משוואות פולינומיות (עם פתרונות של תרגילים) - מתמטיקה - 2025

משוואות פולינום הם הצהרה כי מעלה את השוויון של שני ביטויים או חברים, בהם אחד לפחות של התנאים שהופכים את כל הצד של שוויון הם פולינומים P (x). משוואות אלה נקראות לפי מידת המשתנים שלהן.

באופן כללי, משוואה היא אמירה המבססת את השוויון של שני ביטויים, כאשר לפחות באחד כזה יש כמויות לא ידועות, המכונות משתנים או אלמונים. למרות שיש סוגים רבים של משוואות, הם בדרך כלל מסווגים לשני סוגים: אלגבריות וטרנסצנדנטיות.

משוואות פולינומיות מכילות רק ביטויים אלגבריים, שיכולים להיות אלמוני אחד או יותר מעורבים במשוואה. על פי האקספקטנט (תואר) שיש להם, ניתן לסווג אותם: תואר ראשון (ליניארי), תואר שני (ריבוע), תואר שלישי (מעוקב), תואר רביעי (קוורטי), תואר גדול או שווה לחמישה ולא הגיוני.

מאפיינים

משוואות פולינומיות הן ביטויים הנוצרים על ידי שוויון בין שני פולינומים; כלומר בסכומים סופיים של כפלים בין ערכים שאינם ידועים (משתנים) למספרים קבועים (מקדמים), שבהם המשתנים יכולים להיות בעלי מערכים, וערכם יכול להיות מספר חיובי, כולל אפס.

המרחבים קובעים את דרגת או סוג המשוואה. המונח בביטוי עם האקספקטנט הגבוה ביותר ייצג את המידה המוחלטת של הפולינום.

משוואות פולינומיות ידועות גם כמשוואות אלגבריות, מקדמים שלהם יכולים להיות מספרים אמיתיים או מורכבים והמשתנים הם מספרים לא ידועים המיוצגים על ידי אות, כמו: "x".

אם החלפת ערך למשתנה "x" ב- P (x) התוצאה שווה לאפס (0), אז אומרים שערך זה יספק את המשוואה (זה פיתרון), והוא נקרא בדרך כלל שורש הפולינום.

כשמפתחים משוואת פולינום אתם רוצים למצוא את כל השורשים או הפתרונות.

סוגים

ישנם מספר סוגים של משוואות פולינומיות, המבדלות על פי מספר המשתנים, וגם לפי מידת המוצא שלהם.

לפיכך, משוואות הפולינום - היכן שהמונח הראשון שלה הוא פולינום שיש לו לא ידוע יחיד, בהתחשב בכך שהתואר שלו יכול להיות כל מספר טבעי (n) והמונח השני הוא אפס - ניתן לביטוי כדלקמן:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

איפה:

- A _{n, n-1} ו ₀ הם מקדמים אמיתי (מספרים).

- _n שונה מאפס.

- המרכיב n הוא מספר שלם חיובי המייצג את מידת המשוואה.

- x הוא המשתנה או הלא ידוע לחיפוש.

הדרגה המוחלטת או הגדולה יותר של משוואת פולינום היא המרכיב עם הערך הגבוה ביותר מבין כל אלו היוצרים את הפולינום; לפיכך המשוואות מסווגות כ:

כיתה א

משוואות הפולינום מדרגה ראשונה, המכונות גם משוואות ליניאריות, הן אלו בהן התואר (המוצפן הגדול ביותר) שווה ל 1, הפולינום הוא בצורה P (x) = 0; y מורכב ממונח לינארי ומונח עצמאי. זה כתוב כדלקמן:

גרזן + b = 0.

איפה:

- a ו- b הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0.

גרזן הוא המונח הליניארי.

- ב הוא המונח העצמאי.

לדוגמא, המשוואה 13x - 18 = 4x.

כדי לפתור משוואות לינאריות, יש לעבור את כל המונחים המכילים את ה- x הלא ידוע לצד אחד של השוויון, ואלו שאין להם הם עוברים לצד השני, כדי לפתור אותו ולקבל פיתרון:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

לפיכך, למשוואה הנתונה יש רק פיתרון או שורש אחד, שהם x = 2.

כיתה ב

משוואות פולינום מדרגה שנייה, הידועות גם כמשוואות ריבועיות, הן אלו בהן התואר (המרכיב הגדול ביותר) שווה ל 2, הפולינום הוא בצורה P (x) = 0, והוא מורכב ממונח ריבועי , אחד לינארי ואחד עצמאי. זה בא לידי ביטוי באופן הבא:

גרזן ² + bx + c = 0.

איפה:

- a, b ו- c הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0.

- גרזן ² הוא המונח הריבועי, ו- "a" הוא המקדם של המונח הריבועי.

- bx הוא המונח הליניארי, ו- "b" הוא המקדם של המונח הליניארי.

- ג הוא המונח הבלתי תלוי.

מֵמֵס

באופן כללי, הפיתרון לסוג זה של משוואות ניתן על ידי ניקוי x מהמשוואה, והוא כדלקמן, המכונה הרזולוציה:

שם, (b ² - 4ac) נקרא מפלה של המשוואה וביטוי זה קובע את מספר הפתרונות שיכולה להיות למשוואה:

- אם (b ² - 4ac) = 0, למשוואה יהיה פיתרון יחיד כפול; כלומר יהיו לזה שני פתרונות שווים.

- אם (b ² - 4ac)> 0, למשוואה יהיו שני פתרונות אמיתיים שונים.

- אם (b ² - 4ac) <0, למשוואה אין פיתרון (יהיו לה שני פתרונות מורכבים שונים).

לדוגמא, יש לנו את המשוואה 4x ² + 10x - 6 = 0, כדי לפתור אותה, נזהה תחילה את המונחים a, b ו- c ואז תחליף אותו בנוסחה:

a = 4

b = 10

c = -6.

ישנם מקרים שבהם למשוואות הפולינום של התואר השני אין את כל שלושת המונחים, וזו הסיבה שהם נפתרים אחרת:

- במקרה שלמשוואות ריבועיות אין את המונח הליניארי (כלומר, b = 0), המשוואה תבוא לידי ביטוי כגרזן ² + c = 0. לפתור אותה, פתרו עבור x ² והחל את השורשים הריבועיים בכל חבר כשיזכרו כי יש לקחת בחשבון את שני הסימנים האפשריים שהיו לא נודעים:

גרזן ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

לדוגמה, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- כאשר למשוואה הריבועית אין מונח עצמאי (כלומר, c = 0), המשוואה תבוא לידי ביטוי כגרזן ² + bx = 0. כדי לפתור אותה, יש לקחת את הגורם המשותף של ה- x הלא ידוע בחבר הראשון; מכיוון שהמשוואה שווה לאפס, נכון שלפחות אחד מהגורמים יהיה שווה ל 0:

גרזן ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

לפיכך, עליכם:

x = 0.

x = -b ÷ א.

לדוגמא: יש לנו את המשוואה 5x ² + 30x = 0. ראשית אנו גורמים:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

נוצרים שני גורמים שהם xy (5x + 30). זה נחשב שאחד מאלה יהיה שווה לאפס והשני נפתר:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

הציון הגבוה ביותר

משוואות פולינומים בדרגה גבוהה יותר הן אלו העולות מהתואר השלישי ואילך, אשר ניתן לבטא או לפתור עם משוואת הפולינום הכללית לכל תואר:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

משתמשים בזה בכך שמשוואה עם תואר גדול משניים היא תוצאה של פקטורציה של פולינום; כלומר, זה בא לידי ביטוי ככפל של פולינומים בדרגה אחת או יותר, אך ללא שורשים אמיתיים.

הפיתרון של סוגים אלו של משוואות הוא ישיר, מכיוון שהכפל של שני גורמים יהיה שווה לאפס אם אחד מהגורמים הוא null (0); לפיכך, יש לפתור כל אחת מהמשוואות הפולינומיות שנמצאו, להגדיר כל אחד מהגורמים שלהם שווה לאפס.

לדוגמא, יש לנו את משוואת התואר השלישי (מעוקב) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. כדי לפתור אותה, יש לבצע את הצעדים הבאים:

- התנאים מקובצים:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- החברים מפורקים כדי לקבל את הגורם השכיח של הלא נודע:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- בדרך זו מתקבלים שני גורמים שחייבים להיות שווים לאפס:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- ניתן לראות כי לפקטור (x ² + 4) = 0 לא יהיה פיתרון אמיתי, בעוד שהגורם (x + 1) = 0 כן. אז הפיתרון הוא:

(x + 1) = 0

x = -1.

תרגילים שנפתרו

לפתור את המשוואות הבאות:

תרגיל ראשון

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

פִּתָרוֹן

במקרה זה המשוואה באה לידי ביטוי ככפל פולינומים; כלומר, זה עובד בחשבון. כדי לפתור אותו, יש להגדיר כל גורם שווה לאפס:

- 2x ² + 5 = 0, אין לזה פיתרון.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

לפיכך, למשוואה הנתונה יש שני פתרונות: x = 3 ו- x = -1.

תרגיל שני

x ⁴ - 36 = 0.

פִּתָרוֹן

ניתן פולינום, שניתן לכתוב מחדש כהבדל בין ריבועים בכדי להגיע לפיתרון מהיר יותר. לפיכך, המשוואה היא:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

כדי למצוא את הפיתרון של המשוואות, שני הגורמים מוגדרים שווים לאפס:

(x ² + 6) = 0, אין לזה פיתרון.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

לפיכך, למשוואה הראשונית שני פתרונות:

x = √6.

x = - √6.

הפניות

1. אנדרס, ט (2010). אולימפיאדת מתמטיקה. שפרינגר. ניו יורק.
2. Angel, AR (2007). אלגברה אלמנטרית. פירסון חינוך,.
3. Baer, ​​R. (2012). אלגברה לינארית וגיאומטריה השלכתית. תאגיד השליחויות.
4. בלדור, א '(1941). אַלגֶבּרָה. הוואנה: תרבות.
5. Castaño, HF (2005). מתמטיקה לפני החישוב. אוניברסיטת מדיין.
6. Cristóbal Sánchez, מר (2000). מדריך להכנה אולימפית להכנה אולימפית. אוניברסיטת Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). אלגברה גבוהה יותר.
8. מסארה, NC-L. (אלף תשע מאות תשעים וחמש). מתמטיקה 3.