פונקציות טרנסצנדנטיות: סוגים, הגדרה, מאפיינים, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

היסודי הפונקציות טרנסצנדנטי הן המעריכים, לוגריתמים, טריגונומטריות, פונקציות טריגונומטריות הפוך, והפוכיהן היפרבוליות. כלומר, הם אלה שאינם יכולים לבוא לידי ביטוי באמצעות פולינום, כמות של פולינומים או שורשים של פולינומים.

הפונקציות הטרנסצנדנטיות הלא-אלמנטריות ידועות גם כפונקציות מיוחדות וביניהן ניתן לקרוא לפונקצית השגיאה. הפונקציות האלגבריות (פולינומים, מרכיבי פולינומים ושורשי פולינומים) יחד עם הפונקציות הטרנסצנדנטליות היסודיות מהוות את מה שבמתמטיקה ידועות כפונקציות יסודיות.

פונקציות טרנסצנדנטיות נחשבות גם לאלו הנובעות מפעולות בין פונקציות טרנסצנדנטיות או בין פונקציות טרנסצנדנטיות ואלגבריות. פעולות אלה הן: סכום והבדל הפונקציות, המוצר וכמות הפונקציות, כמו גם הרכב של שתי פונקציות או יותר.

הגדרה ותכונות

פונקציה מעריכית

זוהי פונקציה אמיתית של משתנה עצמאי אמיתי של הטופס:

f (x) = a ^ x = a ^x

כאשר a הוא מספר אמיתי חיובי קבוע (a> 0) הנקרא הבסיס. המילה העיקרית או העל-כותרת משמשים לציון פעולת התגברות.

נניח a = 2 אז הפונקציה נראית כך:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

אשר יוערך בכמה ערכים של המשתנה הבלתי תלוי x:

להלן גרף בו מיוצגת הפונקציה המארכת עבור מספר ערכים של הבסיס, כולל הבסיס e (מספר Neper e ≃ 2.72). הבסיס e חשוב כל כך שבאופן כללי על פונקציה מעריכית אנו חושבים על e ^ x, הנקרא גם exp (x).

איור 1. פונקציה מעריכית a ^ x, לערכים שונים של הבסיס a. (פירוט משלו)

מאפייני הפונקציה המעריכית

מתרשים 1 ניתן לציין כי התחום של הפונקציות האקספוננציאליות הוא המספרים האמיתיים (Dom f = R ) והטווח או הנתיב הם הריאלים החיוביים (Ran f = R ⁺ ).

מצד שני, ללא קשר לערך הבסיס a, כל הפונקציות האקספוננציאליות עוברות דרך הנקודה (0, 1) ודרך הנקודה (1, a).

כאשר הבסיס a> 1, הפונקציה גדלה וכאשר 0 <a <1 הפונקציה יורדת.

עקומות y = a ^ x ו- y = (1 / a) ^ x הן סימטריות לגבי ציר Y.

למעט המקרה a = 1, הפונקציה האקספוננציאלית היא זריקה, כלומר, כל ערך של התמונה מתאים לערך התחלה אחד ורק אחד.

פונקציה לוגריתמית

זוהי פונקציה אמיתית של משתנה עצמאי אמיתי המבוסס על הגדרת הלוגריתם של מספר. הלוגריתם המבוסס על מספר x הוא המספר y שאליו יש להעלות את הבסיס כדי להשיג את הארגומנט x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

כלומר, פונקציית הלוגריתם המבוססת עליה היא הפונקציה ההפוכה של הפונקציה האקספוננציאלית המבוססת על.

לדוגמה:

יומן ₂ 1 = 0, מאז 2 ^ 0 = 1

מקרה אחר, יומן ₂ 4 = 2, מכיוון ש 2 ^ 2 = 4

לוגריתם השורש של 2 הוא יומן ₂ √2 = ½, מכיוון ש 2 ^ ½ = √2

יומן ₂ ¼ = -2, מאז 2 ^ (- 2) = ¼

להלן תרשים של פונקציית הלוגריתם בבסיסים שונים.

איור 2. פונקציה מעריכית לערכים שונים של הבסיס. (פירוט משלו)

מאפיינים של פונקציית הלוגריתם

התחום של פונקציית הלוגריתם y (x) = log a (x) הם המספרים האמיתיים החיוביים R + . טווח הנסיעה או הם מספרים ממשיים R .

ללא קשר לבסיס, פונקציית הלוגריתם עוברת תמיד דרך הנקודה (1,0) והנקודה (a, 1) שייכת לתרשים של אותה פונקציה.

במקרה שהבסיס a גדול מהאחדות (a> 1) פונקצית הלוגריתם הולכת וגוברת. אבל אם (0 <a <1) אז זו פונקציה שהולכת ופוחתת.

