פרבולואיד היפרבולי: הגדרה, תכונות ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

Paraboloid היפרבולי הוא משטח שאת המשוואה הכללית קרטזיים (x, y, z) מספק את המשוואה הבאה:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

השם "פרבולואיד" מקורו בכך שהמשתנה z תלוי בריבועים של המשתנים x ו- y. ואילו התואר "היפרבולי" נובע מהעובדה שבערכים קבועים של z יש לנו את המשוואה של היפרבולה. צורתו של משטח זה דומה לזו של אוכף סוסים.

איור 1. איור 1. פרבולואיד היפרבולי z = x ² - y ² . מקור: F. Zapata באמצעות Wolfram Mathematica.

תיאור הפרבולואיד ההיפרבולי

כדי להבין את אופיו של הפרבולואיד ההיפרבולי, יבוצע הניתוח הבא:

1.- ניקח את המקרה הספציפי a = 1, b = 1, כלומר המשוואה הקרטזית של הפרבולואיד נשארת כ z = x ² - y ² .

2.- מטוסים נחשבים מקבילים למישור ה- ZX, כלומר y = ctte.

3.- עם y = ctte הוא נשאר z = x ² - C, המייצגים פרבולות עם הענפים כלפי מעלה וקודקוד מתחת למישור ה- XY.

איור 2. איור 2. משפחה של עקומות z = x ² - C. מקור: F. Zapata בעזרת Geogebra.

4.- עם x = ctte הוא נשאר z = C - y ² , המייצגים פרבולות עם הענפים כלפי מטה וקודקודם מעל מישור ה- XY.

איור 3. איור 3. משפחה של עקומות z = C - y ² . מקור: F. Zapata דרך Geogebra.

5.- עם z = ctte הוא נשאר C = x ² - y ² , המייצגים היפרבולות במישורים המקבילים למישור ה- XY. כאשר C = 0 ישנם שני קווים (בגובה 45- ו -45 מעלות ביחס לציר X) המצטלבים במקור במישור ה- XY.

איור 4. איור 4. משפחת עקומות x ² - y ² = C. מקור: F. Zapata באמצעות Geogebra ..

מאפייני הפרבולואיד ההיפרבולי

1.- ארבע נקודות שונות במרחב התלת מימדי מגדירות פרבולבול היפרבולי אחד ורק אחד.

2.- הפרבולואיד ההיפרבולי הוא משטח נשלט כפליים. המשמעות היא שלמרות היותה משטח מעוגל, שני קווים שונים עוברים בכל נקודה של פרבולית היפרבולית השייכת לחלוטין לפרבולואיד ההיפרבולי. המשטח האחר שאינו מטוס ונשלט כפולה הוא ההיפרבולויד של המהפכה.

זה בדיוק המאפיין השני של הפרבולואיד ההיפרבולי שאיפשר את השימוש הרחב שלו באדריכלות מאחר שניתן לייצר את פני השטח מקורות או מיתרים ישרים.

המאפיין השני של הפרבולואיד ההיפרבולי מאפשר הגדרה חלופית אליו: זהו המשטח שיכול להיווצר על ידי קו ישר הנע המקביל למישור קבוע וחותך שני קווים קבועים המשמשים כמדריך. הנתון הבא מבהיר הגדרה חלופית זו של הפרבוליד ההיפרבולי:

איור 5. הפרבולואיד ההיפרבולי הוא משטח מושל כפליים. מקור: פ. זפטה.

דוגמאות מעובדות

- דוגמה 1

הראו שהמשוואה: z = xy, תואמת פרבוליד היפרבולי.

פִּתָרוֹן

טרנספורמציה תיושם על משתני ה- x ו- y המתאימים לסיבוב של הצירים הקרטזיים ביחס לציר Z של + 45 מעלות. קואורדינטות x ו- y הישנות הופכות ל- x 'ו- y' החדשים על פי מערכות היחסים הבאות:

x = x '- y'

y = x '+ y'

בעוד שקואורדינטת z נשארת זהה, כלומר z = z '.

על ידי החלפת המשוואה z = xy יש לנו:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

על ידי יישום המוצר הבולט של ההפרש בסכום השווה להפרש המשבצות, יש לנו:

z '= x' ² - y ' ²

אשר תואם בבירור את ההגדרה שניתנה בתחילה של פרבוליד היפרבולי.

יירוט המטוסים המקבילים לציר XY עם הפרבולואידי ההיפרבולי z = xy קובע היפרבולות שוות-צדדיות שיש להן אסימפטוטות למטוסים x = 0 ו- y = 0.

