ההיגיון המתמטי או לוגיקה סימבולית היא שפה מתמטית העוסקים בכלים שבאמצעותם ניתן לאשר או לשלול חשיבה מתמטית.
ידוע כי אין עמימות במתמטיקה. בהינתן טיעון מתמטי, זה תקף או שהוא פשוט לא. זה לא יכול להיות שקרי ונכון בעת ובעונה אחת.
היבט מסוים במתמטיקה הוא שיש לה שפה רשמית ומחמירה שלפיה ניתן לקבוע את תוקף של טיעון. מה זה שהופך נימוק מסוים או הוכחה מתמטית כלשהי לבלתי ניתנת להפריך? זה בדיוק ההיגיון המתמטי.
לפיכך, ההיגיון הוא תחום המתמטיקה האחראי על לימוד ההיגיון וההוכחות המתמטיים, ומתן כלים בכדי להיות מסוגל להסיק מסקנה נכונה מהצהרות או הצעות קודמות.
לשם כך נעשה שימוש באקסיומות ובהיבטים מתמטיים אחרים שיפתחו בהמשך.
מקור והיסטוריה
התאריכים המדויקים ביחס להיבטים רבים של ההיגיון המתמטי אינם בטוחים. עם זאת, מרבית הביבליוגרפיות בנושא מתייחסות למקור שלה ליוון העתיקה.
אריסטו
תחילת הטיפול הקפדני בלוגיקה מיוחסת, בחלקה, לאריסטו, שכתב מערך של עבודות לוגיקה, אשר לאחר מכן נערכו ופותחו על ידי פילוסופים ומדענים שונים, עד ימי הביניים. זה יכול להיחשב "ההיגיון הישן".
מאוחר יותר, במה שמכונה "העידן העכשווי", לייבניץ, עברה על ידי רצון עמוק לבסס שפה אוניברסלית כדי להסביר את המתמטיקה, ומתמטיקאים אחרים כמו גוטלוב פרז 'וג'וזפה פיאנו, השפיעו במיוחד על התפתחות הלוגיקה המתמטית בתרומות רבות. , ביניהם, אקסיומות הפיאנו, המנסחות תכונות הכרחיות של מספרים טבעיים.
המתמטיקאים ג'ורג 'בול וג'ורג' קנטור היו בעלי השפעה רבה גם בתקופה זו, עם תרומות חשובות בטבלאות התיאוריה והאמית, והדגישו, בין היתר, את האלגברה הבוליתית (מאת ג'ורג 'בולי) ואת אקסיומה של בחירה (מאת ג'ורג 'קנטור).
יש גם אוגוסטוס דה מורגן עם חוקי מורגן הידועים, המשקיעים שליליות, צירופים, צירופים ומצבים בין הצעות, מפתחות להתפתחות ההיגיון הסימבולי, וג'ון וון עם דיאגרמות הון המפורסמות.
במאה ה -20, בערך בין 1910 ל -1913, בולטות ברטרנד ראסל ואלפרד צפון וייטהד עם פרסומן של Principia mathematica, סט ספרים שאוסף, מפתח ומנפיק סדרה של אקסיומות ותוצאות לוגיקה.
מה לומד לוגיקה מתמטית?
הצעות
ההיגיון המתמטי מתחיל בלימוד הצעות. הצעה היא הצהרה שללא כל עמימות תוכל לומר אם היא נכונה או לא. להלן דוגמאות להצעות:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- בשנת 1930 אירעה רעידת אדמה באירופה.
הראשונה היא אמירה אמיתית והשנייה הצהרה שגויה. השלישית, על אף שהאדם שקורא אותה אולי לא יודע אם זה נכון או מייד, הוא הצהרה שניתן לבחון ולקבוע האם זה באמת קרה או לא.
להלן דוגמאות לביטויים שאינם הצעות:
- היא בלונדינית.
- 2x = 6.
- בוא נשחק!
- האם אתה אוהב סרטים
בהצעה הראשונה לא מצוין מי היא "ולכן לא ניתן לאשר דבר. בהצעה השנייה לא צוין מה "x" מייצג. אם במקום זאת נאמר כי 2x = 6 עבור מספר טבעי x כלשהו, במקרה זה זה יתאים להצעה, למעשה נכון, שכן עבור x = 3 זה נכון.
שתי ההצהרות האחרונות אינן תואמות את ההצעה, מכיוון שאין דרך להכחיש או לאשר אותן.
ניתן לשלב (או לחבר) שתי הצעות או יותר באמצעות קישוריות לוגיות ידועות (או מחברים). אלו הם:
- הכחשה: "לא יורד גשם."
- הפרדה: "לואיסה קנתה תיק לבן או אפור."
- צירוף: "4 2 = 16 ו- 2 × 5 = 10".
- מותנה: "אם יורד גשם, אז אני לא הולך לחדר הכושר היום אחר הצהריים."
