מספרים מורכבים: מאפיינים, דוגמאות, פעולות - מתמטיקה - 2025

מספרי מרוכבים הם הסט המספרי מכסה מספרים אמיתיים וכל השורשים של פולינומי כולל שורשי זוגות של מספרים שליליים. שורשים אלה אינם קיימים במערך המספרים האמיתיים, אך במספרים מורכבים יש את הפיתרון.

מספר מורכב מורכב מחלק אמיתי וחלק שנקרא "דמיוני". החלק האמיתי נקרא למשל, והחלק המדומה ib, עם המספרים האמיתיים a ו- b ו"אני "כיחידה המדומה. באופן זה המספר המורכב לובש את הצורה:

איור 1 - ייצוג בינומי של מספר מורכב מבחינת חלק אמיתי וחלק דמיוני. מקור: Pixabay.

דוגמאות למספרים מורכבים הם 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. אך לפני שנפעל איתם, בואו לראות מאיפה מקור היחידה הדמיונית בה אני שוקל את המשוואה הריבועית הזו:

x ² - 10x + 34 = 0

בהם a = 1, b = -10 ו- c = 34.

כאשר מיישמים את הנוסחה המפתה לקביעת הפיתרון, אנו מוצאים את הדברים הבאים:

כיצד לקבוע את הערך של √-36? אין מספר אמיתי כי בריבוע מייצר כמות שלילית. אז ניתן להסיק כי למשוואה זו אין פתרונות אמיתיים.

עם זאת, אנו יכולים לכתוב זאת:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

אם נגדיר ערך מסוים x כך:

x ² = -1

כך:

x = ± √-1

ולמשוואה לעיל יהיה פיתרון. לכן, היחידה הדמיונית הוגדרה כ:

i = √-1

וכך:

√-36 = 6i

מתמטיקאים רבים מימי קדם עבדו על פתרון בעיות דומות, ובמיוחד ג'ירולמו קרדאנו הרנסאנס (1501-1576), ניקולו פונטנה (1501-1557) ורפאלה בומבלי (1526-1572).

שנים אחר כך רנה דקרט (1596-1650) כינה את הכמויות "דמיוניות" כמו √-36 בדוגמה. מסיבה זו √-1 ידוע כיחידה הדמיונית.

מאפיינים של מספרים מורכבים

מערך המספרים המורכבים מסומן כ- C וכולל את המספרים האמיתיים R ואת המספרים המדומים. ערכות המספרים מיוצגות בתרשים Venn, כפי שמוצג באיור הבא:

איור 2. תרשים Venn של קבוצות המספרים. מקור: פ. זפטה.

-כל המספר המורכב מורכב מחלק אמיתי וחלק דמיוני.

כאשר החלק הדמיוני של מספר מורכב הוא 0, זהו מספר אמיתי טהור.

אם החלק האמיתי של מספר מורכב הוא 0, המספר הוא דמיוני טהור.

- מספרים מורכבים שווים אם החלק האמיתי שלהם וחלקם המדומה זהים.

-במספרים מורכבים מבצעים את הפעולות הידועות של חיבור, חיסור, כפל, מוצר ושיפור, וכתוצאה מכך מספר מורכב אחר.

ייצוג מספרים מורכבים

ניתן לייצג מספרים מורכבים בדרכים שונות. להלן העיקריות:

- צורה בינומית

זוהי הצורה שניתנה בתחילת הדרך, בה z הוא המספר המורכב, a הוא החלק האמיתי, b הוא החלק המדומה ואני i היחידה המדומה:

או גם:

אחת הדרכים לתאר את המספר המורכב היא דרך המישור המורכב המוצג באיור זה. הציר הדמיוני Im הוא אנכי, ואילו הציר האמיתי הוא אופקי ומסומן כ- Re.

המספר המורכב z מיוצג במישור זה כנקודת קואורדינטות (x, y) או (a, b), כפי שהוא נעשה עם נקודות המישור האמיתי.

המרחק מהמקור לנקודה z הוא מודולוס המספר המורכב, המצוין כ- r, ואילו φ הוא הזווית שעושה r עם הציר האמיתי.

איור 3. איור של מספר מורכב במישור המורכב. מקור: Wikimedia Commons.

