גיאומטריה אנליטית: מה היא לומדת, היסטוריה, יישומים - מתמטיקה - 2025

הגיאומטריה האנליטית קווי מחקרים וצורות גיאומטריות על ידי יישום טכניקות אלגברה בסיסית ניתוח מתמטי במערכת לתאם נתון.

כתוצאה מכך, הגיאומטריה האנליטית היא ענף של מתמטיקה המנתח בפירוט את כל הנתונים של דמויות גיאומטריות, כלומר הנפח, הזוויות, האזור, נקודות הצומת, מרחקיהם, בין היתר.

המאפיין הבסיסי של הגיאומטריה האנליטית הוא שהוא מאפשר ייצוג של דמויות גיאומטריות באמצעות נוסחאות.

לדוגמא, ההיקפים מיוצגים על ידי משוואות פולינומיות של התואר השני ואילו הקווים באים לידי ביטוי על ידי משוואות פולינום של התואר הראשון.

הגיאומטריה האנליטית מתעוררת במאה השבע-עשרה עקב הצורך לספק תשובות לבעיות שעד כה לא היה להן פיתרון. נציגיה הבכירים היו רנה דקארט ופייר דה פרמט.

כיום סופרים רבים מצביעים עליה כיצירה מהפכנית בתולדות המתמטיקה, מכיוון שהיא מייצגת את תחילתה של המתמטיקה המודרנית.

היסטוריה של הגיאומטריה האנליטית

המונח גיאומטריה אנליטית קם בצרפת במאה השבע-עשרה עקב הצורך לספק תשובות לבעיות שלא ניתן היה לפתור באמצעות אלגברה וגיאומטריה באופן מבודד, אך הפיתרון היה בשימוש המשולב של שניהם.

הנציגים העיקריים של הגיאומטריה האנליטית

במהלך המאה השבע-עשרה שני צרפתים במקרה בחיים ביצעו מחקר שבדרך זו או אחרת הסתיימו ביצירת גיאומטריה אנליטית. האנשים האלה היו פייר דה פרמט ורנה דקארט.

נכון לעכשיו נחשב שיוצר הגיאומטריה האנליטית היה רנה דקארט. זה נובע מהעובדה שהוא פרסם את ספרו לפני ספרו של פרמה וגם לעומק עם דקארט בנושא הגיאומטריה האנליטית.

עם זאת, גם פרמה וגם דקארט גילו כי קווים ונתונים גיאומטריים יכולים לבוא לידי ביטוי על ידי משוואות וניתן לבטא משוואות כקווים או דמויות גיאומטריות.

על פי התגליות שביצעו השניים, ניתן לומר ששניהם הם יוצרי הגיאומטריה האנליטית.

פייר דה פרמט

פייר דה פרמט היה מתמטיקאי צרפתי שנולד בשנת 1601 ונפטר בשנת 1665. במהלך חייו למד את הגיאומטריה של אוקליד, אפולוניוס ופפוס, כדי לפתור את בעיות המדידה שהיו קיימות באותה תקופה.

בהמשך מחקרים אלו עוררו יצירת גיאומטריה. הם בסופו של דבר התבטאו בספרו "מבוא למקומות שטוחים ומוצקים" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), שיצא לאור 14 שנה לאחר מותו ב- 1679.

פייר דה פרמט יישם גיאומטריה אנליטית על משפטי אפולוניוס במקומות גאומטריים בשנת 1623. הוא גם היה הראשון שיישם גיאומטריה אנליטית על מרחב תלת מימדי.

דקארט רנה

ידוע גם בשם קרטסיוס, הוא היה מתמטיקאי, פיזיקאי ופילוסוף שנולד ב- 31 במרץ 1596 בצרפת ונפטר בשנת 1650.