פונקציות סינוס, קוסין וטנג'נט

פונקציית הסינוס מקצה מספר אמיתי ולכל ערך x, כאשר x מייצג את מידת הזווית ברדיאנים. כדי להשיג את ערך ה- Sen (x) של זווית, הזווית מיוצגת במעגל היחידה והקרנת הזווית האמורה על הציר האנכי היא הסינוס המתאים לזווית זו.

המעגל והסינוס הטריגונומטריים לערכים זוויתיים שונים X1, X2, X3 ו- X4 מוצגים להלן (באיור 3).

איור 3. מעגל טריגונומטרי והסינוס של זוויות שונות. (פירוט משלו)

מוגדר באופן זה, הערך המרבי שיכול להיות לפונקציה סן (x) יכול להיות 1, המתרחש כאשר x = π / 2 + 2π n, כאשר n הוא מספר שלם (0, ± 1, ± 2,). הערך המינימלי שיכול לקחת את הפונקציה Sen (x) מתרחש כאשר x = 3π / 2 + 2π n.

פונקציית הקוסינוס y = Cos (x) מוגדרת בצורה דומה, אך השלכת העמדות הזוויתיות P1, P2 וכו 'מתבצעת על הציר האופקי של המעגל הטריגונומטרי.

מצד שני, הפונקציה y = Tan (x) היא המנה בין הפונקציה הסינוס לפונקציה הקוסינוס.

להלן תרשים של הפונקציות הטרנסצנדנטיות סן (x), קוס (x) וטאן (x)

איור 4. תרשים של הפונקציות הטרנסצנדנטיות, סינוס, קוסין וטנג'נט. (פירוט משלו)

נגזרים ואינטגרלים

נגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית

הנגזרת y 'של הפונקציה האקספוננציאלית y = a ^ x היא הפונקציה a ^ x כפול הלוגריתם הטבעי של הבסיס a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

במקרה הספציפי של בסיס e, הנגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית היא הפונקציה האקספוננציאלית עצמה.

אינטגרל של הפונקציה האקספוננציאלית

האינטגרל הבלתי מוגדר של a ^ x הוא הפונקציה עצמה המחולקת על ידי הלוגריתם הטבעי של הבסיס.

במקרה הספציפי של בסיס e, אינטגרל הפונקציה האקספוננציאלית הוא הפונקציה האקספוננציאלית עצמה.

טבלה של נגזרות ואינטגרלים של פונקציות טרנסצנדנטיות

להלן טבלת סיכום של הפונקציות העיקריות הטרנסצנדנטיות, נגזרותיהם ואינטגרלים בלתי מוגדרים (אנטי-יריביות):

טבלה של נגזרים ואינטגרלים בלתי מוגדרים עבור פונקציות טרנסצנדנטיות מסוימות. (פירוט משלו)

דוגמאות

דוגמא 1

מצא את הפונקציה הנובעת מהרכב הפונקציה f (x) = x ^ 3 עם הפונקציה g (x) = cos (x):

(ערפל) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

הנגזר שלו והאינטגרל הבלתי מוגדר שלו הוא:

דוגמא 2

מצא את הרכב הפונקציה g עם הפונקציה f, כאשר g ו- f הם הפונקציות שהוגדרו בדוגמה הקודמת:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

יש לציין כי הרכב הפונקציות אינו פעולה קומיטטיבית.

הנגזרת והאינטגרל הבלתי מוגדר לפונקציה זו הם בהתאמה:

האינטגרל נותר מסומן מכיוון שלא ניתן לכתוב את התוצאה כשילוב של פונקציות אלמנטריות בדיוק.

הפניות

1. חישוב של משתנה יחיד. רון לארסון, ברוס ה. אדוארדס. לימוד Cengage, 10 בנובמבר 2008
2. משפט הפונקציה המובלעת: היסטוריה, תיאוריה ויישומים. סטיבן ג 'קרנץ, הרולד ר. פארקס. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 9 בנובמבר. 2012
3. ניתוח רב משתנים. סאטיק שיראלי, הרקרישאן לאל וסודבה. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 13 בדצמבר. 2010
4. דינמיקת מערכת: דוגמנות, הדמיה ובקרה של מערכות מכטרוניות. דין סי קרנופ, דונלד ל. מרגוליס, רונלד סי רוזנברג. ג'ון וויילי ובניו, 7 במרץ 2012
5. חשבון: מתמטיקה ודוגמנות. ויליאם בולדרי, ג'וזף ר. פדלר, פרנק ר. ג'ורדנו, אד לודי, ריק ויטריי. אדיסון ווסלי לונגמן, 1 בינואר 1999
6. ויקיפדיה. פונקציה טרנסצנדנטית. התאושש מ: es.wikipedia.com