טכניקות ספירה: טכניקות, יישומים, דוגמאות, תרגילים - דודס - 2025

טכניקות הספירה הם סדרה של שיטות הסתברות כדי לספור את מספר סידורים אפשריים בתוך קבוצה או כמה סטים של חפצים. אלה משמשים כאשר ביצוע החשבונות מסתבך באופן ידני בגלל המספר הגדול של אובייקטים ו / או משתנים.

לדוגמא, הפיתרון לבעיה זו הוא פשוט מאוד: דמיין שהבוס שלך מבקש ממך לספור את המוצרים האחרונים שהגיעו בשעה האחרונה. במקרה זה תוכלו ללכת ולספור את המוצרים אחד אחד.

עם זאת, דמיין שהבעיה היא זו: הבוס שלך מבקש ממך לספור כמה קבוצות של 5 מוצרים מאותו סוג ניתן ליצור עם אלה שהגיעו בשעה האחרונה. במקרה זה, החישוב מסובך. עבור סוג זה של סיטואציה משתמשים בטכניקות הספירה שנקראות.

טכניקות אלה שונות, אך החשובות ביותר מחולקות לשני עקרונות בסיסיים, שהם הכפל והתוסף; פרמוטציות ושילובים.

עקרון כפל

יישומים

העיקרון הכפול, יחד עם התוסף, הם בסיסיים להבנת הפעולה של טכניקות הספירה. במקרה של הכפל, הוא מורכב מהבאים:

בואו נדמיין פעילות הכוללת מספר מסוים של שלבים (אנו מסמנים את הסכום כ- “r”), שם ניתן לבצע את הצעד הראשון בדרכים N1, השלב השני ב- N2, ואת הצעד “r” בדרכים Nr. במקרה זה, הפעילות יכולה להתבצע ממספר הצורות הנובעות מפעולה זו: N1 x N2 x ……… .x צורות Nr

זו הסיבה שעקרון זה מכונה כפל, ומשמע כי כל אחד מהצעדים הנדרשים לביצוע הפעילות חייבים להתבצע בזה אחר זה.

דוגמא

בואו נדמיין אדם שרוצה לבנות בית ספר. לשם כך קחו בחשבון שאפשר לבנות את בסיס הבניין בשתי דרכים שונות, מלט או בטון. באשר לקירות, הם יכולים להיות עשויים אדמה, מלט או לבנה.

באשר לגג, זה יכול להיות עשוי מלט או גיליון מגולוון. לבסוף, הציור הסופי יכול להיעשות רק בדרך אחת. השאלה שעולה היא כדלקמן: כמה דרכים יש לו לבנות את בית הספר?

ראשית, אנו לוקחים בחשבון את מספר המדרגות, אשר יהיו הבסיס, הקירות, הגג והצבע. בסך הכל, 4 צעדים, כך r = 4.

להלן פירוט רשימת ה- N:

N1 = דרכים לבניית הבסיס = 2

N2 = דרכים לבניית הקירות = 3

N3 = דרכים לייצור הגג = 2

N4 = דרכי ציור = 1

לכן, מספר הצורות האפשריות יחושב באמצעות הנוסחה שתוארה לעיל:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 דרכי לימוד.

עקרון תוסף

יישומים

עיקרון זה הוא פשוט מאוד, והוא מורכב בכך שבמקרה של קיימות מספר אלטרנטיבות לביצוע אותה פעילות, הדרכים האפשריות מורכבות מסכום הדרכים השונות האפשריות לביצוע כל החלופות.

במילים אחרות, אם ברצוננו לבצע פעילות עם שלוש אלטרנטיבות, שבה ניתן לעשות את החלופה הראשונה בדרכי M, השנייה בדרכים N והאחרונה בדרכי W, ניתן לבצע את הפעילות ב: M + N + ……… + צורות.