רנה דקארט פרסם בשנת 1637 את ספרו "שיח על שיטת ניהול התבונה בצורה נכונה וחיפוש האמת במדע" הידוע יותר בשם "השיטה" ומשם הוצג המונח גיאומטריה אנליטית לעולם. אחד הנספחים שלו היה "גיאומטריה".

אלמנטים בסיסיים בגיאומטריה אנליטית

הגיאומטריה האנליטית מורכבת מהיסודות הבאים:

מערכת הקואורדינציה הקרטזית

מערכת זו נקראת על שמו של רנה דקארט.

זה לא הוא שקרא לזה, וגם לא זה שהשלים את מערכת הקואורדינציה הקרטזית, אלא שהוא היה זה שדיבר על קואורדינטות עם מספרים חיוביים המאפשרים למלומדים עתידיים להשלים אותה.

מערכת זו מורכבת ממערכת הקואורדינטות המלבנית וממערכת הקואורדינטות הקוטביות.

מערכות קואורדינטות מלבניות

מערכות קואורדינטות מלבניות נקראות המטוס שנוצר על ידי התחקות של שתי קווי מספר בניצב זה לזה, כאשר נקודת הניתוק חופפת את האפס המשותף.

ואז מערכת זו תהיה מורכבת מקו אופקי וקו אנכי.

הקו האופקי הוא ציר ה- X או ציר האבסיסה. הקו האנכי יהיה ציר Y או ציר הסדר.

מערכת קואורדינטות קוטביות

מערכת זו אחראית על אימות המיקום היחסי של נקודה ביחס לקו קבוע ונקודה קבועה בקו.

המשוואה הקרטזית של הקו

משוואה זו מתקבלת מקו כאשר ידועים שתי נקודות דרכם היא עוברת.

קו ישר

זהו אחד שאינו סוטה ולכן אין בו עקומות ולא זוויות.

קוניקים

הם הקימורים המוגדרים על ידי הקווים העוברים דרך נקודה קבועה ועל ידי נקודות עקומה.

האליפסה, היקף, פרבולה והיפרבולה הם עקומות חרוטיות. כל אחד מהם מתואר להלן.

הֶקֵף

היקף נקרא עקומת המישור הסגורה הנוצרת על ידי כל נקודות המטוס השוות כנקודה פנימית, כלומר ממרכז ההיקף.

מָשָׁל

זהו המיקום של הנקודות במישור שהם שווים זה מזה מנקודה קבועה (פוקוס) וקו קבוע (דירקטריקס). אז ההנחיה והמיקוד הם שמגדירים את הפרבולה.

את הפרבולה ניתן להשיג כחתך של משטח מהפך חרוטי דרך מישור מקביל לגנרטיקס.

אֶלִיפְּסָה

העקומה הסגורה שמתארת ​​נקודה בעת תנועה במטוס נקראת אליפסה בצורה כזו שסכום המרחקים שלה לשתי (2) נקודות קבועות (נקראות מוקדים) הוא קבוע.

הִיפֵּרבּוֹלָה

ההיפרבולה מכונה העקומה המוגדרת כמיקום הנקודות במישור, אשר ההבדל בין המרחקים של שתי נקודות קבועות (מוקדים) קבוע.

להיפרבולה ציר סימטריה שעובר במוקדים, הנקרא ציר המוקד. יש לו גם אחד נוסף, שהוא הביזקטור של הקטע שיש לו את הנקודות הקבועות בקצותיו.

יישומים

ישנם יישומים רבים של גאומטריה אנליטית בתחומים שונים בחיי היומיום. לדוגמא, אנו יכולים למצוא את הפרבולה, אחד המרכיבים הבסיסיים בגיאומטריה אנליטית, ברבים מהכלים המשמשים היום יום. חלק מהכלים הללו הם כדלקמן:

צלחת לווין

לאנטנות פרבוליות יש רפלקטור שנוצר כתוצאה מפרבולה המסתובבת על ציר האנטנה האמורה. המשטח שנוצר כתוצאה מפעולה זו נקרא פרבולואיד.

