שיטה אקסיומטית: מאפיינים, צעדים, דוגמאות - אוצר מילים תרבות - 2025

השיטה האקסיומטית או המכונה גם axiomatics הוא הליך פורמלי המשמש את מדעי שבאמצעותו הצהרות או הצעות שנקרא האקסיומות מנוסחות, מחוברים זה לזה על ידי קרובת משפחה של ניכוי וכי הם הבסיס של השערות או תנאים של מערכת מסוימת.

הגדרה כללית זו חייבת להיות ממוסגרת בתוך ההתפתחות שהייתה למתודולוגיה זו לאורך ההיסטוריה. מלכתחילה, קיימת שיטה עתיקה או תוכן, שנולדה ביוון העתיקה מאוקליד ושוב פותחה על ידי אריסטו.

שנית, כבר במאה ה -19, הופעה של גיאומטריה עם אקסיומות שונה מזו של אוקליד. ולבסוף, השיטה האקסיומטית הפורמאלית או המודרנית, שהמרכז הגדול שלה היה דייוויד הילברט.

מעבר להתפתחותה לאורך זמן, נוהל זה היה הבסיס לשיטה הדדוקטיבית, המשמשת בגיאומטריה וההיגיון היכן שמקורה. זה שימש גם בפיזיקה, כימיה, וביולוגיה.

וזה אפילו מיושם בתחום מדעי המשפט, הסוציולוגיה וכלכלה פוליטית. עם זאת, כיום תחום היישום החשוב ביותר שלה הוא מתמטיקה והיגיון סמלי וכמה ענפי פיסיקה כמו תרמודינמיקה, מכניקה, בין תחומים אחרים.

מאפיינים

למרות שהמאפיין הבסיסי של שיטה זו הוא ניסוח אקסיומות, לא תמיד אלה נחשבו באותה צורה.

יש כמה שניתן להגדיר ולבנות בצורה שרירותית. ואחרים, על פי מודל בו האמת המובטחת נחשבת באופן אינטואיטיבי.

על מנת להבין באופן ספציפי ממה מורכב ההבדל הזה ותוצאותיו, יש לעבור את ההתפתחות של שיטה זו.

שיטה אקסיומטית עתיקה או תוכן

זהו זה שהוקם ביוון העתיקה לקראת המאה החמישית לפני הספירה תחום היישום שלה הוא הגיאומטריה. העבודה היסודית של שלב זה היא אלמנטים של אוקליד, אם כי זה נחשב שלפניו, פיתגורס, כבר הוליד את השיטה האקסיומטית.

לפיכך היוונים לוקחים עובדות מסוימות כאקסיומות, ללא צורך בהוכחה הגיונית כלשהי, כלומר ללא צורך בהוכחה, שכן מבחינתם הם מהווים אמת מובנת מאליה.

אוקליד מצידו מציג חמש אקסיומות לגיאומטריה:

בהינתן שתי נקודות יש שורה המכילה או מצטרפת אליהם.

ניתן להרחיב ברציפות 2-כל קטע בקו בלתי מוגבל משני הצדדים.

3-אתה יכול לצייר מעגל שיש לו מרכז בכל נקודה ובכל רדיוס.

4-הזוויות הנכונות זהות.

5 - לוקח כל קו ישר וכל נקודה שאינה נמצאת בו, יש קו ישר המקביל אליו וזה מכיל את הנקודה הזו. אקסיומה זו ידועה, מאוחר יותר, כאקסיומה של מקבילות והוגדרה גם כ: ניתן למשוך מקבילה יחידה מנקודה מחוץ לקו.

עם זאת, גם מתמטיקאים אוקוליד וגם מאוחר יותר מסכימים כי האקסיומה החמישית אינה ברורה באופן אינטואיטיבי כמו האחרים. גם במהלך הרנסנס נעשה ניסיון להסיק את החמישית מה -4 האחרים, אך זה לא אפשרי.

זה גרם לכך שכבר במאה ה- XIX, אלה ששמרו על החמישה היו בעד הגיאומטריה האוקלידית והמי שהכחישו את החמישית, היו אלה שיצרו את הגאומטריות הלא-אוקלידיות.

שיטה אקסיומטית שאינה אוקלידית

דווקא ניקולאי איבנוביץ 'לובאצ'בסקי, ג'אנוס בולייי ויוהן קארל פרידריך גאוס רואים אפשרות לבנות, ללא סתירה, גיאומטריה שמגיעה ממערכות אקסיומות אחרות מאלה של אוקליד. זה הורס את האמונה באמת המוחלטת או באביב הראשון של האקסיומות והתיאוריות הנובעות מהן.

כתוצאה מכך, אקסיומות מתחילות להיות נתונות כנקודות התחלה של תיאוריה מסוימת. גם בחירתו וגם בעיית תוקפה במובן זה או אחר, מתחילים להיות קשורים לעובדות מחוץ לתאוריה האקסיומטית.

באופן זה, מופיעות תיאוריות גיאומטריות, אלגבריות וחשבוניות שנבנו באמצעות השיטה האקסיומטית.