דוגמא

בואו נדמיין הפעם אדם שרוצה לקנות מחבט טניס. לשם כך, יש לך שלושה מותגים לבחירה: וילסון, בבולט או ראש.

כשאתה ניגש לחנות אתה רואה שאפשר לקנות את המחבט של וילסון עם הידית בשני גדלים שונים, L2 או L3 בארבעה דגמים שונים והוא יכול להיות מתוח או בלתי מתוח.

למחבט הבבולט, לעומת זאת, שלוש ידיות (L1, L2 ו- L3), ישנם שני דגמים שונים וזה יכול להיות גם מתוח או בלתי מתוח.

מחבט הראשים מצידו זמין רק עם ידית אחת, ה- L2, בשני דגמים שונים ורק לא מכווצים. השאלה היא: כמה דרכים צריך אדם זה לקנות את המחבט שלו?

M = מספר הדרכים לבחירת מחבט וילסון

N = מספר הדרכים לבחירת מחבט Babolat

W = מספר הדרכים לבחירת מחבט ראש

אנו מבצעים את עקרון המכפיל:

M = 2 x 4 x 2 = 16 צורות

N = 3 x 2 x 2 = 12 דרכים

W = 1 x 2 x 1 = 2 דרכים

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 דרכים לבחור מחבט.

כדי לדעת מתי להשתמש בעקרון הכפול ובתוסף, צריך רק לבדוק אם יש לפעילות סדרת שלבים לביצוע, ואם יש מספר אלטרנטיבות, התוסף.

פרמוטציות

יישומים

כדי להבין מהי תמורה, חשוב להסביר מה זה שילוב כך שתוכלו להבדיל ביניהם ולדעת מתי להשתמש בהם.

שילוב יהיה סידור של אלמנטים בהם אנו לא מעוניינים בעמדה שכל אחד מהם תופס.

פרמוטציה, לעומת זאת, תהיה הסדר של גורמים בהם אנו מעוניינים בעמדה שכל אחד מהם תופס.

בואו נניח דוגמא כדי להבין טוב יותר את ההבדל.

דוגמא

בואו נדמיין כיתה עם 35 תלמידים, ובמצבים הבאים:

1. המורה רוצה ששלושה מתלמידיו יסייעו לו לשמור על נקיון הכיתה או לחלק חומרים לתלמידים האחרים בעת הצורך.
2. המורה רוצה למנות את צירי הכיתה (נשיא, עוזר וכממן).

הפיתרון יהיה הבא:

1. בואו נדמיין שעל ידי הצבעה, חואן, מריה ולוסיה נבחרים לנקות את הכיתה או לספק את החומרים. ברור שקבוצות אחרות של שלוש היו יכולות להיווצר, בין 35 התלמידים האפשריים.

עלינו לשאול את עצמנו את הדברים הבאים: האם הסדר או העמדה של כל תלמיד חשובים בבחירתם?

אם נחשוב על זה, אנו רואים שזה באמת לא חשוב, שכן הקבוצה תהיה אחראית על שתי המשימות באופן שווה. במקרה זה זהו שילוב, מכיוון שאיננו מעוניינים במיקום האלמנטים.

1. עכשיו בואו נדמיין שחואן נבחר כנשיא, מריה כעוזרת ולוסיה כסמנית.

במקרה זה, האם ההזמנה תהיה חשובה? התשובה היא כן, מכיוון שאם נשנה את האלמנטים התוצאה משתנה. כלומר, אם במקום לכהן את חואן כנשיא, היינו שמים אותו כעוזר, ומריה כנשיא, התוצאה הסופית תשתנה. במקרה זה מדובר בפרמוטציה.

לאחר הבנת ההבדל, אנו הולכים להשיג את הנוסחאות לפרמוטציות ולצירופים. עם זאת, ראשית עלינו להגדיר את המונח "n!" (פקטוריאל), מכיוון שהוא ישמש בנוסחאות השונות.

n! = המוצר מ- 1 עד n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

השימוש בו עם מספרים אמיתיים:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

הנוסחה לפרמוטציות תהיה הבאה:

nPr = n! / (nr)!

