ENEAGON: מאפיינים, כיצד ליצור אנייגון, דוגמאות - מתמטיקה

Enegon הוא מצולע עם תשעה צדדים ותשעה קודקודים, אשר עשוי או לא עשוי להיות קבוע. השם eneágono מקורו ביוונית והוא מורכב מהמילים היווניות ennea (תשע) וגונון (זווית).

שם אלטרנטיבי למצולע התשע צדדי הוא נוןגון, שמקורו בנונוס הלטיני (תשע) וגונון (קודקוד). מצד שני, אם הצדדים או הזוויות של האיגרון אינם שווים זה לזה, אז יש לך אנייגון לא סדיר. אם, לעומת זאת, כל תשעת הצדדים ותשע הזוויות של האיגרון שווים, אז זה אנייגון רגיל.

איור 1 באיגרון 1. אנייגון רגיל ואיגן רגיל. (פירוט משלו)

מאפייני האנגון

עבור מצולע עם צלעות N סכום הזוויות הפנימיות שלו הוא:

(n - 2) * 180º

באזור זה הוא n = 9, כך שסכום הזוויות הפנימיות שלו הוא:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

בכל מצולע, מספר האלכסונים הוא:

D = n (n - 3) / 2 ובמקרה של enegon, מכיוון n = 9, יש לנו D = 27.

רגילה

באניגון הרגיל או הלא -agonagon יש תשע (9) זוויות פנימיות במידה שווה, ולכן כל זווית מודדת תשיעית מהסכום הכולל של הזוויות הפנימיות.

מדד הזוויות הפנימיות של אנגון הוא אז 1260º / 9 = 140º.

איור 2. אפוטם, רדיוס, צדדים, זוויות וקודקודים של אנייגון רגיל. (פירוט משלו)

כדי לגזור את הנוסחה לאזור של אזור רגיל עם צד d, נוח לבצע כמה קונסטרוקציות עזר, כמו אלה המוצגות באיור 2.

מרכז ה- O נמצא על ידי התחקות אחר חלקי הבידוד של שני צדדים סמוכים. O המרכזי שווה מהקודקודים.

רדיוס באורך r הוא הקטע מהמרכז O ועד קודקוד האנגון. איור 2 מציג את הרדיוסים OD ו- OE באורך r.

האפוטם הוא הקטע שעובר מהמרכז לנקודת האמצע של צד אחד של האנגון. לדוגמא OJ הוא מינוי שאורכו הוא.

אזור של אזור המוכר את הצד והאפוטם

אנו רואים את המשולש ODE באיור 2. השטח של המשולש הזה הוא תוצר בסיס DE שלו והגובה OJ חלקי 2:

אזור ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

מכיוון שיש 9 משולשים של שטח שווה באנגון, ניתן להסיק כי השטח של אותו הוא:

אזור Enegon = (9/2) (d * a)

אזור ידוע על הצד

אם ידוע רק אורך d של דפנות האנגון, יש למצוא את אורך האפוטם על מנת ליישם את הנוסחה בסעיף הקודם.

אנו מחשיבים את המשולש הימני OJE ב- J (ראה איור 2). אם נעשה שימוש ביחס הטריגונומטרי המשיק, נקבל:

שיזוף (∡ OEJ) = OJ / EJ.

הזווית ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, מכיוון ש- EO הוא ה bisector של הזווית הפנימית של האנגון.

מצד שני, OJ הוא המפתח באורך א.

ואז, מכיוון ש- J הוא נקודת האמצע של ED, יוצא ש- EJ = d / 2.

החלפת הערכים הקודמים ביחס המשיק שיש לנו:

שיזוף (70º) = a / (d / 2).

כעת אנו מנקים את אורך האפוטם:

a = (d / 2) שיזוף (70º).

