מטריצה ​​הפוכה: חישוב והתעמלות שנפתרה - מתמטיקה - 2025

מטריקס ההופכי של מטריצת נתון הוא המטריצה כי המוכפל המקורי נותנת מטריצת היחידה. המטריצה ​​ההפוכה מועילה לפתרון מערכות של משוואות לינאריות, ומכאן החשיבות של לדעת כיצד לחשב אותה.

מטריצות מועילות מאוד בפיזיקה, הנדסה ומתמטיקה, מכיוון שהן כלי קומפקטי לפיתרון בעיות מורכבות. השימוש במטריונים משופר כאשר הם בלתי ניתנים להמרה והידוע גם הפוך שלהם.

איור 1. מטריצה ​​2 × 2 גנרית והמטריקס ההפוך שלה מוצגים. (הוכן על ידי ריקרדו פרז)

בתחומי העיבוד הגרפי, ביג דאטה, כריית נתונים, למידת מכונה ואחרים, משתמשים באלגוריתמים יעילים ומהירים להערכת המטריצה ​​ההפוכה של מטריצות nxn עם n גדול מאוד, בסדר גודל של אלפים או מיליונים.

כדי להמחיש את השימוש במטריקס ההפוך בטיפול במערכת של משוואות ליניאריות, נתחיל במקרה הפשוט ביותר מכולם: מטריצות 1 × 1.

המקרה הפשוט ביותר: משקל לינארי של משתנה בודד נחשב: 2 x = 10.

הרעיון הוא למצוא את הערך של x, אבל זה ייעשה "מטריקס".

המטריצה ​​M = (2) שמכפילה את הווקטור (x) היא מטריקס 1 × 1 שמביא לווקטור (10):

M (x) = (10)

ההפוך של המטריצה ​​M מסומן על ידי M ^-1 .

הדרך הכללית לכתוב "מערכת לינארית" זו היא:

MX = B, כאשר X הוא הווקטור (x) ו- B הוא הווקטור (10).

מעצם הגדרתה, המטריקס ההפוך הוא כפול המכפילים את המטריצה ​​המקורית מביא למטריצת הזהות I:

M ^-1 M = אני

במקרה שנחשב, המטריצה ​​M ^-1 היא המטריצה ​​(½), כלומר M ^-1 = (½) מאז M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

כדי למצוא את הווקטור הלא ידוע X = (x), במשוואה המוצעת, שני החברים מוכפלים במטריקס ההפוך:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

הושג שוויון של שני ווקטורים, שהם שווים רק כאשר האלמנטים התואמים שלהם שווים, כלומר x = 5.

חישוב ההיפוך של מטריצה

מה שמניע את חישוב המטריצה ​​ההפוכה הוא למצוא שיטה אוניברסלית לפיתרון מערכות לינאריות כמו מערכת 2 × 2 הבאה:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

בעקבות השלבים של מקרה 1 × 1, שנלמד בסעיף הקודם, אנו כותבים את מערכת המשוואות בצורה מטריצתית:

איור 2. איור 2. מערכת לינארית בצורה מטריצתית.

שים לב שמערכת זו כתובה בסימון וקטורי קומפקטי כדלקמן:

MX = B

איפה

השלב הבא הוא למצוא את ההיפוך של מ.

שיטה 1: שימוש בחיסול גאוסי

שיטת החיסול של גאוס תוחל. המורכב מביצוע פעולות אלמנטריות בשורות המטריצה, פעולות אלה הן:

- הכפל שורה במספר שאינו אפס.

- הוסף או חיסר שורה נוספת משורה, או את הכפל של שורה אחרת.

- החלף את השורות.

המטרה היא באמצעות פעולות אלה להמיר את המטריצה ​​המקורית למטריצת הזהות.

ככל שזה נעשה, במטריקס M בדיוק אותן פעולות מוחלות על מטריצת הזהות. כאשר לאחר מספר פעולות בשורות, M הופך למטריצת היחידה, אז זה שהיה במקור היחידה יהפוך למטריצה ​​ההפוכה של M, כלומר M ^-1 .

