מספרים שלמים: מאפיינים, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

המספרים השלמים הם קבוצה של מספרים שימושיים לספור חפצים שיהיה ברשותך מלאה ויש לא. כמו כן לספור את מי שנמצא בצד אחד ומצד שני של מקום התייחסות מסוים.

גם עם מספרים שלמים תוכלו לבצע את החיסור או ההבדל בין מספר למשנהו הגדול ממנו, והתוצאה מסודרת כחוב, למשל. ההבחנה בין הרווחים לחובות נעשית עם סימני + ו- - בהתאמה.

איור 1. שורת המספרים למספרים שלמים. מקור: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

לכן קבוצת המספרים השלמים כוללת את הדברים הבאים:

מספרים שלמים חיוביים, שנכתבים לפניהם סימן +, או פשוט ללא הסימן, שכן מובן גם שהם חיוביים. לדוגמה: +1, +2, + 3 … וכן הלאה.

-ה 0, בו הסימן אינו רלוונטי, מכיוון שלא חשוב להוסיף אותו בכדי לחסר אותו מכמות כלשהי. אבל 0 חשוב מאוד, מכיוון שזו מספר ההתייחסות למספרים שלמים: מצד אחד הם החיוביים, ובצד שני השליליות, כפי שאנו רואים באיור 1.

מספרים שלמים שליליים, שחייבים לכתוב תמיד לפני שקיים השלט - מכיוון שהם מבחינים בין סכומים כמו חובות לבין כל אלה שבצד השני של ההפניה. דוגמאות למספרים שלמים שליליים הם: -1, -2, -3 … ואילך.

כיצד מייצגים מספרים שלמים?

בהתחלה אנו מייצגים את המספרים השלמים עם הסימון שנקבע: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, כלומר, רשימות ו מְאוּרגָן. אבל ייצוג שימושי מאוד הוא זה שמשמש את קו המספרים. זה דורש ציור קו, שהוא בדרך כלל אופקי, עליו מסומן 0 ומחולק לקטעים זהים:

איור 2. ייצוג מספרים שלמים בשורת המספרים. מ- 0 לימין הם המספרים השלמים החיוביים ומ -0 לשמאל הם השליליים. מקור: פ. זפטה.

השליליות הולכות משמאל ל- 0 והחיוביות הולכות לימין. החצים בשורת המספרים מסמלים שהמספרים ממשיכים לאינסוף. בהינתן מספר שלם כלשהו, ​​תמיד ניתן למצוא אחד שהוא גדול יותר או אחר שהוא פחות.

הערך המוחלט של מספר שלם

הערך המוחלט של מספר שלם הוא המרחק בין המספר ל- 0. והמרחקים הם תמיד חיוביים. לכן הערך המוחלט של המספר השלילי הוא המספר ללא סימן המינוס שלו.

לדוגמה, הערך המוחלט של -5 הוא 5. הערך המוחלט מסומן על ידי סורגים, כדלקמן:

- 5- = 5

כדי לדמיין את זה, פשוט ספר את הרווחים בשורת המספרים, בין -5 ל -0. בעוד שהערך המוחלט של מספר שלם חיובי הוא אותו מספר, למשל - + 3- = 3, מכיוון שהמרחק שלו מ -0 הוא עם 3 חללים:

איור 3. הערך המוחלט של מספר שלם הוא תמיד כמות חיובית. מקור: פ. זפטה.

נכסים

-המספר של מספרים שלמים מסומן כ- Z וכולל את מערך המספרים הטבעיים N, כאשר האלמנטים שלהם הם אינסופיים.

-מספר שלם וזה שאחריו (או זה שקודם לו) נבדלים תמיד באחדות. לדוגמא, אחרי 5 מגיע 6, כאשר 1 הוא ההבדל ביניהם.

לכל מספר שלם יש קודם וממשיך דרכו.

מספר שלם חיובי גדול מ- 0.

מספר שלם שלילי הוא תמיד פחות מ -0 וכל מספר חיובי. קח לדוגמא את המספר -100, זה פחות מ- 2, 10 ו- 50. אבל הוא גם פחות מ- -10, -20 ו- -99 והוא גדול מ- -200.

