מגבלת פרמה: ממה היא מורכבת ותרגילים שנפתרו - מתמטיקה - 2025

הגבול פרם הוא שיטה נומרית להשתמש כדי להשיג את הערך של השיפוע של קו, אשר משיק פונקציה בנקודה מסוימת בתחום שלו. הוא משמש גם להשגת נקודות קריטיות של פונקציה. הביטוי שלה מוגדר כ:

ברור שפרמה לא ידע את יסודות הגזירה, אולם מחקריו הם שגרמו לקבוצה של מתמטיקאים לברר על קווי משיק ויישומיהם בחשבון.

מהי גבול פרמה?

זה מורכב מגישה של 2 נקודות, אשר בתנאים קודמים יוצרים קו מבודד לפונקציה עם צומת בזוגות ערכים.

על ידי התקרבות למשתנה לערך "a", זוג הנקודות נאלץ להיפגש. באופן זה, הקו המאומץ שקודם לכן הופך למשיק לנקודה (a; f (a)).

הערך של המנה (x - a), כאשר הוא מוערך בנקודה "a", מניב אי-קביעה של גבולות מהסוג K בין אפס (K / 0). כאשר באמצעות טכניקות פקטורינג שונות ניתן לשבור אי-קביעות אלה.

טכניקות ההפעלה הנפוצות ביותר הן:

-בדל ריבועים (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); קיומו של היסוד (א - ב) מרמז ברוב המקרים על הגורם שמפשט את הביטוי (x - a) בכמות מגבלת פרמה.

- השלמת ריבועים (גרזן ² + bx); לאחר השלמת ריבועים, מתקבל בינומיום של ניוטון, בו אחד משני הגורמים שלו מפושט עם הביטוי (x - a), ושובר את חוסר הגדר.

- מצומדות (a + b) / (a ​​+ b); הכפל וחלוקת הביטוי על ידי צמיד של גורם כלשהו יכול להיות עזר רב לשבירת אי-הנחישות.

- גורם משותף; במקרים רבים התוצאה של הפעלת המונה של מגבלת פרמה f (x) - f (a) מסתירה את הגורם (x - a) הדרוש לפקטור. לשם כך, נצפים בקפידה אילו אלמנטים חוזרים על עצמם בכל גורם בביטוי.

יישום מגבלת פרמה למקסימום ומינימום

אף על פי שמגבלת פרמה אינה מבדילה בין מקסימום ומינימום, מכיוון שהיא יכולה לזהות רק נקודות קריטיות לפי הגדרתה, היא משמשת בדרך כלל בחישוב צמרות או רצפות של פונקציות במטוס.

ידע בסיסי בתיאוריה הגרפית של פונקציות בשילוב עם משפט זה עשוי להספיק בכדי לקבוע ערכים מקסימליים ומינימליים בין פונקציות. למעשה ניתן להגדיר את נקודות ההטיה באמצעות משפט הערך הממוצע בנוסף למשפט של פרמה.

משל מעוקב

הפרדוקס המשמעותי ביותר עבור פרמה הגיע מלימוד הפרבולה הקובית. מכיוון שתשומת ליבו הופנתה לקווי המשיק של פונקציה לנקודה נתונה, הוא נתקל בבעיה של הגדרת קו המשיק האמור בנקודת הטיה של הפונקציה.

נראה שאי אפשר היה לקבוע את קו המשיק לנקודה. כך מתחילה החקירה שתוליד את חישוב ההפרש. הוגדר מאוחר יותר על ידי מעריכים חשובים במתמטיקה.

מקסימוס ומינימום

לימוד המקסימום והמינימום של הפונקציה היווה אתגר למתמטיקה קלאסית, שם היה צורך בשיטה חד משמעית ומעשית להגדרתם.

פרמה יצרה שיטה המבוססת על הפעלת ערכים דיפרנציאליים קטנים, שאחרי תהליכי פקטורינג מבוטלים, ומפנה את מקומה לערך המקסימלי והמינימלי המבוקש.

יש להעריך את המשתנה הזה בביטוי המקורי כדי לקבוע את הקואורדינטה של ​​הנקודה האמורה, שיחד עם קריטריונים אנליטיים יוגדרו כמקסימום או מינימום של הביטוי.