יכולת זו של הפרבוליד נקראת המאפיין האופטי או תכונת ההשתקפות של פרבולה, ובזכות זה אפשר לפרבוליק לשקף את הגלים האלקטרומגנטיים שהוא מקבל ממנגנון ההזנה המרכיב את האנטנה.

גשרים תלויים

כאשר חבל תומך במשקל שהוא הומוגני אך יחד עם זאת הוא גדול משמעותית ממשקל החבל עצמו, התוצאה תהיה פרבולה.

עיקרון זה הוא בסיסי לבניית גשרי מתלה, הנתמכים בדרך כלל על ידי מבני כבל פלדה רחבים.

העיקרון של המשל בגשרים תלויים שימש במבנים כמו גשר שער הזהב, שנמצא בעיר סן פרנסיסקו, בארצות הברית, או הגשר הגדול של מיצר אקשי, שנמצא ביפן ומחבר בין האי של Awaji עם Honshū, האי הראשי של אותה מדינה.

ניתוח אסטרונומי

לגיאומטריה אנליטית היו גם שימושים מאוד ספציפיים ומכריעים בתחום האסטרונומיה. במקרה זה, האלמנט של הגיאומטריה האנליטית שלוקחת את מרכז הבמה היא האליפסה; חוק תנועת הכוכבים של יוהנס קפלר משקף זאת.

קפלר, מתמטיקאי ואסטרונום גרמני, קבע כי האליפסה היא העקומה המתאימה ביותר לתנועתו של מאדים; הוא בדק בעבר את המודל המעגלי שהציע קופרניקוס, אך באמצע הניסויים שלו הוא הסיק כי האליפסה שימשה לצייר מסלול הדומה לחלוטין לזה של כוכב הלכת שהוא חקר.

הודות לאליפסה, קפלר הצליח לאשר כי כוכבי הלכת נעו במסלולי אליפסה; שיקול זה היה הצהרת החוק השני כביכול של קפלר.

מגילוי זה, שהועשר לימים על ידי הפיזיקאי והמתמטיקאי האנגלי אייזק ניוטון, ניתן היה לחקור את התנועות האורביטאליות של כוכבי הלכת ולהגדיל את הידע שהיה לנו על היקום שאנו חלק ממנו.

טלסקופ קסגריין

הטלסקופ של קסגריין נקרא על שם ממציאו, הפיזיקאי יליד צרפת, לורן קסגריין. בטלסקופ זה משתמשים בעקרונות הגיאומטריה האנליטית מכיוון שהיא מורכבת בעיקר משני מראות: הראשונה היא קעורה ופרבולית, והשנייה מאופיינת בכך שהיא קמורה והיפרבולית.

מיקומם של הטבע ואופיו של מראות אלה מאפשרים כי הפגם המכונה סטייה כדורית אינו מתרחש; פגם זה מונע את השתקפות קרני האור במיקוד העדשה הנתונה.

הטלסקופ Cassegrain שימושי מאוד לתצפית פלנטרית, כמו גם להיות די תכליתי וקל לשימוש.

הפניות

1. גיאומטריה אנליטית. הוחזר ב- 20 באוקטובר 2017 מ- britannica.com
2. גיאומטריה אנליטית. הוחזר ב- 20 באוקטובר 2017 מ- encyclopediafmath.org
3. גיאומטריה אנליטית. הוחזר ב- 20 באוקטובר 2017 מ- khancademy.org
4. גיאומטריה אנליטית. הוחזר ב- 20 באוקטובר 2017 מ- wikipedia.org
5. גיאומטריה אנליטית. הוחזר ב- 20 באוקטובר 2017 מ- whitman.edu
6. גיאומטריה אנליטית. הוחזר ב- 20 באוקטובר 2017 מ- stewartcalculus.com
7. גיאומטריה אנליטית של מטוסים הושלמה ב- 20 באוקטובר 2017