ל- 0 אין שיקולי סימנים, מכיוון שהוא אינו שלילי ואינו חיובי.

-עם מספרים שלמים תוכלו לבצע את אותן פעולות הנעשות במספרים טבעיים, כלומר: חיבור, חיסור, כפל, העצמה ועוד.

המספר שלם שמול מספר שלם מסוים x הוא –x והסכום של מספר שלם עם ההפך שלו הוא 0:

x + (-x) = 0.

פעולות עם מספרים שלמים

- סכום

אם למספרים שיש להוסיף אותו סימן, הערכים המוחלטים שלהם מתווספים והתוצאה ממוקמת בסימן התוספות. הנה כמה דוגמאות:

א) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

ב) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

אם המספרים הם בעלי סימן שונה, מופחתים הערכים המוחלטים (הגבוהים מהנמוכים ביותר) והתוצאה ממוקמת בסימן המספר עם הערך המוחלט הגבוה ביותר, כדלקמן:

א) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

ב) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

מאפייני סכום מספרים שלמים

-הסכום תקין, לכן סדר התוספים אינו משנה את הסכום. תן a ו- b להיות שני מספרים שלמים, נכון ש- a + b = b + a

-ה 0 הוא היסוד הנייטרלי של סכום מספרים שלמים: a + 0 = a

-כל מספר שלם שנוסף להיפך הוא 0. ההפך מ + a הוא –a, ולהיפך, ההיפך מ –a הוא + a. לכן: (+ a) + (-a) = 0.

איור 2. כלל הסימנים להוספת מספרים שלמים. מקור: Wikimedia Commons.

- חיסור

בכדי לחסר מספרים שלמים, יש להנחות על ידי כלל זה: חיסור שווה לתוספת של מספר עם ההיפך שלו. בואו a ו- b יהיו שני מספרים, ואז:

a - b = a + (-b)

לדוגמה, נניח שעליך לבצע את הפעולה הבאה: (-3) - (+7) ואז:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- כפל

הכפל של מספרים שלמים עוקב אחר כללים מסוימים לסימנים:

המוצר של שני מספרים עם אותו סימן הוא תמיד חיובי.

כאשר מוכפלים שני מספרים עם סימנים שונים, התוצאה תמיד שלילית.

הערך של המוצר שווה להכפלת הערכים המוחלטים בהתאמה.

מייד כמה דוגמאות המבהירות את האמור לעיל:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

מאפייני כפל מספרים שלמים

-רב-ריבוי הוא קומוטטיבי. תן a ו- b להיות שני מספרים שלמים, נכון ש- ab = ba, שיכול לבוא לידי ביטוי גם כ:

-היסוד הנייטרלי של הכפל הוא 1. תן ל להיות מספר שלם, לכן a.1 = 1

-כל מספר שלם כפול 0 שווה ל 0: a.0 = 0

הנכס החלוק

הכפל תואם את הנכס המחלק ביחס לתוספת. אם a, b ו- c הם מספרים שלמים אז:

א. (b + c) = ab + ac

להלן דוגמה ליישום נכס זה:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

העצמה

אם הבסיס חיובי, התוצאה של הפעולה היא תמיד חיובית.

-כשהבסיס שלילי, אם המוצפן שווה, התוצאה חיובית. ואם המפתח הוא מוזר, התוצאה שלילית.

- חטיבה

אותם כללי סימן חלים בחלוקה כמו בכפל:

כאשר מחלקים שני מספרים שלמים של אותו סימן, התוצאה תמיד חיובית.

כאשר מחולקים שני מספרים שלמים עם סימנים שונים, המנה שלילי.

לדוגמה:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

חשוב : חלוקה אינה קומיטטיבית, במילים אחרות: a ÷ b ≠ b ÷ a וכמו תמיד, חלוקה ב- 0 אסורה.

