חטיבת סינתטי היא דרך פשוטה של חלוקת P פולינום (x) כל אחד בצורה ד (x) = x - ג. לדוגמה, ניתן לייצג את הפולינום P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) ככפלה של שני הפולינומים הפשוטים ביותר (x + 1) ו- (x 4 + 2x 3 ).
זהו כלי שימושי מאוד מכיוון שבנוסף לאפשר לנו לחלק פולינומים, הוא גם מאפשר לנו להעריך פולינום P (x) בכל מספר c, אשר בתורו אומר לנו במדויק אם המספר האמור הוא אפס של הפולינום או לא.
בזכות אלגוריתם החלוקה, אנו יודעים שאם יש לנו שני פולינומים לא קבועים P (x) ו- d (x), ישנם פולינומים ייחודיים q (x) ו- r (x) כך שנכון ש P (x) = q (x) d (x) + r (x), כאשר r (x) הוא אפס או פחות מ- q (x). פולינומים אלה ידועים כמקור ושאר או שארית בהתאמה.
במקרים בהם הפולינום d (x) הוא בצורת x- c, חלוקה סינתטית נותנת לנו דרך קצרה למצוא מיהם q (x) ו- r (x).
שיטת חלוקה סינתטית
תן ל- P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 את הפולינום שאנחנו רוצים לחלק ו- d (x) = xc את המחלק. כדי לחלק בשיטת החלוקה הסינתטית, אנו ממשיכים באופן הבא:
1- אנו כותבים את המקדמים של P (x) בשורה הראשונה. אם כוח כלשהו של X לא מופיע, אנו מציבים אפס כמקדם שלו.
2- בשורה השנייה, משמאל ל- n אנו ממקמים את c, ומציירים קווי חלוקה כמוצג באיור הבא:
3- אנו מורידים את המקדם המוביל לשורה השלישית.
בביטוי זה b n-1 = a n
4- אנו מכפילים את c במקדם המוביל b n-1 ואנחנו כותבים את התוצאה בשורה השנייה, אך עמודה אחת מימין.
5- אנו מוסיפים את העמודה בה אנו כותבים את התוצאה הקודמת ואנו מניחים את התוצאה מתחת לסכום זה; כלומר באותו טור, שורה שלישית.
כשמוסיפים, יש לנו כתוצאה n-1 + c * b n-1 , שלצורך הנוחות נקרא b n-2
6- אנו מכפילים את c בתוצאה הקודמת וכותבים את התוצאה לימינה בשורה השנייה.
7- אנו חוזרים על שלבים 5 ו 6 עד שנגיע למקדם ב- 0 .
8- אנו כותבים את התשובה; כלומר, המנה והשאר. מכיוון שאנו מחלקים פולינום של תואר n בפולינום של תואר 1, יש לנו שהמניין יהיה בדרגה n-1.
המקדמים של הפולינום המצטיין יהיו המספרים בשורה השלישית למעט האחרון, שיהיה הפולינום שנותר או שארית החלוקה.
תרגילים שנפתרו
- דוגמה 1
בצע את החלוקה הבאה בשיטת החלוקה הסינתטית:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1).
פִּתָרוֹן
אנו כותבים תחילה את מקדמי הדיבידנד כדלקמן:
לאחר מכן אנו כותבים c בצד שמאל, בשורה השנייה, יחד עם קווי הפרדה. בדוגמה זו c = -1.
אנו מורידים את המקדם המוביל (במקרה זה b n-1 = 1) ונכפיל אותו ב- -1:
אנו כותבים את התוצאה שלה מימין בשורה השנייה, כמוצג להלן:
אנו מוסיפים את המספרים בעמודה השנייה:
מכפילים 2 ב -1 וכותבים את התוצאה בעמודה השלישית, שורה שנייה:
אנו מוסיפים בעמודה השלישית:
אנו ממשיכים באותה דרך עד שנגיע לטור האחרון:
אם כן, יש לנו שהמספר האחרון שהתקבל הוא שארית החלוקה, והמספרים הנותרים הם מקדמי הפולינום המנהלי. זה נכתב כך:
אם ברצוננו לוודא שהתוצאה נכונה, מספיק לוודא שהמשוואה הבאה נכונה:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
כך שנוכל לבדוק שהתוצאה המתקבלת נכונה.