בעזרתו אנו יכולים לגלות את הסידורים היכן הסדר חשוב, והיכן האלמנטים n שונים.

שילובים

יישומים

כפי שהערנו בעבר, השילובים הם הסידורים שבהם לא אכפת לנו ממיקום האלמנטים.

הנוסחה שלה היא כדלקמן:

nCr = n! / (nr)! r!

דוגמא

אם ישנם 14 תלמידים שרוצים להתנדב לנקות את הכיתה, כמה קבוצות ניקיון יכולות להקים אם כל קבוצה צריכה להיות 5 אנשים?

לפיכך, הפתרון יהיה הבא:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 קבוצות

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

מקור: Pixabay.com

נטליה מתבקשת על ידי אמה ללכת לחנות מכולת ולקנות לה סודה שתתקרר. כשנטליה מבקשת מהפקידה לשתות, הוא אומר לה שיש ארבעה טעמים של שתייה קלה, שלושה סוגים ושלושה גדלים.

הטעמים של המשקאות הקלים יכולים להיות: קולה, לימון, תפוז ונענע.

סוגי הקולה יכולים להיות: רגילים, נטולי סוכר, נטולי קפאין.

הגדלים יכולים להיות: קטנים, בינוניים וגדולים.

אמה של נטליה לא ציינה איזה סוג של משקה קל היא רוצה, כמה דרכים צריכה נטליה לקנות את המשקה?

פִּתָרוֹן

M = גודל וספר סוג שאתה יכול לבחור בבחירת הקולה.

N = מספר הגודל והסוג שתוכלו לבחור בבחירת הסודה הלימונית.

W = גודל וספר סוג שאתה יכול לבחור בבחירת הסודה תפוז.

Y = גודל וספר סוג שאתה יכול לבחור בבחירת סודה מנטה שלך.

אנו מבצעים את עקרון המכפיל:

M = 3 × 3 = 9 דרכים

N = 3 × 3 = 9 דרכים

W = 3 × 3 = 9 דרכים

Y = 3 × 3 = 9 דרכים

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 דרכים לבחור את הסודה.

תרגיל 2

מקור: pixabay.com

מועדון ספורט מפרסם סדנאות גישה חופשית לילדים ללמוד להחליק על החלקה. 20 ילדים נרשמים, ולכן הם מחליטים לחלק אותם לשתי קבוצות של עשרה אנשים כדי שהמדריכים יוכלו ללמד את השיעורים בצורה נוחה יותר.

בתורו, הם מחליטים לצייר באיזו קבוצה כל ילד ייפול. כמה קבוצות שונות יכול ילד להיכנס?

פִּתָרוֹן

במקרה זה הדרך למצוא תשובה היא באמצעות טכניקת השילוב, שהנוסחה שלה הייתה: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (מספר ילדים)

r = 10 (גודל קבוצה)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15X 14X 13X 12X 11x 10! / 10! 10! = 184,756 קבוצות.

הפניות

1. ג'פרי, RC, הסתברות ואמנות השיפוט, הוצאת אוניברסיטת קיימברידג '. (1992).
2. ויליאם פלר, "מבוא לתורת ההסתברות ויישומיה", (כרך 1), ג ', (1968), וויילי
3. פינטי, ברונו דה (1970). "יסודות לוגיים ומדידת הסתברות סובייקטיבית". אקטה פסיכולוגיקה.
4. הוג, רוברט החמישי; קרייג, אלן; מקין, ג'וזף וו. (2004). מבוא לסטטיסטיקה מתמטית (מהדורה 6). נהר האוכף העליון: פירסון.
5. Franklin, J. (2001) מדע ההשערה: הוכחות והסתברות לפני פסקל, הוצאת אוניברסיטת ג'ונס הופקינס.