התוצאה הקודמת מוחלפת בנוסחת האזור לקבלת:

שטח enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) שיזוף (70º))

לבסוף, אנו מוצאים את הנוסחה המאפשרת להשיג את שטח האניגון הרגיל אם ידוע רק אורך d של דפנותיו:

שטח enegon = (9/4) d ² שיזוף (70º) = 6.1818 d ²

היקף האנגון הרגיל ידוע בצידו

ההיקף של מצולע הוא סכום הצדדים שלו. במקרה של האנגון, ככל שכל אחד מהצדדים מודד אורך d, היקפו יהיה הסכום של תשע פעמים d, כלומר:

היקף = 9 ד '

היקף האנגון ידוע ברדיוס שלו

בהתחשב במשולש הימני OJE ב- J (ראה איור 2), מיושם יחס הקוסינוס הטריגונומטרי:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

מאיפה הוא מתקבל:

d = 2r cos (70º)

החלפת תוצאה זו אנו משיגים את הנוסחה להיקף כפונקציה של רדיוס האנגון:

היקף = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

איך להכין רגילה

1 - לבניית אנייגון רגיל, עם סרגל ומצפן, התחל מהיקף c שמקיף את האיגרון. (ראה איור 3)

2- שני קווים בניצב נמשכים דרך O המרכזי של ההיקף. ואז המסמלים A ו- B של אחד הקווים מסומנים בהיקף.

3 - עם המצפן, המתרכז ביירוט B והפתח שווה לרדיוס BO, נמשך קשת המיירטת את ההיקף המקורי בנקודה C.

איור 3. שלב לבניית אנגון רגיל. (פירוט משלו)

4- השלב הקודם חוזר על עצמו אך תוך יצירת מרכז A A ברדיוס AO, נמשך קשת שמיירטת את היקף c בנקודה E.

5- עם פתיחת AC ומרכז A A נמשך קשת היקפים. באופן דומה עם פתיחת BE ומרכז B נמשך קשת נוספת. הצומת של שני קשתות אלה מסומן כנקודה G.

6- במרכזה G ופתיחת GA נמשך קשת המיירטת את הציר המשני (אופקי במקרה זה) בנקודה H. הצומת של הציר המשני עם ההיקף המקורי c מסומן כ- I.

7- אורך הקטע IH שווה לאורך d של הצד של האנגון.

8- עם פתיחת מצפן IH = d, קשתות מרכז A רדיוס AJ, רדיוס מרכז J AK, רדיוס מרכז K KL ורדיוס מרכז L L נמשכים ברצף.

9- באופן דומה, החל מ- A ומהצד הימני, נמשכים קשתות של רדיוס IH = d המסמנים נקודות M, N, C ו- Q על ההיקף המקורי c.

10- לבסוף נמשכים הקטעים AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ ולבסוף PB.

יש לציין כי שיטת הבנייה אינה מדויקת לחלוטין שכן ניתן לאמת כי הצד האחרון PB ארוך ב- 0.7% בהשוואה לשאר הצדדים. נכון להיום אין שיטת בנייה ידועה עם סרגל ומצפן המדויקים ב 100%.

דוגמאות

להלן כמה דוגמאות מעובדות.

דוגמא 1

אנו רוצים לבנות enegon רגיל שצידיו בגודל 2 ס"מ. איזה רדיוס חייב להיות היקף העוקף אותו, כך שעל ידי יישום הקונסטרוקציה שתוארה קודם מתקבלת התוצאה הרצויה?

בחלק הקודם, הוסדרה הנוסחה המתייחסת לרדיוס r של המעגל המתואר עם הצד d של אנגון רגיל:

d = 2r cos (70º)

פותר עבור r מהביטוי הקודם שיש לנו:

r = d / (2 cos (70º)) = 1.4619 * d

החלפת הערך d = 2 ס"מ בנוסחה הקודמת נותנת רדיוס r של 2.92 ס"מ.

דוגמא 2

מה שטחו של מגן רגיל עם צד 2 ס"מ?

כדי לענות על שאלה זו, עלינו להתייחס לנוסחה, שהוצגה בעבר, המאפשרת לנו למצוא את שטח האיגון הידוע באורך d של צדו: