פונקציה הומוגרפית: כיצד לתרשים, תרגילים שנפתרו - מתמטיקה - 2025

פונקציה homographic או ng רציונלית היא סוג של פונקציה מתמטית מורכבת משני רכיבים חלוקת פולינום. הוא מציית לטופס P (x) / Q (x), כאשר Q (x) אינו יכול לקבל צורה null.

לדוגמה הביטוי (2x - 1) / (x + 3) מתאים לפונקציה הומוגרפית עם P (x) = 2x - 1 ו- Q (x) = x + 3.

מקור: pixabay.com

הפונקציות ההומוגרפיות מהוות קטע של לימוד הפונקציות האנליטיות, המטופלות מגישת הגרף ומחקירת התחום והטווח. זה נובע מהמגבלות והטעמים שיש להחיל על החלטותיך.

מהי פונקציה הומוגרפית?

הם ביטויים רציונאליים של משתנה בודד, אם כי אין זה אומר שאין ביטוי דומה לשני משתנים או יותר, כאשר זה כבר יהיה בנוכחות גופים במרחב הצייתים לאותם דפוסים כמו הפונקציה ההומוגרפית במישור.

יש להם שורשים אמיתיים במקרים מסוימים, אך קיומם של אסימפטוטים אנכיים ואופקיים נשמר תמיד, כמו גם מרווחי צמיחה וירידה. בדרך כלל רק אחד מהמגמות הללו קיים, אך ישנם ביטויים המסוגלים להראות את שניהם בהתפתחותם.

התחום שלו מוגבל על ידי שורשי המכנה, מכיוון שאין חלוקה באפס של המספרים האמיתיים.

פונקציה הומוגרפית מעורבת

הם תכופים מאוד בחישוב, במיוחד דיפרנציאליים ואינטגרליים, נחוצים לגזור ולאנטי-נגזרת תחת נוסחאות מסוימות. כמה מהנפוצים ביותר מופיעים בהמשך.

אפילו השורש התשיעי של הפונקציה ההומוגרפית

אל תכלול את כל האלמנטים של התחום שהופכים את הטיעון לשלילי. השורשים הקיימים בכל ערכי תשואה פולינומיים של אפס בהערכה.

ערכים אלה מתקבלים על ידי הרדיקלים, אם כי יש לקחת בחשבון את ההגבלה הבסיסית של הפונקציה ההומוגרפית. כאשר Q (x) אינו יכול לקבל ערכי null.

יש ליירט את פתרונות המרווחים:

כדי להשיג את פיתרון הצמתים ניתן להשתמש בשיטת השלטים, בין היתר.

לוגריתם של הפונקציה ההומוגרפית

מקובל למצוא את שני הביטויים באחד, בין שילובים אפשריים אחרים.

כיצד לתאר פונקציה הומוגרפית?

פונקציות הומוגרפיות תואמות באופן גרפי להיפרבולות במטוס. המועברים בצורה אופקית ואנכית על פי הערכים המגדירים את הפולינומים.

ישנם כמה אלמנטים שעלינו להגדיר כדי לתאר תרשים פונקציה רציונלית או הומוגרפית.

נכס

הראשון יהיה השורשים או האפסים של הפונקציות P ו- Q.

הערכים שהושגו יצוינו על ציר ה- x של הגרף. מציין את צמתים של הגרף עם הציר.

אסימפטוטה אנכית

הם תואמים קווים אנכיים, המתחייבים את הגרף לפי המגמות שהם מציגים. הם נוגעים בציר ה- x בערכים שהופכים את המכנה לאפס ולעולם לא יגעו בהם הגרף של הפונקציה ההומוגרפית.

אסימפטוטה אופקית

מיוצג על ידי קו תפר אופקי, הוא מגביל גבול שעבורו לא תוגדר הפונקציה בנקודה המדויקת. מגמות ייצפו לפני קו זה ואחריו.

כדי לחשב זאת עלינו לפנות לשיטה הדומה לשיטה של ​​L'Hopital, המשמשת לפתרון גבולות של פונקציות רציונליות הנוטות לאינסוף. עלינו לקחת את מקדמי הכוחות הגבוהים ביותר במונה ובמכנה של הפונקציה.

לדוגמה, לביטוי הבא יש אסימפטוט אופקי ב- y = 2/1 = 2.

מרווח צמיחה

בערכי הסדר יהיו מגמות המסומנות בתרשים בגלל האסימפטוטות. במקרה של צמיחה, הפונקציה תגדל בערכים ככל שמעריכים את רכיבי התחום משמאל לימין.