שיטה

בשיטתו, פרמט משתמש בסמליות המילולית של וייטה, שהורכבה משימוש בלעדי באותיות גדולות: וודרים, לא נודעים ועיצורים לכמויות ידועות.

במקרה של ערכים רדיקליים, פרמט הטמיעה תהליך מסוים, אשר מאוחר יותר ישמש לפיזור הגבולות של אי-קבע אינסופי בין אינסוף.

תהליך זה מורכב מחלוקת כל ביטוי בערך ההפרש המשמש. במקרה של פרמה, הוא השתמש באות E, כאשר לאחר שהתחלק בכוח הגבוה ביותר של E, הערך המבוקש של הנקודה הקריטית הופך לניתן לניתוק לבלתי ניתן לניתוק.

הִיסטוֹרִיָה

גבול פרמה הוא למעשה אחת התרומות הפחות ידועות ברשימה הארוכה של המתמטיקאי. מחקריו עברו ממספרים ראשוניים ליצירת בסיס לחישוב.

בתורו פרמה היה ידוע באקסצנטריות שלו ביחס להשערותיו. מקובל היה להשאיר סוג של אתגר למתמטיקאים האחרים באותה תקופה, כאשר כבר היה לו הפיתרון או ההוכחה.

היו לו מגוון גדול של מחלוקות ובריתות עם מתמטיקאים שונים באותה תקופה, שאוהבים או שנאו לעבוד איתו.

משפטו האחרון היה האחראי העיקרי לתהילתו העולמית, שם הצהיר כי הכללה של משפט פיתגורס לכל תואר "n" אינה אפשרית. הוא טען כי יש לו הוכחה תקפה לכך, אך נפטר לפני שהפרסם אותו בפומבי.

להפגנה זו היה צריך להמתין כ -350 שנה. בשנת 1995, המתמטיקאים אנדרו ווילס וריצ'רד טיילור, שמו קץ לחרדה שהותירה פרמה, והוכיחו שהוא צדק באמצעות הוכחה תקפה למשפט האחרון שלו.

תרגילים

תרגיל 1

הגדר את שיפוע קו המשיק לעיקול f (x) = x ² בנקודה (4, 16)

להחליף את הביטוי של מגבלת פרמה יש לנו:

הגורמים (x - 4) מפושטים

כאשר אתה מעריך שיש לך

M = 4 + 4 = 8

תרגיל 2

הגדירו את הנקודה הקריטית של הביטוי f (x) = x ² + 4x בעזרת מגבלת Fermat

מתבצעת קיבוץ אלמנטים אסטרטגי המבקש לקבץ את הזוגות XX ₀

הכי פחות ריבועים מפותחים

שימו לב לגורם השכיח XX _{0 וחלצו}

כעת ניתן לפשט את הביטוי ולפרק את אי-הקביעה

בנקודות המינימום ידוע כי שיפוע קו המשיק שווה לאפס. בדרך זו אנו יכולים להשוות את הביטוי שנמצא לאפס ולפתור עבור הערך X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

כדי להשיג את הקואורדינט החסר יש רק להעריך את הנקודה בפונקציה המקורית

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

הנקודה הקריטית היא P (-2, -4).

הפניות

1. ניתוח אמיתי. גישה היסטורית Sauhl Stahl, John Wiley ובניו, 5 באוגוסט. 1999.
2. הקריירה המתמטית של פייר דה פרמה, 1601-1665: מהדורה שנייה. מייקל שון מהוני. הוצאת אוניברסיטת פרינסטון, 5 ביוני. 2018
3. מפרמה למינקובסקי: הרצאות על תורת המספרים והתפתחותה ההיסטורית. וו. שרלאו, ה. אופולקה, ספרינגר מדע ומדיה עסקית, 1985
4. המשפט האחרון של פרמה: מבוא גנטי לתורת המספרים האלגבריים. הרולד מ. אדוארדס. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 14 בינואר 2000
5. ימי פרמה 85: מתמטיקה למיטוב. J.-B. היירט-אורוטי אלזביאר, 1 בינואר. 1986