העצמה

תן a להיות מספר שלם ואנחנו רוצים להעלות אותו לאקספקטנט n, אז עלינו להכפיל a כשלעצמו n פעמים, כמוצג להלן:

a ⁿ = aaaa… .. .a

שקול גם את הדברים הבאים, תוך התחשבות בכך ש- n הוא מספר טבעי:

-אם a שלילי ו- n שווה, התוצאה חיובית.

-אם a הוא שלילי ו- n הוא מוזר, זה מביא למספר שלילי.

-אם a חיובי ו- n שווה או מוזר, מספר שלם חיובי תמיד נוצר.

-כל מספר שלם שהועלה ל -0 שווה ל -1: א ⁰ = 1

-כל המספר שהועלה ל -1 שווה למספר: a ¹ = a

בואו נגיד למשל שאנחנו רוצים למצוא (–3) ⁴ , לשם כך אנו נכפילים (-3) ארבע פעמים בפני עצמו, כך: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

דוגמא נוספת, גם עם מספר שלילי היא:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

תוצר של סמכויות בעלות שווה בסיס

נניח שתי כוחות בעלות בסיס שווה, אם נכפיל אותן נקבל כוח אחר עם אותו בסיס, שהמרכיב שלו הוא סכום הממצאים הנתונים:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

כמות שווה של סמכויות בסיס שוות

כאשר מחלקים כוחות של בסיס שווה, התוצאה היא כוח עם אותו בסיס, שהמרכיב שלו הוא החיסור של המוצאים הנתונים:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

להלן שתי דוגמאות המבהירות את הנקודות הללו:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

דוגמאות

בואו נראה דוגמאות פשוטות ליישום כללים אלה, ונזכור שבמקרה של מספרים שלמים חיוביים, ניתן לוותר על השלט:

א) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

ב) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

ג) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

ד) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

ה) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

נמלה נעה לאורך קו המספר באיור 1. החל מהנקודה x = +3, היא עושה את התנועות הבאות:

מעביר 7 יחידות מימין

עכשיו אתה מחזיר 5 יחידות שמאלה

-צעד 3 יחידות נוספות משמאל.

-הוא חוזר ומעביר 4 ​​יחידות ימינה.

באיזו שלב הנמלה בסוף הסיור?

פִּתָרוֹן

בוא נקרא לעקירות ד. כאשר הם מימין נותנים להם סימן חיובי וכאשר הם משמאל סימן שלילי. בדרך זו, ומתחיל מ- x = +3 יש לנו:

-ד ראשונה: x ₁ = +3 + 7 = +10

-שניה D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-שלישי D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-חדר D: x ₄ = +2 + 4 = +6

כשהנמלה מסיימת את הליכתה היא במצב x = +6. כלומר, מדובר על 6 יחידות מימין ל- 0 בקו המספר.

- תרגיל 2

לפתור את הפעולה הבאה:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

פִּתָרוֹן

פעולה זו מכילה שלטי קיבוץ, שהם סוגריים, סוגריים מרובעים וסוגריים. כשאתה פותר, צריך קודם כל לטפל בסוגריים, אחר כך בסוגריים, ולבסוף הסוגריים. במילים אחרות, עליכם לעבוד מבפנים החוצה.

בתרגיל זה הנקודה מייצגת כפל, אך אם אין נקודה בין מספר לסוגריים או לסמל אחר, מובן שהיא גם תוצר.

מתחת לרזולוציה שלב אחר שלב, הצבעים משמשים כמדריך לעקוב אחר התוצאה של צמצום הסוגריים, שהם סמלי הקיבוץ הפנימיים ביותר:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- תרגיל 3

לפתור את משוואת התואר הראשון:

12 + x = 30 + 3x

פִּתָרוֹן

המונחים מקובצים עם הלא ידוע משמאל לשוויון, והמונחים המספריים מימין:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

הפניות

1. Carena, M. 2019. מדריך מתמטיקה לפני האוניברסיטה. האוניברסיטה הלאומית של ליטורל.
2. Figuera, J. 2000. מתמטיקה בכיתה ז '. מהדורות CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. מבחר נושאים במתמטיקה. פרסומי מונפורט.
4. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
5. המספרים השלמים. התאושש מ: Cimanet.uoc.edu.