- תנאי: "אני הולך לחדר הכושר היום אחר הצהריים אם ורק אם לא יורד גשם."
הצעה שאין לה אף אחד מהקשרים הקודמים נקראת הצעה פשוטה (או אטומית). לדוגמה, "2 הוא פחות מ -4" הוא הצעה פשוטה. ההצעות שיש להן חיבור נקראות הצעות מורכבות, כמו "1 + 3 = 4 ו -4 הוא מספר שווה."
הצהרות שהועלו באמצעות הצעות הן בדרך כלל ארוכות, ולכן מייגע תמיד לכתוב אותן כפי שנראו עד כה. מסיבה זו משתמשים בשפה סמלית. ההצעות מיוצגות בדרך כלל על ידי אותיות גדולות כמו P, Q, R, S וכו '. וקישוריות הסמל כדלקמן:
אז זה
לשוחח שבהצעה מותנית
היא ההצעה
וגם -גומלין לדלפק (או contrapositive) שבהצעה
היא ההצעה
טבלאות אמת
מושג חשוב נוסף בלוגיקה הוא של טבלאות האמת. ערכי האמת של הצעה הן שתי האפשרויות להצעה: אמת (שתסומן על ידי V ויאמר שערך האמת שלה הוא V) או שקר (שיוגדר על ידי F ויאמר שערכו באמת F).
ערך האמת של הצעה מורכבת תלוי אך ורק בערכי האמת של ההצעות הפשוטות המופיעות בה.
כדי לעבוד באופן כללי יותר, לא נשקול הצעות ספציפיות, אלא משתנים הצעות p, q, r, s וכו ', שייצגו הצעות כלשהן.
עם משתנים אלה וקשרים מקוונים לוגיים, נוצרות הנוסחאות המוצעות של ההצעה, ממש כפי שנבנות הצעות מורכבות.
אם כל אחד מהמשתנים המופיעים בנוסחת הצעה מוחלף על ידי הצעה, מתקבלת הצעה מורכבת.
להלן טבלאות האמת לחיבורים לוגיים:
יש נוסחאות הצעה המקבלות רק את הערך V בטבלת האמת שלהן, כלומר, לטור האחרון בטבלת האמת שלהן יש רק את הערך V. סוגים אלה של נוסחאות ידועות בשם טאוטולוגיות. לדוגמה:
להלן טבלת האמת של הנוסחה
הנוסחה α נאמרת שהיא רומזת מבחינה הגיונית נוסחה אחרת β, אם α נכון בכל פעם ש- ß נכון. כלומר, בטבלת האמת של α ו- β, בשורות בהן ל- α יש V, ל- β יש גם V. אנו מעוניינים רק בשורות בהן ל- α יש את הערך V. הסימון למשמעות ההגיונית הוא הבא :
הטבלה הבאה מסכמת את המאפיינים של השלכה לוגית:
אומרים ששתי נוסחאות הצעה שוות ערך מבחינה הגיונית אם טבלאות האמת שלהן זהות. הסימון הבא משמש לביטוי השוויון הלוגי:
הטבלאות שלהלן מסכמות את תכונות השוויון הלוגי:
סוגי היגיון מתמטי
ישנם סוגים שונים של היגיון, במיוחד אם לוקחים בחשבון את ההיגיון הפרגמטי או הבלתי פורמלי שמצביע על פילוסופיה, בין תחומים אחרים.
בכל מה שקשור למתמטיקה, ניתן לסכם את סוגי ההיגיון כך:
- היגיון פורמלי או אריסטוטלי (היגיון קדום).
- היגיון הצעות: הוא אחראי לחקר כל מה שקשור לתוקף של טיעונים והצעות תוך שימוש בשפה רשמית וסימבולית.
- היגיון סמלי: התמקד בחקר התפאורה ותכונותיהם, גם עם שפה רשמית וסימבולית, וקשור עמוק ללוגיקה הצעתית.
- היגיון קומבינטורי: אחד מהפיתוחים האחרונים, כרוך בתוצאות שניתן לפתח באמצעות אלגוריתמים.
- תכנות לוגי: משמש בחבילות ובשפות התכנות השונות.
אזורים
בין התחומים העושים שימוש בלוגיקה מתמטית בצורה הכרחית בפיתוח נימוקיהם וטיעוניהם, בולטות פילוסופיה, תורת הקבוצות, תורת המספרים, מתמטיקה קונסטרוקטיבית אלגברית ושפות תכנות.
הפניות
- Aylwin, CU (2011). היגיון, סטים ומספרים. Mérida - ונצואלה: מועצת הפרסומים, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., and Soto, A. (1998). מבוא לתורת המספרים. מנוהלת.
- Castañeda, S. (2016). קורס בסיסי של תורת המספרים. האוניברסיטה הצפונית.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). כיצד לפתח נימוקים לוגיים מתמטיים. בית ההוצאה לאור באוניברסיטה.
- סרגוסה, AC (sf). תורת המספרים מזל מאזניים עריכה.