פונקציה אובייקטיבית: מה זה, בשביל מה זה ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

פונקציה חד חד ערכית היא קרובת משפחה של אלמנטים של תחום בעל מרכיב יחיד של codomain. ידוע גם כפונקציה של אחד לאחד ( 1 - 1 ), הם מהווים חלק מהסיווג של הפונקציות ביחס לאופן שבו האלמנטים שלהם קשורים.

אלמנט של הקודומיין יכול להיות רק תמונה של אלמנט בודד בתחום, בדרך זו לא ניתן לחזור על הערכים של המשתנה התלוי.

מקור: מחבר.

דוגמה מובהקת הייתה קביעת גברים עם משרות בקבוצה א ', ובקבוצה ב' כל הבוסים. פונקציה ו ' תהיה זו שקושרת כל עובד עם הבוס שלו. אם כל עובד משויך לבוס אחר דרך F , אז F תהיה פונקצית הזרקה .

כדי לשקול זריקת פונקציה, יש לעמוד בדברים הבאים:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

זו הדרך האלגברית לומר לכל x ₁ השונה מ- x ₂ יש לנו F (x ₁ ) השונה מ- F (x ₂ ).

בשביל מה פונקציות הזרקה?

הזרקות היא תכונה של פונקציות רציפות, מכיוון שהן מבטיחות הקצאת תמונות לכל אלמנט בתחום, היבט חיוני ברציפות הפונקציה.

כאשר מציירים קו מקביל לציר ה- X בתרשים של פונקצית הזרקה, יש לגעת בגרף רק בנקודה אחת, לא משנה באיזה גובה או גודל של Y נמתח הקו. זו הדרך הגרפית לבחון את הזרקת הפונקציה.

דרך נוספת לבדוק אם פונקציה היא זריקה היא לפתור את המשתנה X הבלתי תלוי במונחים של המשתנה התלוי Y. אז יש לאמת אם התחום של ביטוי חדש זה מכיל את המספרים האמיתיים, באותו זמן כמו לכל ערך של Y יש ערך יחיד של X.

הפונקציות או קשרי הסדר מצייתים, בין היתר, לתגובה F: D _f → C _f

מה לקרוא F העובר מן D _F ל- C _F

איפה את הפונקציה F מתייחס סטים דומיין ו Codomain. ידוע גם בשם סט ההתחלה וסט הסיום.

התחום D _f מכיל את הערכים המותרים עבור המשתנה הבלתי תלוי. הקודומיין C _f מורכב מכל הערכים העומדים לרשות המשתנה התלוי. האלמנטים של C _f הקשורים ל- D _f ידועים כ- Range of the function (R _f ).

מיזוג פונקציה

לפעמים יכול להיות כפוף לתפקוד שאינו מזריק תנאים מסוימים. תנאים חדשים אלה יכולים להפוך אותו לתפקוד זריקתי. כל סוגי השינויים בתחום והקודומיין של הפונקציה תקפים, כאשר המטרה היא למלא את תכונות ההזרקה במערכת היחסים המתאימה.

דוגמאות לתפקודי הזרקה עם תרגילים שנפתרו

דוגמא 1

אפשר לפונקציה F: R → R להיות מוגדרת על ידי הקו F (x) = 2x - 3

א:

מקור: מחבר.

נציין כי עבור כל ערך של התחום יש תמונה בקודומיין. תמונה זו היא ייחודית מה שהופך את F לתפקוד הזרקה. זה חל על כל הפונקציות הליניאריות (פונקציות שהדרגה הגבוהה ביותר של המשתנה היא אחת).

מקור: מחבר.

דוגמא 2

תן לפונקציה F: R → R להיות מוגדרת על ידי F (x) = x ² +1

מקור: מחבר

בעת ציור קו אופקי, ניתן לראות כי הגרף נמצא יותר מפעם אחת. בשל כך את הפונקציה F אינה חד ערכית, כל עוד R → R מוגדרת

אנו ממשיכים להתנות את תחום הפונקציה:

F: R ⁺ U {0} → R

מקור: מחבר

כעת המשתנה הבלתי תלוי אינו לוקח ערכים שליליים, בדרך זו נמנעים מחזרה על תוצאות והפונקציה F: R ⁺ U {0} → R המוגדרת על ידי F (x) = x ² + 1 היא זריקה .

פיתרון הומולוגי נוסף יהיה להגביל את הדומיין משמאל, כלומר להגביל את הפונקציה לקיחת ערכים שליליים ואפסיים בלבד.

אנו ממשיכים להתנות את תחום הפונקציה

F: R ^- U {0} → R

מקור: מחבר

כעת המשתנה הבלתי תלוי אינו לוקח ערכים שליליים, בדרך זו נמנעים מחזרה על תוצאות והפונקציה F: R ^- U {0} → R המוגדרת על ידי F (x) = x ² + 1 היא זריקה .