שלב זה מגיע לשיאו ביצירת מערכות אקסיומטיות לחשבון כמו ג'וזפה פיאנו בשנת 1891; הגיאומטריה של דייויד הוברט בשנת 1899; ההצהרות והחישובים המוקדמים של אלפרד צפון וייטהד וברטרנד ראסל באנגליה בשנת 1910; התיאוריה האקסיומטית של ארנסט פרידריך פרדיננד צרמלו בשנת 1908.

שיטה אקסיומטית מודרנית או פורמלית

דייויד הוברט הוא זה שיוזם את התפיסה של שיטה אקסיומטית פורמלית וזה שמוביל לשיאה, דייוויד הילברט.

דווקא הילברט הוא שמסמל את השפה המדעית, בהתחשב באמירותיה כנוסחאות או רצפי סימנים שאין להם משמעות בפני עצמם. הם רק משיגים משמעות בפרשנות מסוימת.

ב"יסודות הגיאומטריה "הוא מסביר את הדוגמא הראשונה למתודולוגיה זו. מכאן והלאה, הגיאומטריה הופכת למדע של השלכות לוגיות טהורות, המופקות ממערכת של השערות או אקסיומות, המנוסחות טוב יותר מהמערכת האוקלידית.

הסיבה לכך היא שבמערכת העתיקה התיאוריה האקסיומטית מבוססת על עדויות לאקסיומות. ואילו בבסיס התיאוריה הפורמלית היא ניתנת על ידי הדגמת אי הסתירה של האקסיומות שלה.

צעדים

הנוהל המבצע מבנה אקסיומטי בתוך תיאוריות מדעיות מכיר:

א - הבחירה במספר מסוים של אקסיומות, כלומר מספר הצעות של תיאוריה מסוימת שמתקבלות ללא צורך להוכיח.

b-המושגים שהם חלק מההצעות הללו אינם נקבעים במסגרת התיאוריה הנתונה.

ג - נקבעים כללי ההגדרה והניכוי של התיאוריה הנתונה ומאפשרים הכנסת מושגים חדשים בתוך התיאוריה ומסיקים באופן הגיוני כמה הצעות מאחרות.

ד - שאר ההצעות של התיאוריה, כלומר המשפט, נגזרות מ- a על בסיס c.

דוגמאות

ניתן לאמת שיטה זו באמצעות ההוכחה לשני משפטים האוקלידיים הידועים ביותר: משפט הרגליים ומשפט הגובה.

שניהם נובעים מהתצפית על הגיאומטר היווני הזה, שכאשר הגובה ביחס לתנוחה הימנית זומם בתוך משולש ימין, מופיעים שני משולשים נוספים מהמקור. משולשים אלה דומים זה לזה ובאותו הזמן דומים למשולש המוצא. זה מניח שהצדדים ההומולוגיים שלהם בהתאמה הם פרופורציונליים.

ניתן לראות כי זוויות הלימה במשולשים בדרך זו מאמתות את הדמיון הקיים בין שלושת המשולשים המעורבים על פי קריטריון הדמיון של AAA. קריטריון זה גורס שכששני משולשים בעלי כל אותן זוויות הם דומים.

ברגע שמוצג כי המשולשים דומים, ניתן לקבוע את הפרופורציות שצוינו במשפט הראשון. אותה אמירה שבמשולש ימני, המדד של כל רגל הוא הממוצע הפרופורציונלי הגיאומטרי בין היפוזה לבין הקרנת הרגל עליו.

המשפט השני הוא זה של הגובה. היא מציינת כי כל משולש ימני הגובה שצייר על פי היפוזה הוא הממוצע הפרופורציונלי הגיאומטרי בין המקטעים שנקבעים על ידי הממוצע הגיאומטרי האמור בצד הימני.

כמובן שלשתי המשפטים יש יישומים רבים ברחבי העולם לא רק בהוראה, אלא גם בהנדסה, בפיזיקה, כימיה ואסטרונומיה.

הפניות

1. ג'ובאניני, אדוארדו נ '(2014) גיאומטריה, פורמליזם ואינטואיציה: דייוויד הילברט והשיטה האקסיומטית הפורמלית (1895-1905). Revista de Filosofía, כרך 39 מס '2, עמ' 211-146. לקוח מתוך magazine.ucm.es.
2. הילברט, דיוויד. (1918) מחשבה אקסיומטית. ב- W. Ewald, עורך, מקאנט להילברט: ספר מקור בבסיס המתמטיקה. כרך ב ', עמ' 1105-1114. הוצאת אוניברסיטת אוקספורד. 2005 א.
3. Hintikka, Jaako. (2009). מהי השיטה האקסיומטית? סינתזה, נובמבר 2011, כרך 189, עמ '68-85. נלקח מ- link.springer.com.
4. לופז הרננדז, חוסה. (2005). מבוא לפילוסופיה של משפט עכשווי. (עמ '48-49). נלקח מ- books.google.com.ar.
5. נירנברג, ריקרדו. (1996) השיטה האקסיומטית, קריאה מאת ריקרדו נירנברג, סתיו 1996, האוניברסיטה באלבני, פרויקט רנסנס. נלקח מאלבני.דו.
6. ונטורי, ג'ורג'יו. (2015) Hilbert בין הצד הפורמאלי והבלתי פורמלי של המתמטיקה. כתב יד כרך א. 38 לא. 2, קמפינאס יולי / אוגוסטו 2015. לקוח מ- scielo.br.