ייצוג זה קשור קשר הדוק לזה של וקטורים במישור האמיתי. הערך של r תואם את המודולוס של המספר המורכב.

- צורה קוטבית

הצורה הקוטבית מורכבת מביטוי המספר המורכב על ידי מתן ערכים של r ושל φ. אם אנו מסתכלים על הדמות, הערך של r תואם את הצמצם המשולש של משולש ימין. הרגליים שוות a ו- b, או x ו- y.

מהצורה הבינומית או הבינומית, אנו יכולים לעבור לצורה הקוטבית על ידי:

הזווית φ היא זו שנוצרה על ידי הקטע r עם הציר האופקי או הציר הדמיוני. זה ידוע כטיעון המספרים המורכב. בדרך זו:

לוויכוח יש אינסוף ערכים, תוך התחשבות שבכל פעם שמפנה פנייה, ששווה 2 רדיאנים, r תופס שוב את אותה המיקום. בדרך כללית זו, הטיעון של z, המכונה ארג (z), בא לידי ביטוי כך:

כאשר k הוא מספר שלם ומשמש לציון מספר הסיבובים שהסתובבו: 2, 3, 4…. השלט מציין את כיוון הסיבוב, אם הוא עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון.

איור 4. ייצוג קוטבי של מספר מורכב במישור המורכב. מקור: Wikimedia Commons.

ואם אנו רוצים לעבור מהצורה הקוטבית לצורה הבינומית, אנו משתמשים ביחס הטריגונומטרי. מהנתון הקודם ניתן לראות כי:

x = r cos φ

y = r sin φ

באופן זה z = r (cos φ + i sin φ)

המקוצר כך:

z = r cis φ

דוגמאות למספרים מורכבים

המספרים המורכבים הבאים ניתנים בצורה בינומית:

א) 3 + i

ב) 4

ד) -6i

ואלו בצורת זוג מסודר:

א) (-5, -3)

ב) (0, 9)

ג) (7.0)

לבסוף, קבוצה זו ניתנת בצורה קוטבית או טריגונומטרית:

א) צלזיוס 45º

ב) √3 צלזיוס 30º

ג) 2 סיסות 315º

בשביל מה הם מיועדים?

התועלת של מספרים מורכבים חורגת מפיתרון המשוואה המרובעת המוצגת בתחילתה, מכיוון שהם חיוניים בתחום ההנדסה והפיזיקה, במיוחד ב:

-מחקר גלים אלקטרומגנטיים

ניתוח ניתוח זרם מתח ומתח

הדוגמנות של כל מיני האותות

-תיאוריית היחסות, שבה הזמן נתפס כעוצמה דמיונית.

פעולות מספר מורכבות

עם מספרים מורכבים אנו יכולים לבצע את כל הפעולות הנעשות באמצעות כאלה אמיתיות. חלקם קל יותר לעשות אם המספרים מגיעים בצורה בינומית, כמו חיבור וחיסור. לעומת זאת הכפל והחלוקה פשוטים יותר אם הם מתבצעות בצורה הקוטבית.

בוא נראה כמה דוגמאות:

- דוגמה 1

הוסף z ₁ = 2 + 5i ו- z ₂ = -3 -8i

פִּתָרוֹן

החלקים האמיתיים מתווספים בנפרד מהחלקים המדומים:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- דוגמא 2

הכפל z ₁ = 4 סיס 45º ו z ₂ = 5 סיס 120 מעלות

פִּתָרוֹן

ניתן להראות כי התוצר של שני מספרים מורכבים בצורה קוטבית או טריגונומטרית ניתן על ידי:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

לפי זה:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) סיס (45 + 120) = 20 סיס 165º

יישום

יישום פשוט של מספרים מורכבים הוא למצוא את כל שורשי משוואת הפולינום כמו זו המוצגת בתחילת המאמר.

במקרה של המשוואה x ² - 10x + 34 = 0, החלת הנוסחה המפתה אנו משיגים:

לכן הפתרונות הם:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

הפניות

1. ארל, ר. מספרים מורכבים. התאושש מ: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. מתמטיקה 1. מְגוּוָן. מהדורות CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. מבחר נושאים במתמטיקה. פרסומי מונפורט.
4. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
5. ויקיפדיה. מספרים מסובכים. התאושש מ: en.wikipedia.org