותיו הפנימיות שווים זה לזה.

Rhombohedron

זהו מקביל המופיע עם מעוין לפנים. מעוין אלה כולם שווים זה לזה, מכיוון שהם חולקים קצוות.

Rhombohedron

ששת הפנים שלו הם מעץ. נזכיר כי מעץ רבני הוא מצולע עם ארבעה צדדים וארבע זוויות השוות שתיים לשתיים. מעוינים הם מקבילים שאינם ריבועים ואינם מלבנים ולא מעוין.

מצד שני, מחליקים מקבילים אלכסוניים הם כאלה שלפחות גובה אחד אינו מסכים עם קצהם. בסיווג זה אנו יכולים לכלול rhombohedra ו rhombohedra.

חישוב אלכסונים

כדי לחשב את האלכסון של אורתודרון אנו יכולים להשתמש במשפט פיתגורס עבור R ³ .

נזכיר כי לאורתודרון יש את המאפיין שכל צד הוא בניצב לצדדים שחולקים קצה. מעובדה זו אנו יכולים להסיק כי כל קצה בניצב לאלה החולקים קודקוד.

כדי לחשב את אורך האלכסון של אורתודרון אנו ממשיכים כך:

1. אנו מחשבים את האלכסון של אחד הפרצופים, אשר נניח כבסיס. לשם כך אנו משתמשים במשפט פיתגורס. בואו נקרא באלכסון זה d _b .

2. לאחר מכן בעזרת d _b אנו יכולים ליצור משולש ימני חדש, כך שהמתקן המשולש האמור הוא האלכסון D אותו אנו מחפשים.

3. אנו משתמשים שוב במשפט פיתגורס ויש לנו שאורך האלכסון הזה הוא:

דרך נוספת לחשב אלכסונים בצורה גרפית יותר היא עם הוספת וקטורים חופשיים.

נזכיר כי שני וקטורים חופשיים A ו- B מתווספים על ידי הנחת הזנב של וקטור B עם קצה הווקטור A.

הווקטור (A + B) הוא זה שמתחיל בזנבו של A ומסתיים בקצה B.

הבה נבחן את מקביל המקביל שעבורו אנו רוצים לחשב אלכסון.

אנו מזהים את הקצוות בעזרת וקטורים המכוונים בנוחות.

לאחר מכן נוסיף את הווקטורים האלה והווקטור שהתקבל יהיה האלכסון של מקבילי הצוואר.

אֵזוֹר

השטח של מקביל מקביל ניתן על ידי הסכום של כל אחד מאזורי הפנים שלו.

אם נקבע את אחד הצדדים כבסיס,

A _L + 2A _B = שטח כולל

כאשר A _L שווה לסכום השטחים של כל הצדדים הסמוכים לבסיס, המכונה אזור לרוחב, ו- A _B הוא שטח הבסיס.

בהתאם לסוג ההקצאה המקבילה שאנו עובדים איתה, נוכל לשכתב את הנוסחה הזו.

שטח של אורטהדרון

זה ניתן על ידי הנוסחה

A = 2 (ab + bc + ca).

דוגמא 1

בהינתן האורתודרון הבא, עם הצדדים a = 6 ס"מ, b = 8 ס"מ ו- c = 10 ס"מ, חישוב שטח החלקה מקבילית ואורך האלכסון שלו.

בעזרת הנוסחה לאזור של אורתודרון יש לנו את זה

A = 2 = 2 = 2 = 376 ס"מ ² .

שימו לב שמכיוון שמדובר באורתודרון, אורכו של ארבע האלכסונים שלו זהה.

בעזרת משפט פיתגורס לחלל יש לנו את זה

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

שטח של קוביה

מכיוון שלכל קצה אורך זהה, יש לנו כי a = b ו- a = c. החלפת הנוסחה הקודמת שיש לנו

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

דוגמא 2

הקופסה של קונסולת המשחק מעוצבת כמו קוביה. אם אנו רוצים לעטוף קופסא זו בניילון מתנה, כמה נייר היינו מוציאים בידיעה שאורך הקצוות של הקוביה הוא 45 ס"מ?

בעזרת הנוסחה לאזור הקוביה אנו משיגים זאת

A = 6 (45 ס"מ) ² = 6 (2025 ס"מ ² ) = 12150 ס"מ ²

שטח מרומביה

מכיוון שכל הפנים שלהם זהים, פשוט חשב את השטח של אחד מהם והכפיל אותו בשש.

יש לנו שאפשר לחשב את שטח מעוין דרך האלכסונים עם הנוסחה הבאה

_R = (DD) / 2

לפי הנוסחה הזו יוצא כי השטח הכולל של הרומבודרון הוא

_T = 6 (DD) / 2 = 3DD.

דוגמא 3

פניהם של הרומבהדרון הבא נוצרים על ידי מעוין שהאלכסונים שלו הם D = 7 ס"מ ו- d = 4 ס"מ. האזור שלך יהיה

A = 3 (7 ס"מ) (4 ס"מ) = 84 ס"מ ² .

שטח מרומביה

כדי לחשב את שטח הרומבודרון עלינו לחשב את שטח הפרומואים המרכיבים אותו. מכיוון שזרמים מקבילים מקיימים את המאפיין שלצדדים מנוגדים יש אותו שטח, אנו יכולים לשייך את הצדדים בשלושה זוגות.

