מספרים טבעיים: היסטוריה, מאפיינים, פעולות, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

המספרים הטבעיים הם אלה שמשרתים כדי לספור את מספר האלמנטים של קבוצה מסוימת. לדוגמא, מספרים טבעיים הם אלה שמשמשים כדי לגלות כמה תפוחים יש בקופסה. הם משמשים גם להזמנת האלמנטים של סט, למשל תלמידי כיתות א 'לפי סדר הגודל.

במקרה הראשון אנו מדברים על מספרים קרדינליים ובשני מספרים נקודתיים, למעשה, "ראשון" ו"שני "הם מספרים טבעיים מסודרים. להפך, אחד (1), שניים (2) ושלושה (3) הם מספרים טבעיים קרדינליים.

איור 1. מספרים טבעיים הם אלה המשמשים לספירה והזמנה. מקור: Pixabay.

בנוסף לשימוש בספירה והזמנה, מספרים טבעיים משמשים גם כדרך לזהות ולהבדיל את האלמנטים של סט מסוים.

לדוגמא, לתעודת הזהות יש מספר ייחודי, המוקצה לכל אדם השייך למדינה מסוימת.

בסימון מתמטי מצוין קבוצת המספרים הטבעיים כך:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ………..}

ומערך המספרים הטבעיים עם אפס מצוין בדרך אחרת זו:

ℕ ⁺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

בשתי הקבוצות האליפסות מצביעות על כך שהיסודות ממשיכים ברציפות עד אינסוף, והמילה אינסוף היא הדרך לומר שלסט אין סוף.

לא משנה כמה גדול יכול להיות מספר טבעי, אתה תמיד יכול לקבל את הבא בגובהו.

הִיסטוֹרִיָה

לפני שהמספרים הטבעיים הופיעו, כלומר קבוצת הסמלים והשמות המציינים כמות מסוימת, בני האדם הראשונים השתמשו בסט השוואה אחר, למשל אצבעות הידיים.

אז אם לומר שמצאו עדר של חמישה ממותות, הם השתמשו באצבעות יד אחת כדי לסמל את המספר הזה.

מערכת זו יכולה להשתנות מקבוצה אנושית אחת לשנייה, אולי אחרות השתמשו במקום אצבעותיהן בקבוצת מקלות, אבנים, חרוזי שרשרת או קשרים בחבל. אבל הדבר הבטוח ביותר הוא שהם השתמשו באצבעותיהם.

ואז סמלים החלו להופיע כמייצגים כמות מסוימת. בהתחלה הם היו סימנים על עצם או על מקל.

חריטות ברזל על לוח חרס, המייצגות סמלים מספריים ומתוארכים משנת 400 לפני הספירה, ידועים ממסופוטמיה, שהיא כיום מדינת עירק.

סמלים התפתחו, ולכן היוונים ובהמשך הרומאים השתמשו באותיות לציון מספרים.

מספרים בערבית

המספרים הערבים הם המערכת בה אנו משתמשים כיום והם הובאו לאירופה על ידי הערבים שכבשו את חצי האי האיברי, אך הם הומצאו למעשה בהודו, וזו הסיבה שהם מכונים מערכת המספרים ההודו-ערבית.

מערכת המספור שלנו מבוססת על עשר, מכיוון שיש עשר אצבעות.

יש לנו עשרה סמלים לביטוי כל כמות מספרית, סמל אחד לכל אצבע ביד.

סמלים אלה הם:

בעזרת סמלים אלה ניתן לייצג כל כמות באמצעות מערכת העמדה: 10 היא עשר יחידות אפס, 13 היא עשר ושלוש יחידות, 22 שתי עשרות שתי יחידות.

יש להבהיר כי מעבר לסמלים ולמערכת המספור, מספרים טבעיים תמיד היו קיימים ותמיד היו משתמשים בדרך זו או אחרת על ידי בני אדם.

מאפיינים של מספרים טבעיים

קבוצת המספרים הטבעיים היא:

ℕ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

ואיתם תוכלו לספור את מספר האלמנטים בסט אחר או להזמין אלמנטים אלה, אם לכל אחד מהם מוקצה מספר טבעי.

זה אינסופי וספור

קבוצת המספרים הטבעיים היא סט מסודר שיש בו אלמנטים אינסופיים.

עם זאת, מדובר בערכה לספירה במובן זה שאפשר לדעת כמה אלמנטים או מספרים טבעיים ישנם בין מספר אחד למשנהו.

