היפר-קובייה הוא קוביה של מימד n. המקרה הספציפי של הקוביה ההיפר-מימדית נקרא טסראקט. קוביית יתר או N-קוביה מורכבת מקטעים ישרים, כולם באורך שווה שהם אורטוגונליים בקודקודיהם.
בני אדם תופסים מרחב תלת ממדי: רוחב, גובה ועומק, אך לא ניתן לנו לדמיין את קוביית ההיפר קוביה עם ממד גדול יותר משלוש.
איור 1. קוביית 0 היא נקודה, אם נקודה זו נמשכת בכיוון למרחק a יוצר קוביה 1, אם קוביה 1 משתרעת מרחק a בכיוון האורתוגונלי יש לנו קוביה 2 (מ בצדדים x עד א), אם הקוביה 2 מתרחקת a בכיוון האורטוגונלי יש לנו 3 קוביה. מקור: פ. זפטה.
לכל היותר נוכל לבצע תחזיות ממנו במרחב תלת ממדי כדי לייצג אותה, באופן דומה לאופן בו אנו מקרינים קוביה על מישור שייצג אותה.
בממד 0 הנתון היחיד הוא הנקודה, ולכן קוביית 0 היא נקודה. קוביה 1 היא קטע ישר, אשר נוצר על ידי הזזת נקודה בכיוון אחד במרחק a.
מצדו, 2 קוביה היא ריבוע. זה נבנה על ידי הסטת קוביית 1 (קטע האורך א) לכיוון y, שהוא אורתוגונלי לכיוון x, מרחק a.
הקוביה 3 היא הקוביה הנפוצה. הוא בנוי מהכיכר על ידי הזזתו בכיוון השלישי (z) שהוא אורתוגונלי לכיווני x ו- y, מרחק א.
איור 2. איור 2. קוביה (tesseract) היא הרחבה של 3 קוביה בכיוון האורתוגונלי לשלושת הכיוונים המרחבים המקובלים. מקור: פ. זפטה.
הקוביה 4 היא הקטע שנבנה מקוביה 3 המניעה אותה אורתוגונלית, מרחק a, לעבר מימד רביעי (או כיוון רביעי), שלא נוכל לתפוס אותו.
לטסק יש את כל זוויותיו הנכונות, יש לו 16 קודקודים, ולכל קצוותיו (18 בסך הכל) יש אורך זהה.
אם אורך הקצוות של קוביית n או היפר קוביה במימד n הוא 1, הרי שמדובר בהיפר קוביה יחידה, בה האלכסון הארוך ביותר מודד √n.
איור 3. קוביה n מתקבלת מקוביה (n-1) המרחיבה אותה בצורה אורתוגונלית בממד הבא. מקור: קומוני וויקימדיה.
מהם המידות?
ממדים הם דרגות החופש, או הכיוונים האפשריים שבהם אובייקט יכול לנוע.
בממד 0 אין אפשרות לתרגם והאובייקט הגיאומטרי האפשרי היחיד הוא הנקודה.
ממד במרחב האוקלידי מיוצג על ידי קו או ציר מכוונים המגדירים את הממד הזה, המכונה ציר ה- X. ההפרדה בין שתי נקודות A ו- B היא המרחק האוקלידי:
d = √.
בשני ממדים, המרחב מיוצג על ידי שני קווים המכוונים אורטוגונלים זה לזה, המכונים ציר ה- X וציר ה- Y.
המיקום של כל נקודה במרחב הדו-ממדי הזה ניתן על ידי צמד הקואורדינטות הקרטזיות שלה (x, y) והמרחק בין כל שתי נקודות A ו- B יהיה:
d = √
מכיוון שזה מרחב בו מתגשמת הגיאומטריה של אוקליד.
מרחב תלת ממדי
מרחב תלת ממדי הוא המרחב בו אנו נעים. יש לו שלושה כיוונים: רוחב, גובה ועומק.
בחדר ריק הפינות הניצב נותנות את שלושת ההוראות האלה ולכל אחת מהן אנו יכולים לשייך ציר: X, Y, Z.