בדרך זו יש לנו שהאזור שלך יהיה

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

כאשר b _i הם הבסיסים המשויכים לצדדים וה- h _i גובהם היחסי המתאים לבסיסים אלה.

דוגמא 4

שקול את המקביל להלן המקביל,

כאשר בצד A ובצד A '(הצד הנגדי) יש בסיס b = 10 וגובה h = 6. לאזור המסומן יש ערך של

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

ל- B ו- B 'יש b = 4 ו- h = 6, כך

₂ = 2 (4) (6) = 48

YC ו- C 'הם b = 10 ו- h = 5, אם כן

₃ = 2 (10) (5) = 100

סוף סוף שטח הרומבהדרון הוא

A = 120 + 48 + 100 = 268.

עוצמת הקול של המקביל

הנוסחה שנותנת לנו נפח של מקבילה מקוונת היא תוצר שטח של אחד מפניו בגובה המתאים לאותו פנים.

V = A _C h _C

בהתאם לסוג המקביל לצינורות, ניתן לפשט את הנוסחה הזו.

כך למשל יש לנו את הנפח של אורתודרון

V = abc.

כאשר a, b ו- c מייצגים את אורך הקצוות של האורתודרון.

ובמקרה הספציפי של הקוביה היא

V = a ³

דוגמא 1

ישנם שלושה דגמים שונים לקופסאות עוגיות ואתם רוצים לדעת באיזה מהדגמים הללו תוכלו לאחסן יותר עוגיות, כלומר לאיזו מהתיבות יש הנפח הגדול ביותר.

הראשונה היא קוביה שאורך הקצה שלה הוא = 10 ס"מ

נפחו יהיה V = 1000 ס"מ ³

לשני יש קצוות b = 17 ס"מ, c = 5 ס"מ, d = 9 ס"מ

ולכן נפחו הוא V = 765 ס"מ ³

והשלישית יש e = 9 ס"מ, f = 9 ס"מ ו- g = 13 ס"מ

והנפח שלו הוא V = 1053 ס"מ ³

לכן התיבה עם הנפח הגדול ביותר היא השלישית.

שיטה נוספת להשגת נפח של מקבילה מקוונת היא שימוש באלגברה וקטורית. במיוחד, המוצר המשולש.

אחת הפירושים הגיאומטריים שיש למוצר הסקלרי המשולש היא זו של נפח מקבילי הצלעות, ששוליה הם שלושה וקטורים החולקים את אותו קודקוד כנקודת התחלה.

באופן זה, אם יש לנו מקביל לצנרת ואנחנו רוצים לדעת מה הנפח שלו, מספיק לייצג אותו במערכת קואורדינטות ב- R ^{3 על ידי כך} שאחד מקודקודיו יעלה בקנה אחד עם המקור.

לאחר מכן אנו מייצגים את הקצוות המשתלבים במקורם עם וקטורים כמוצג באיור.

ובדרך זו יש לנו שהנפח של המקביל המקביל ניתנת על ידי

V = - AxB ∙ C-

או באופן שווה ערך, הנפח הוא הקובע של המטריקס 3 × 3, הנוצר על ידי רכיבי וקטורי הקצה.

דוגמא 2

כשמייצגים את המקביל להלן במקביל ל- R ³ אנו יכולים לראות שהווקטורים שקובעים אותו הם הבאים

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ו- w = (-0.25, -4, 4)

באמצעות המוצר הסקלרי המשולש שיש לנו

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

מכאן אנו מסיקים כי V = 60

הבה נבחן כעת את המקביל להלן במקביל ל- R3 שקצותיו נקבעים על ידי הווקטורים

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ו- C = (3, 4, 4)

השימוש בקובעים נותן לנו את זה

לפיכך יש לנו שהנפח של המקבילה המקוונת האמורה הוא 112.

שתיהן דרכים שוות ערך לחישוב נפח.

מקבילי-צנרת מושלם

אורתודרון מכונה לבנה אוילר (או בלוק של אוילר) שממלא את המאפיין שגם אורך הקצוות שלו וגם אורך האלכסונים של כל אחד מפניו הם מספרים שלמים.

אומנם אוילר לא היה המדען הראשון שחקר את האורתודרה שממלאת את המאפיין הזה, אך הוא מצא תוצאות מעניינות אודותיהם.

לבנת אוילר הקטנה ביותר התגלתה על ידי פול הלקה ואורכית קצוותיה הם = 44, b = 117 ו- c = 240.

בעיה פתוחה בתורת המספרים היא כדלקמן

האם יש אורתדרה מושלמת?

נכון לעכשיו, שאלה זו לא נענתה, מכיוון שלא ניתן היה להוכיח כי גופים כאלה אינם קיימים, אך לא נמצאו כאלה.

מה שהוצג עד כה הוא כי קיימים מקבילות מקבילות מקבילות. הראשון שהתגלה הוא באורך קצוותיו הערכים 103, 106 ו 271.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. גיא, ר '(1981). בעיות לא פתורות בתורת המספרים. שפרינגר.
2. לנדוורדה, פ. ד. (1997). גֵאוֹמֶטרִיָה. התקדמות.
3. לייטולד, ל '(1992). החישוב בעזרת גיאומטריה אנליטית. הרלה, ס.א.
4. Rendon, A. (2004). רישום טכני: ספר פעילות 3 Bachillerato השני. טבר.
5. Resnick, R., Halliday, D., and Krane, K. (2001). פיזיקה כרך 1. מקסיקו: קונטיננטל.