מספר אוילר או מספר E: כמה זה שווה, מאפיינים, יישומים - מתמטיקה - 2025

דואר או מספר אוילר הוא קבוע מתמטי ידוע המופיע תדיר רבים יישומים מדעיים וכלכליים, יחד עם π מספר ונתונים חשובים אחרים במתמטיקה.

מחשבון מדעי מחזיר את הערך הבא עבור המספר e:

איור 1. המספר של אוילר מופיע לעתים קרובות במדע. מקור: פ. זפטה.

e = 2.718281828 …

אבל ידוע על עשרונים רבים נוספים, למשל:

e = 2.71828182845904523536 …

ומחשבים מודרניים מצאו טריליונים של מקומות עשרוניים עבור המספר e.

זהו מספר לא הגיוני, כלומר יש לו מספר אינסופי של מקומות עשרוניים ללא דפוס חוזר (הרצף 1828 מופיע פעמיים בתחילתו ואינו חוזר עוד).

וזה גם אומר שלא ניתן להשיג את המספר e כמנה של שני מספרים שלמים.

הִיסטוֹרִיָה

המספר e זוהה על ידי המדען ז'אק ברנולי בשנת 1683 כאשר חקר את בעיית הריבית המורכבת, אך בעבר הוא הופיע בעקיפין ביצירותיו של המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נאפייר, שהמציא לוגריתמים בסביבות שנת 1618.

עם זאת, זה היה לאונרד אוילר בשנת 1727 שהעניק לו את השם מספר e ובחן באינטנסיביות את תכונותיו. זו הסיבה שהוא ידוע גם כמספר אוילר וגם כבסיס טבעי לוגריתמים טבעיים (אקספקטנט) המשמש כיום.

כמה שווה המספר e?

המספר e שווה:

e = 2.71828182845904523536 …

האליפסיס פירושו שיש מספר אינסופי של עשרונים ולמעשה, עם המחשבים של ימינו, מיליונים מהם ידועים.

ייצוגים של המספר ה

ישנן מספר דרכים להגדיר דואר שתיארנו להלן:

המספר e כמגבלה

אחת הדרכים השונות בהן מבטא את המספר e היא זו שמצא המדען ברנולי ביצירותיו על ריבית מורכבת:

בו עליכם להפוך את הערך n למספר גדול מאוד.

קל לבדוק, בעזרת מחשבון, שכאשר n גדול מאוד, הביטוי הקודם נוטה לערך ה- e שצוין לעיל.

כמובן שאנחנו יכולים לשאול את עצמנו כמה גדול יכול להיות n, אז בואו ננסה מספרים עגולים, כמו אלה למשל:

n = 1000; 10,000 או 100,000

במקרה הראשון נקבל e = 2.7169239…. ב e = 2.7181459 השני … ובשלישי הוא קרוב יותר לערך e: 2.7182682. אנו כבר יכולים לדמיין שעם n = 1,000,000 ומעלה, הקירוב יהיה אפילו טוב יותר.

בשפה מתמטית הנוהל של קירוב n להתקרב לערך גדול מאוד נקרא הגבול לאינסוף ומצוין כך:

כדי לציין אינסוף נעשה שימוש בסמל "∞".

המספר e כסכום

ניתן גם להגדיר את המספר e באמצעות פעולה זו:

הנתונים המופיעים במכנה: 1, 2, 6, 24, 120 … תואמים את הפעולה n!, שם:

ובהגדרה 0! = 1.

קל לבדוק שככל שנוספו תוספות רבות יותר, כך להגיע למספר e יותר מדויק.

בואו נעשה כמה בדיקות עם המחשבון, ונוסיף עוד ועוד תוספות:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

ככל שנוספו יותר תנאים לסכום, התוצאה דומה ל- e.

מתמטיקאים המציאו סימון קומפקטי לסכומים אלה הכוללים מונחים רבים, תוך שימוש בסמל הסיכום Σ:

הביטוי הזה נקרא כך "סכום מ- n = 0 עד אינסוף של 1 בין n factorial".

המספר e מנקודת המבט הגיאומטרית

למספר e יש ייצוג גרפי הקשור לאזור שמתחת לתרשים של העקומה:

y = 1 / x

כאשר הערכים של x הם בין 1 ל- e, אזור זה שווה ל 1, כפי שמודגם באיור הבא:

איור 2. איור 2. ייצוג גרפי של המספר e: האזור שמתחת לעיקול 1 / x, בין x = 1 ל- x = e שווה 1. מקור: F. Zapata.