- דוגמא 2

קבעו את הפרמטרים a ו- b של הפרבולואיד ההיפרבולי העובר בנקודות A (0, 0, 0); ב '(1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) ו- D (2, -1, 32/9).

פִּתָרוֹן

על פי תכונותיו, ארבע נקודות במרחב התלת ממדי קובעות פרבוליד היפרבולי יחיד. המשוואה הכללית היא:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

אנו מחליפים את הערכים הנתונים:

לנקודה A יש לנו 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , משוואה המספקת אשר תהיה הערכים של הפרמטרים a ו- b.

החלפת נקודה B נקבל:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

בעוד שבנקודה C זה נשאר:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

לבסוף, לנקודה D אנו משיגים:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

שזהה למשוואה הקודמת. בסופו של דבר, יש לפתור את מערכת המשוואות:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

הפחתת המשוואה השנייה מהראשונה נותנת:

27/9 = 3 / a ² מה שמרמז ש- ² = 1.

באופן דומה, המשוואה השנייה מופחתת מהרבע המשולש של הראשון, תוך השגת:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

מה שמפשט כ:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

בקיצור, לפרבולואיד ההיפרבולי שעובר בנקודות A, B, C ו- D יש משוואה קרטזית הניתנת על ידי:

z = x ² - (4/9) y ²

- דוגמא 3

על פי תכונותיו של הפרבולואיד ההיפרבולי, שני קווים עוברים בכל נקודה הכלולה בו לחלוטין. למקרה z = x ^ 2 - y ^ 2 מצא את המשוואה של שני הקווים העוברים בנקודה P (0, 1, -1) ששייכים בבירור לפרבולואיד ההיפרבולי, כך שכל הנקודות של הקווים האלה שייכים גם ל אותו.

פִּתָרוֹן

באמצעות התוצר המופלא של הפרש הריבועים ניתן לכתוב את המשוואה עבור הפרבוליד ההיפרבולי:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

כאשר c הוא קבוע שאינו רע.

המשוואה x + y = cz, והמשוואה x - y = 1 / c תואמים שני מישורים עם וקטורים נורמליים n = <1,1, -c> ו- m = <1, -1,0>. המוצר הווקטורי mxn = <- c, -c, -2> נותן לנו את הכיוון של קו הצומת של שני המטוסים. ואז לאחד הקווים שעוברים בנקודה P ושייך לפרבולואיד ההיפרבולי יש משוואה פרמטרית:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

כדי לקבוע c אנו מחליפים את הנקודה P במשוואה x + y = cz, מקבלים:

c = -1

בצורה דומה, אך בהתחשב במשוואות (x - y = kz) ו- (x + y = 1 / k) יש לנו את המשוואה הפרמטרית של הקו:

= <0, 1, -1> + s עם k = 1.

לסיכום, שתי השורות:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> ו- = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

הם כלולים לחלוטין בפרבולואידים ההיפרבוליים z = x ² - y ² העוברים בנקודה (0, 1, -1).

כבדיקה, נניח t = 1 שנותן לנו את הנקודה (1,2, -3) בשורה הראשונה. אתה צריך לבדוק אם הוא נמצא גם על הפרבולואידי z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

מה שמאשר שהוא אכן שייך לפני השטח של הפרבולואיד ההיפרבולי.

הפרבולואיד ההיפרבולי באדריכלות

תרשים 6. אוקיאנוגרפיה של ולנסיה (ספרד). מקור: Wikimedia Commons.

הפרבולואיד ההיפרבולי שימש באדריכלות על ידי אדריכלי האוונגרד הגדולים, שביניהם בולטים שמותיו של האדריכל הספרדי אנטוני גאודי (1852-1926) ובמיוחד במיוחד פליקס קנדלה הספרדית (1910-1997).

להלן מספר עבודות המבוססות על הפרבוליד ההיפרבולי:

קפלה של העיר קורנווקה (מקסיקו) עבודות של האדריכל פליקס קנדלה.

האוקיאנוגרפיה של ולנסיה (ספרד), גם מאת פליקס קנדלה.

הפניות

1. אנציקלופדיה של מתמטיקה. פני שטח מבוקרים. התאושש מ: encyclopediaofmath.org
2. לירה רובן. פרבולואיד היפרבולי. התאושש מ: rubenllera.wordpress.com
3. ויסשטיין, אריק וו. "פרבולואיד היפרבולי." מאת MathWorld - משאב אינטרנט של וולפרם. התאושש מ: mathworld.wolfram.com
4. ויקיפדיה. פרבולואיד. התאושש מ: en.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. פרבולואיד. התאושש מ: es.wikipedia.com
6. ויקיפדיה. משטח שליט. התאושש מ: en.wikipedia.com