לפונקציות הטריגונומטריות יש התנהגויות דומות לגל, בהן מקובל מאוד למצוא חזרות על ערכים במשתנה התלוי. באמצעות התניה ספציפית, המבוססת על ידע קודם בפונקציות אלה, אנו יכולים לצמצם את התחום כדי לעמוד בתנאי ההזרקה.

דוגמא 3

תן לפונקציה F: → R להיות מוגדרת על ידי F (x) = Cos (x)

במרווח פונקצית הקוסינוס משתנה את תוצאותיה בין אפס לאחת.

מקור: מחבר.

כפי שניתן לראות בתרשים. זה מתחיל מאפס ב- x = - π / 2, ואז מגיע למקסימום באפס. אחרי x = 0 הערכים מתחילים לחזור, עד שהם חוזרים לאפס ב- x = π / 2. בדרך זו ידוע ש- F (x) = Cos (x) אינו מזריק במשך המרווח.

כאשר בוחנים את הגרף של הפונקציה F (x) = Cos (x) , נצפים אינטרוולים בהם התנהגות העקומה מסתגלת לקריטריונים של הזרקת ההזרקה. כמו המרווח

כאשר הפונקציה משתנה תוצאות בין 1 ל -1, מבלי לחזור על ערך כלשהו במשתנה התלוי.

בדרך זו פונקציית הפונקציה F: → R המוגדרת על ידי F (x) = Cos (x). זה מזריק

ישנם פונקציות לא לינאריות בהן מקרים דומים מתרחשים. לביטויים מסוג רציונאלי, כאשר המכנה מכיל לפחות משתנה אחד, ישנם מגבלות המונעות את הזרקת הקשר.

דוגמא 4

תן לפונקציה F: R → R להיות מוגדרת על ידי F (x) = 10 / x

הפונקציה מוגדרת עבור כל המספרים האמיתיים למעט {0} שיש להם אי-קביעות (לא ניתן לחלק אותה באפס) .

כאשר המשתנה התלוי מתקרב לאפס משמאל הוא לוקח ערכים שליליים גדולים מאוד, ומיד לאחר אפס, הערכים של המשתנה התלוי לוקחים נתונים חיוביים גדולים.

שיבוש זה גורם לביטוי F: R → R מוגדר על ידי F (x) = 10 / x

אל תזריק.

כפי שניתן לראות בדוגמאות הקודמות, הדרת הערכים בתחום משמשת ל"תיקון "בלתי-קבועים אלה. אנו ממשיכים לבצע אי הכללה של אפס מהתחום, ומשאירים את ערכות ההתחלה והסיום מוגדרים כדלקמן:

R - {0} → R

כאשר R - {0} מסמל את הריאליים פרט לסט שהרכיב היחיד שלו הוא אפס.

באופן זה הביטוי F: R - {0} → R המוגדר על ידי F (x) = 10 / x הוא זריקה.

דוגמא 5

תן לפונקציה F: → R להיות מוגדרת על ידי F (x) = Sen (x)

במרווח פונקצית הסינוס משתנה את תוצאותיה בין אפס לאחת.

מקור: מחבר.

כפי שניתן לראות בתרשים. זה מתחיל מאפס ב- x = 0 ואז מגיע למקסימום ב- x = π / 2. אחרי x = π / 2 הערכים מתחילים לחזור, עד שהם חוזרים לאפס ב- x = π. בדרך זו ידוע ש F (x) = Sen (x) אינו מזריק למשך המרווח.

כאשר בוחנים את הגרף של הפונקציה F (x) = Sen (x) , נצפים מרווחים שבהם ההתנהגות של העקומה מסתגלת לקריטריונים של ההזרקה. כמו המרווח

כאשר הפונקציה משתנה תוצאות בין 1 ל -1, מבלי לחזור על ערך כלשהו במשתנה התלוי.

בדרך זו הפונקציה F: → R מוגדרת על ידי F (x) = Sen (x). זה מזריק

דוגמא 6

בדוק אם הפונקציה F: → R מוגדרת על ידי F (x) = שזוף (x)

F: → R מוגדר על ידי F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R מוגדר על ידי הקו F (x) = 7x + 2

הפניות

1. מבוא לוגיקה וחשיבה ביקורתית. מריליה סלמון. אוניברסיטת פיטסבורג
2. בעיות בניתוח מתמטי. פיוטר בילר, אלפרד וויטקובסקי. אוניברסיטת ורוצלב. פּוֹלִין.
3. אלמנטים של ניתוח מופשט. ד"ר Mícheál O'Searcoid. החוג למתמטיקה. מכללת האוניברסיטה דבלין, בלדפילד, דבלינד 4.
4. מבוא ללוגיקה ולמתודולוגיה של מדעי הדדוקציה. אלפרד טרסקי, ניו יורק אוקספורד. עיתונות באוניברסיטת אוקספורד.
5. עקרונות ניתוח מתמטי. אנריקה לינס אסקארדו. העריכה Reverté S. A 1991. ברצלונה ספרד.