לדוגמא, אנו יודעים שבין 5 ל 9 ישנם חמישה אלמנטים, כולל 5 ו 9.

זה סט מסודר

בהיותך סט מסודר, אתה יכול לדעת אילו מספרים הם אחרי מספר מסוים או לפניו. בדרך זו ניתן ליצור בין שני אלמנטים של הסט הטבעי יחסי השוואה כמו אלה:

7> 3 פירושו ששבע גדול משלוש

2 <11 נקרא שניים הוא פחות מאחד עשר

ניתן לקבץ אותם יחד (פעולת תוספת)

3 + 2 = 5 פירושו שאם אתה מצטרף לשלושה אלמנטים עם שני אלמנטים, יש לך חמישה אלמנטים. הסמל + מציין את פעולת התוספת.

פעולות עם מספרים טבעיים

- סכום

1.- התוספת היא פעולה פנימית , במובן זה שאם יתווספו שני אלמנטים של הסט ℕ של מספרים טבעיים, יתקבל אלמנט נוסף השייך לסט האמור. באופן סמלי זה היה קורא כך:

2.- פעולת הסכום על נטורלס היא קומיטטיבית, מה שאומר שהתוצאה זהה גם אם התוספות הפוכות. באופן סמלי זה בא לידי ביטוי כך:

אם a ∊ ℕ ו- b ∊ ℕ , אז a + b = b + a = c שם c ∊ ℕ

לדוגמא, 3 + 5 = 8 ו- 5 + 3 = 8, כאשר 8 הוא מרכיב של המספרים הטבעיים.

3.- סכום המספרים הטבעיים ממלא את הרכוש האסוציאטיבי:

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

דוגמא תבהיר זאת. אנו יכולים להוסיף כך:

3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17

ובדרך זו גם:

3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17

לבסוף, אם תוסיפו באופן זה תקבלו גם את אותה התוצאה:

3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17

4.- יש את האלמנט הנייטרלי של הסכום ואלמנט זה הוא אפס: a + 0 = 0 + a = a. לדוגמה:

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

- חיסור

- מפעיל החיסור מסומן בסמל -. לדוגמה:

5 - 3 = 2.

חשוב שהאופראנד הראשון יהיה גדול או שווה ל (≥) מהאופראנד השני, כי אחרת פעולת החיסור לא הייתה מוגדרת בטבעיות:

a - b = c, כאשר c ∊ ℕ אם ורק אם a b.

- כפל

- ריבוי מצוין על ידי ⋅ באמצעים להוסיף לעצמו פעמים b. לדוגמא: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

- חטיבה

החלוקה מסומנת על ידי: a ¨ באמצעות כמה פעמים b ב a. לדוגמה, 6 ÷ 2 = 3 מכיוון ש -2 כלול 6 פעמים שלוש (3).

דוגמאות

איור 2. מספרים טבעיים מאפשרים לך לספור כמה תפוחים יש בקופסה. מקור: pixabay

- דוגמה 1

בקופסה אחת סופרים 15 תפוחים ואילו בתיבה אחרת 22 תפוחים נספרים. אם כל התפוחים מהקופסה השנייה מונחים בתוך הראשון, כמה תפוחים יהיו בתיבה הראשונה?

תשובה

15 + 22 = 37 תפוחים.

- דוגמא 2

אם תוסרו בקופסה של 37 תפוחים 5, כמה יישארו בתיבה?

תשובה

37 - 5 = 32 תפוחים.

- דוגמא 3

אם יש לך 5 קופסאות עם 32 תפוחים כל אחת, כמה תפוחים יהיו בסך הכל?

תשובה

הפעולה תהיה להוסיף 32 עם עצמו פי 5 מה שמסומן כך:

32 ⋅ 5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

- דוגמא 4

אתה רוצה לחלק קופסה של 32 תפוחים ל -4 חלקים. כמה תפוחים יכיל כל חלק?

תשובה

המבצע הוא חלוקה שמצוינת כך:

32 ÷ 4 = 8

כלומר, ישנן ארבע קבוצות של שמונה תפוחים כל אחת.

הפניות

1. סט מספרים טבעיים לכיתות ה 'בבית הספר היסודי. התאושש מ: aktivitetereducativas.net
2. מתמטיקה לילדים. מספרים טבעיים. התאושש מ: elhuevodechocol.com
3. מרתה. מספרים טבעיים. התאושש מ: superprof.es
4. מורה. המספרים הטבעיים. התאושש מ: unprofesor.com
5. ויקיפדיה. מספר טבעי. התאושש מ: wikipedia.com