צמצם את המרווח

ערכי ההסדר יקטנו ככל שמעריכים את רכיבי התחום משמאל לימין.

הקפיצות שנמצאו בערכים לא יובאו בחשבון כשעלייה או ירידה. זה מתרחש כאשר הגרף קרוב לאסימפטוט אנכי או אופקי, כאשר הערכים יכולים להשתנות מאינסוף לאינסוף שלילי ולהיפך.

צומת Y

על ידי קביעת הערך x לאפס, אנו מוצאים את היירוט עם ציר הסדר. נתונים אלה מועילים מאוד לקבלת הגרף של הפונקציה הרציונאלית.

דוגמאות

הגדר את הגרף של הביטויים הבאים, מצא את שורשיהם, אסימפטוטים אנכיים ואופקיים, מרווחי עלייה וירידה וצמתים עם ציר הסדר.

תרגיל 1

לביטוי אין שורשים, מכיוון שיש לו ערך קבוע במונה. ההגבלה שתוחל תהיה x שונה מאפס. עם אסימפטוטה אופקית ב- y = 0, ואסימפטוטה אנכית ב- x = 0. אין נקודות צומת עם ציר ה- Y.

נציין כי אין מרווחי צמיחה אפילו בקפיצה ממינוס לאינסוף בתוספת x = 0.

מרווח הירידה הוא

מזהה: (-∞; o) U (0, ∞)

תרגיל 1.2

נצפים 2 פולינומים כמו בהגדרה הראשונית, ולכן אנו ממשיכים לפי הצעדים שנקבעו.

השורש שנמצא הוא x = 7/2, הנובע מהגדרת הפונקציה שווה לאפס.

האסימפטוטה האנכית עומדת על x = - 4, שהוא הערך המוחרג מהתחום על ידי תנאי הפונקציה הרציונלית.

האסימפטוטה האופקי הוא ב y = 2, זה לאחר חלוקת 2/1, מקדמי המשתנים של תואר 1.

יש לו יירוט y = - 7/4. ערך שנמצא לאחר השוואה בין x לאפס.

הפונקציה צומחת ללא הרף, עם קפיצה מאינסוף פלוס למינוס סביב השורש x = -4.

מרווח הצמיחה שלה הוא (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

כאשר הערך של x מתקרב מינוס אינסוף, הפונקציה לוקחת ערכים קרוב ל -2. הדבר קורה כאשר x מתקרב לאינסוף יותר.

הביטוי מתקרב פלוס אינסוף בהערכה ל- 4 משמאל, ומינוס אינסוף בהערכה ל- -4 מימין.

תרגיל 2

הגרף של הפונקציה ההומוגרפית הבאה נצפה:

תאר את התנהגותה, שורשיה, אסימפטוטים אנכיים ואופקיים, מרווחי צמיחה וירידה וצמתים עם ציר הסדר.

המכנה של הביטוי אומר לנו על ידי פיתרון ההבדל בין ריבועים (x + 1) (x - 1) את ערכי השורשים. בדרך זו ניתן להגדיר את שני האסימפטוטים האנכיים כ:

x = -1 ו- x = 1

האסימפטוטה האופקית תואמת את ציר האבסיסה מכיוון שהעוצמה הגבוהה ביותר נמצאת במכנה.

השורש היחיד שלו מוגדר על ידי x = -1/3.

הביטוי תמיד פוחת משמאל לימין. הוא מתקרב לאפס כשמתקרב לאינסוף. אינסוף מינוס כשאתה ניגש -1 מצד שמאל. אינסוף פלוס כשהוא מתקרב ל -1 מימין. פחות אינסוף כשניגשים ל 1 משמאל ויותר אינסופיים כשמתקרבים ל 1 מימין.

הפניות

1. קירוב לתפקידים רציונליים. דונלד ג'יי ניומן. American Mathematical Soc., 31 בדצמבר. 1979
2. פונקציות רציונליות אורתוגונליות. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. הוצאת אוניברסיטת קיימברידג ', 13 בפברואר. 1999
3. קירוב רציונאלי של פונקציות אמיתיות. פ.פ. פטרושב, וסיל אטנסוב פופוב. הוצאת אוניברסיטת קיימברידג ', 3 במרץ. 2011
4. פונקציות אלגבריות. גילברט אייס בליס. תאגיד השליחויות, 1 בינואר 2004
5. כתב העת של החברה הספרדית המתמטית, כרכים 5-6. האגודה הספרדית למתמטיקה, מדריד 1916