1- אנו מתחילים את התהליך על ידי כתיבת המטריצה ​​M ולצידה מטריקס היחידה:

2- אנו מוסיפים את שתי השורות ושמנו את התוצאה בשורה השנייה, בדרך זו אנו משיגים אפס בגורם הראשון בשורה השנייה:

3- אנו מכפילים את השורה השנייה ב- -1 כדי להשיג 0 ו- 1 בשורה השנייה:

4- השורה הראשונה מוכפלת ב ½:

5 - השני והראשון מתווספים והתוצאה ממוקמת בשורה הראשונה:

6- כעת לסיום התהליך מכפילים את השורה הראשונה על ידי 2 כדי להשיג את מטריצת הזהות בשורה הראשונה ואת המטריצה ​​ההפוכה של המטריצה ​​המקורית M בשנייה:

זאת אומרת:

פיתרון מערכת

ברגע שמתקבלת המטריצה ​​ההפוכה, מערכת המשוואות נפתרת על ידי החלת המטריצה ​​ההפוכה על שני חברי משוואת הווקטור הקומפקטית:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

שנראה כך במפורש:

ואז מתבצעת כפל המטריצה ​​כדי להשיג וקטור X:

שיטה 2: שימוש במטריקס מצורף

בשיטה שנייה זו המטריצה הפוך חושב מן מטריקס הצמודה של המטריצה המקורית .

נניח מטריצה ​​A שניתנה על ידי:

איפה _{אני, j} הוא אלמנט בשורה i ועמודה j של המטריצה .

התוספת של המטריצה A תיקרא Adj (A) והרכיבים שלה הם:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j) ¦} Ai, j¦

איפה Ai, j הוא המטריצה הנמוכה המשלימים המתקבלת על ידי ביטול השורה i ועמודת j של המטריצה המקורית . הסורגים ¦ ¦ מציינים כי הקובע מחושב, כלומר ¦Ai, j¦ הוא הקובע של המטריצה ​​המשלימה המשנית.

נוסחת מטריקס הפוכה

הנוסחה למציאת המטריצה ​​ההפוכה המתחילה מהמטריצה ​​הסמוכה של המטריצה ​​המקורית היא כדלקמן:

האם, המטריצה ההפוכה של , ^-1 , הוא לשרבב של צמודות של מחולק הקובע של .

הטרנספר A ^T של מטריצה A מתקבל על ידי החלפת שורות לעמודה, כלומר השורה הראשונה הופכת לטור הראשון והשורה השנייה הופכת לטור השני וכן הלאה עד להשלמת השורות n של המטריצה ​​המקורית.

התרגיל נפתר

תן למטריצה ​​A להיות הבאה:

כל אחד מהרכיבים במטריקס הסמוך של A מחושב: Adj (A)

כתוצאה מכך המטריצה ​​הסמוכה של A, Adj (A) היא כדלקמן:

ואז המחושב של המטריצה ​​A, det (A) מחושב:

לבסוף מתקבלת המטריצה ​​ההפוכה של A:

הפניות

1. אנתוני ניקוליידס (1994) Determinants & Matrices. פרסום עובר.
2. Awol Assen (2013) מחקר על חישוב קובעי הגורם של 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) מבוא לאלגברה לינארית. ESIC מערכת.
4. דייב קירקבי (2004) מתמטיקה Connect. היינמן.
5. ג'ני אוליב (1998) מתמטיקה: מדריך הישרדות של סטודנטים. הוצאת אוניברסיטת קיימברידג '.
6. ריצ'רד ג'יי בראון (2012) מתמטיקה בת 30 שניות: 50 התיאוריות המרחיבות את המוח במתמטיקה. Ivy Press Limited.
7. מַטרִיצָה. הוצאה לאור אקדמית של Lap Lambert.