פונקציה של BIJECTIVE: מה זה, איך זה נעשה, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

פונקצית bijective היא אחד שעומד בתנאים כפול של להיות חד חד ערכי ועל התאמה על . כלומר, לכל האלמנטים של התחום יש תמונה בודדת בקודומיין, ובתורם הקודומיין שווה לדרגת הפונקציה ( R _f ).

זה מתגשם על ידי התחשבות בקשר אחד לאחד בין מרכיבי התחום לקודומיין. דוגמה פשוטה היא הפונקציה F: R → R המוגדרת על ידי השורה F (x) = x

מקור: מחבר

נציין כי עבור כל ערך של התחום או קבוצת הפתיחה (שני המונחים חלים באופן שווה) יש תמונה בודדת בקודומיין או בערכת ההגעה. בנוסף, אין אלמנט בקודומיין מלבד תמונה.

באופן זה F: R → R המוגדר על ידי השורה F (x) = x הוא Bijective

איך מבצעים פונקציה של ביו-טיוב?

כדי לענות על כך, יש צורך להיות ברור לגבי המושגים הקשורים Injectivity ו Overjectivity של פונקציה , כמו גם את הקריטריונים לפונקציות תנאי כדי להתאימם לדרישות.

הזרקת פונקציה

פונקציה היא זריקה כאשר כל אחד מרכיבי התחום שלו קשור לאלמנט יחיד בקודומיין. אלמנט של הקודומיין יכול להיות רק תמונה של אלמנט בודד בתחום, בדרך זו לא ניתן לחזור על הערכים של המשתנה התלוי.

כדי לשקול זריקת פונקציה, יש לעמוד בדברים הבאים:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

סקרנות של פונקציה

פונקציה מסווגת כסובייקטיבית אם כל אלמנט בקודומיין שלה הוא תמונה של אלמנט אחד לפחות של התחום.

כדי לשקול פונקצית התאמה על , מאלה שיש לקיימם:

תן ל- F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

זוהי הדרך האלגברית לקבוע כי עבור כל "b" השייך ל- C _f יש "a" ששייך ל- D _f כך שהפונקציה המוערכת ב- "a" שווה ל- "b".

מיזוג פונקציה

לפעמים פונקציה שאינה בייקטיבית יכולה להיות כפופה לתנאים מסוימים. תנאים חדשים אלה יכולים להפוך אותו לפונקציה של בייביטציה. כל סוגי השינויים לתחום ולקודומיין של הפונקציה תקפים, כאשר המטרה היא לממש את המאפיינים של הזרקות וכושר סקרנות במערכת היחסים המתאימה.

דוגמאות: תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

אפשר לפונקציה F: R → R להיות מוגדרת על ידי השורה F (x) = 5x +1

א:

נציין כי עבור כל ערך של התחום יש תמונה בקודומיין. תמונה זו היא ייחודית אשר עושה F פונקציה חד חד ערכית . באותו אופן אנו מבחינים כי הקודומיין של הפונקציה שווה לדרגתו. ובכך ממלאים את תנאי הניתוח .

בהיותנו זריקות וסרטיביות בו זמנית אנו יכולים להסיק זאת

F: R → R המוגדר על ידי השורה F (x) = 5x +1 היא פונקציה של Bijective.

זה חל על כל הפונקציות הליניאריות (פונקציות שהדרגה הגבוהה ביותר של המשתנה היא אחת).

תרגיל 2

תן לפונקציה F: R → R להיות מוגדרת על ידי F (x) = 3x ² - 2

בעת ציור קו אופקי, ניתן לראות כי הגרף נמצא יותר מפעם אחת. כתוצאה מכך הפונקציה F אינה מזריקת ולכן היא לא תהיה בייקטיבית בזמן שהיא מוגדרת ב- R → R

באופן דומה, ישנם ערכי קודומיין שאינם תמונות לאף אלמנט בתחום. בשל כך, הפונקציה איננה סובייקטיבית, אשר ראויה גם להתנות את סט ההגעה.

אנו ממשיכים להתנות את התחום והקודומיין של הפונקציה

F: →

שם נצפה כי התחום החדש מכסה את הערכים מאפס לאינסוף חיובי. הימנעות מחזרה על ערכים המשפיעים על הזרקות.

באופן דומה, הקודומיין השתנה, וסופר מ- "-2" לאינסוף חיובי, ומבטל מהקודומיין את הערכים שלא תואמים אף אלמנט בתחום.

בדרך זו ניתן להבטיח כי F : → מוגדר על ידי F (x) = 3x ² - 2

זה Bijective

תרגיל 3

אפשר לפונקציה F: R → R להיות מוגדרת על ידי F (x) = Sen (x)

במרווח פונקצית הסינוס משתנה את תוצאותיה בין אפס לאחת.

מקור: מחבר.

הפונקציה F אינה תואמת את הקריטריונים של זריקות וניתוח, כי הערכים של המשתנה התלוי חוזרים על כל מרווח של π. יתר על כן, תנאי הקודומיין מחוץ למרווח אינם תמונות של אף אלמנט בתחום.

כאשר בוחנים את הגרף של הפונקציה F (x) = Sen (x) , נצפים מרווחים שבהם ההתנהגות של העקומה עומדת בקריטריונים של הביוביות . כמו למשל המרווח D _f = עבור התחום. ו- C _f = לקודומיין.

כאשר הפונקציה משתנה תוצאות בין 1 ל -1, מבלי לחזור על ערך כלשהו במשתנה התלוי. ובאותה עת הקודומיין שווה לערכים שאומצו על ידי הביטוי Sen (x)

כך הפונקציה F: → מוגדרת על ידי F (x) = Sen (x). זה Bijective

תרגיל 4

ציין את התנאים הנדרשים עבור D _f ו- C _f . אז הביטוי

F (x) = -x ² להיות Bijective.

מקור: מחבר

חזרה על התוצאות נצפתה כאשר המשתנה לוקח ערכים הפוכים:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

התחום מותנה, ומגביל אותו לצד הימני של הקו האמיתי.

D _f =

באותו אופן נציין כי הטווח של פונקציה זו הוא המרווח, שכאשר הוא פועל כקודומיין ממלא את תנאי הניתוח.

בדרך זו אנו יכולים להסיק מכך

הביטוי F: → מוגדר על ידי F (x) = -x ² זה Bijective

תרגילים מוצעים

בדוק אם הפונקציות הבאות הן Bijective:

F: → R מוגדר על ידי F (x) = 5ctg (x)

F: → R מוגדר על ידי F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R מוגדר על ידי הקו F (x) = -5x + 4

הפניות

1. מבוא לוגיקה וחשיבה ביקורתית. מריליה סלמון. אוניברסיטת פיטסבורג
2. בעיות בניתוח מתמטי. פיוטר בילר, אלפרד וויטקובסקי. אוניברסיטת ורוצלב. פּוֹלִין.
3. אלמנטים של ניתוח מופשט. ד"ר Mícheál O'Searcoid. החוג למתמטיקה. מכללת האוניברסיטה דבלין, בלדפילד, דבלינד 4
4. מבוא ללוגיקה ולמתודולוגיה של מדעי הדדוקציה. אלפרד טרסקי, ניו יורק אוקספורד. עיתונות באוניברסיטת אוקספורד.
5. עקרונות ניתוח מתמטי. אנריקה לינס אסקארדו. העריכה Reverté S. A 1991. ברצלונה ספרד.