מרחב זה הוא גם אוקלידיאני והמרחק בין שתי נקודות A ו- B מחושב באופן הבא:
d = √
בני אדם אינם יכולים לתפוס יותר משלושה ממדים מרחביים (או אוקלידיים).
עם זאת, מבחינה מתמטית בהחלט ניתן להגדיר מרחב אוקלידיאני ממדי n.
במרחב זה לנקודה יש קואורדינטות: (x1, x2, x3,… .., xn) והמרחק בין שתי נקודות הוא:
d = √.
הממד והזמן הרביעי
אכן, בתורת היחסות, מתייחסים אל הזמן כאל ממד אחד נוסף וקואורדינטה קשורה אליו.
אך יש להבהיר כי הקואורדינטה הזו הקשורה לזמן היא מספר דמיוני. לכן ההפרדה בין שתי נקודות או אירועים במרחב-זמן אינה אוקלידית, אלא הולכת אחר מדד לורנץ.
קוביה היפר-ממדית (הטסראקט) אינה חיה בזמן-חלל, היא שייכת להיפר-מרחב אקלידיאני ארבעה ממדי.
איור 4. השלכה תלת-ממדית של קוביית היפר-מימד בסיבוב פשוט סביב מישור המחלק את הדמות מקדימה לשמאל, חזרה לימין ומלמעלה למטה. מקור: Wikimedia Commons.
הקואורדינטות של קוביית היפר
הקואורדינטות של הקודקודים של קוביית n שמורכזת במקור מתקבלים על ידי ביצוע כל הפרמוטציות האפשריות של הביטוי הבא:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
כאשר a הוא אורך הקצה.
-The נפח של n-קוביה של יתרון הוא: (א / 2) n (2 n ) = a n .
-The אלכסוני הארוך הוא המרחק בין הקודקודים ההפך.
להלן קודקודים הפוכים בריבוע : (-1, -1) ו- (+1, +1).
-ואז בתוך קוביה : (-1, -1, -1) ו- (1, 1, 1).
-The אלכסוני הארוך של אמצעי n-קובייה:
d = √ = √ = 2√n
במקרה זה ההנחה שהצד הוא = 2. עבור קוביית n של צד לכל אחד זה יהיה:
d = a√n.
לטסקראקט כל אחד מ -16 הקודקודים שלו מחובר לארבעה קצוות. באיור שלהלן ניתן לראות כיצד קודקודים קשורים לטסק.
איור 5. מוצגים 16 הקודקודים של קוביית היפר-ממדית וכיצד הם מחוברים. מקור: Wikimedia Commons.
התפשטות של קוביית היפר
ניתן לפרוש דמות גיאומטרית רגילה, למשל פוליהדרון, למספר דמויות בעלות ממדיות קטנות יותר.
במקרה של 2 קובייה (ריבוע) ניתן לחלק אותה לארבעה מקטעים, כלומר לארבע קוביה 1.
באופן דומה ניתן לפרוס קובייה 3 לשש שתי קוביות.
איור 6. ניתן לפרוס קוביה n- למספר קוביות (n-1). מקור: Wikimedia Commons.
ניתן לפרוס קובייה של 4 קוביות (tesseract) לשמונה קוביות 3.
האנימציה הבאה מציגה את התפתחותו של טסקט.
איור 7. ניתן לפרוס קוביה היפר-מימדית לשמונה קוביות תלת ממדיות. מקור: Wikimedia Commons.
איור 8. השלכה תלת ממדית של קוביית היפר-מימד המבצעת סיבוב כפול סביב שני מישורים אורתוגונליים. מקור: Wikimedia Commons.
הפניות
- תרבות מדעית. Hypercube, דמיינו את הממד הרביעי. התאושש מ: culturacientifica.com
- אפסילונים. קוביה היפר-ממדית או טסקראקט. התאושש מ: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. שיטה להשגת טסטרקט מהתפתחות hypercube (4D). התאושש מ: researchgate.net
- Wikibooks. מתמטיקה, פוליהדרה, קוביות היפר. התאושש מ: es.wikibooks.org
- ויקיפדיה. Hypercube. התאושש מ: en.wikipedia.com
- ויקיפדיה. טסטרקט. התאושש מ: en.wikipedia.com