מאפייני המספר ה

חלק מהמאפיינים של המספר e הם:

זה לא הגיוני, במילים אחרות, אי אפשר להשיג אותו פשוט על ידי חלוקת שני מספרים שלמים.

המספר e הוא גם מספר טרנסצנדנטי, כלומר e אינו פיתרון למשוואה פולינומית כלשהי.

זה קשור לארבעה מספרים מפורסמים אחרים בתחום המתמטיקה, כלומר: π, i, 1 ו- 0, דרך זהות אוילר:

המספרים המורכבים כביכול יכולים לבוא לידי ביטוי באמצעות e.

זה מהווה את בסיס הלוגריתמים הטבעיים או הטבעיים של ימינו (ההגדרה המקורית של ג'ון נאפייר שונה מעט).

זה המספר היחיד כזה שהלוגריתם הטבעי שלו שווה ל 1, כלומר:

יישומים

סטָטִיסטִיקָה

המספר e מופיע לעיתים קרובות מאוד בתחום ההסתברות והסטטיסטיקה, מופיע בהפצות שונות, כגון נורמליות או גאוסיות, פויסון ואחרות.

הַנדָסָה

בהנדסה זה תכוף, מכיוון שהפונקציה האקספוננציאלית y = e ^x קיימת במכניקה ואלקטרומגנטיות, למשל. בין היישומים הרבים שאנו יכולים להזכיר:

-כבל או שרשרת שנתלים על ידי הקצוות, מאמצת את צורת העקומה שניתנה על ידי:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-קבל C שפורק בתחילה, המחובר בסדרה להתנגדות R ומקור מתח V לטעינה, רוכש מטען מסוים Q כפונקציה של הזמן t הניתן על ידי:

ש (t) = קורות חיים (1-e- ^{t / RC} )

ביולוגיה

הפונקציה המעריכית y = Ae ^Bx , עם A ו- B קבועה, משמשת למודל צמיחת תאים וצמיחת חיידקים.

גוּפָנִי

בפיזיקה גרעינית, ריקבון רדיואקטיבי וקביעת גיל מודלים על ידי תיארוך רדיואקטיבי.

כַּלְכָּלָה

בחישוב הריבית המורכבת המספר e עולה באופן טבעי.

נניח שיש לך כמות מסוימת של כסף P _o להשקיע בריבית של% i בשנה.

אם תשאיר את הכסף למשך שנה, לאחר הזמן הזה יהיה לך:

אחרי שנה נוספת בלי לגעת בה, יהיה לך:

ולהמשיך בדרך זו במשך n שנים:

עכשיו בואו נזכור אחת מההגדרות של e:

זה נראה קצת כמו הביטוי ל- P, ולכן חייבים להיות מערכת יחסים.

אנו הולכים לחלק את הריבית הנומינלית i בפרקי זמן מסוימים, באופן זה הריבית המורכבת תהיה i / n:

הביטוי הזה נראה קצת יותר כמו הגבול שלנו, אבל הוא עדיין לא אותו דבר.

עם זאת, לאחר כמה מניפולציות אלגבריות ניתן להראות שעל ידי ביצוע שינוי זה במשתנה:

הכסף P שלנו הופך:

ומה שבין הסד, גם אם הוא כתוב עם האות h, שווה לטיעון הגבול המגדיר את המספר e, חסר רק את המגבלה.

בואו נעשה h → ∞, ומה שבין הסדקים הופך למספר e. זה לא אומר שאנחנו צריכים לחכות זמן רב עד אינסוף כדי למשוך את הכסף שלנו.

אם אנו בוחנים מקרוב, על ידי יצירת h = n / i ונטייה ל ∞, מה שעשינו בפועל הוא להפיץ את הריבית על פני תקופות זמן מאוד מאוד קטנות:

i = n / h

זה נקרא הרכבה רציפה. במקרה כזה סכום הכסף מחושב בקלות כך:

איפה אני הריבית השנתית. לדוגמה, בעת הפקדת 12 אירו לפי 9% לשנה, באמצעות היוון רציף, לאחר שנה יש לך:

עם רווח של 1.13 אירו.

הפניות

1. תיהנו מתמטיקה. ריבית מתחם: הרכב תקופתי. התאושש מ: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. מתמטיקה 1. מְגוּוָן. מהדורות CO-BO.
3. García, M. המספר e בחישוב היסודי. התאושש מ: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
5. Larson, R. 2010. חישוב משתנה. ט '. מַהֲדוּרָה. מקגרו היל.