- דוגמא 2
בצע את החלוקה הבאה של פולינומים בשיטת החלוקה הסינתטית
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
פִּתָרוֹן
במקרה זה יש לנו שהמונח x 2 לא מופיע, ולכן נכתוב 0 כמקדם שלו. לפיכך, הפולינום יהיה 7x 3 + 0x 2 -x + 2.
אנו כותבים את המקדמים שלהם ברצף, זהו:
אנו כותבים את הערך של C = -2 בצד שמאל של השורה השנייה ומציירים את קווי החלוקה.
אנו מורידים את המקדם המוביל b n-1 = 7 ומכפילים אותו ב- -2, כותבים את התוצאה שלו בשורה השנייה מימין.
אנו מוסיפים וממשיכים כפי שהוסבר קודם, עד שנגיע למונח האחרון:
במקרה זה, השארית היא r (x) = - 52 והכמות המתקבלת היא q (x) = 7x 2 -14x + 27.
- דוגמא 3
דרך נוספת להשתמש בחלוקה סינתטית היא הבאה: נניח שיש לנו פולינום P (x) של תואר n ואנחנו רוצים לדעת מה הערך על ידי הערכתו ב- x = c.
באמצעות אלגוריתם החלוקה אנו יכולים לכתוב את הפולינום P (x) בצורה הבאה:
בביטוי זה q (x) ו- r (x) הם הכמות והשאר, בהתאמה. עכשיו, אם d (x) = x- c, כאשר אנו מעריכים את c בפולינום נקבל את הדברים הבאים:
לכן, נותר רק למצוא ar (x), ואנחנו יכולים לעשות זאת בזכות החלוקה הסינתטית.
לדוגמא, יש לנו את הפולינום P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 ואנחנו רוצים לדעת מה הערך שלו על ידי הערכתו ב- x = 5. לשם כך אנו מבצעים את חלוקה בין P (x) ל- d (x) = x -5 בשיטת החלוקה הסינתטית:
לאחר ביצוע הפעולות אנו יודעים שנוכל לכתוב P (x) בצורה הבאה:
P (x) = (x 6 -4x 5 - x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
לכן, כאשר אנו מעריכים זאת עלינו:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
כפי שאנו רואים, ניתן להשתמש בחלוקה סינתטית כדי למצוא את הערך של פולינום על ידי הערכתו ב- c ולא פשוט להחליף את c עבור x.
אם היינו מנסים להעריך את P (5) באופן המסורתי, היינו נאלצים לבצע כמה חישובים שלעיתים הופכים מייגעים.
- דוגמא 4
אלגוריתם החלוקה של פולינומים נכון גם לגבי פולינומים עם מקדמים מורכבים, וכתוצאה מכך יש לנו ששיטת החלוקה הסינתטית פועלת גם עבור פולינומים כאלה. נראה דוגמא להלן.
אנו נשתמש בשיטת החלוקה הסינתטית כדי להראות ש z = 1+ 2i הוא אפס של הפולינום P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); כלומר, שארית החלוקה P (x) על ידי d (x) = x - z שווה לאפס.
אנו ממשיכים כמו קודם: בשורה הראשונה אנו כותבים את מקדמי P (x), ואז בשנייה אנו כותבים z ומציירים את קווי החלוקה.
אנו מבצעים את החלוקה כמו פעם; זה:
אנו יכולים לראות שהשאר אפס; לכן אנו מסיקים ש z = 1+ 2i הוא אפס של P (x).
הפניות
- בלדור אורליו. אַלגֶבּרָה גרפו פטריה עורך.
- דמנה, ווייט, פולי וקנדי. פרקלקולוס: חינוך גרפי, מספרי, אלגברי, ספר חינוך פירסון.
- פלמינג W & Varserg D. אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. אולם Prentice
- מייקל סאליבן. Precalculus 4 Ed. פירסון חינוך.
- אָדוֹם. ארמנדו או. אלגברה 1 Ed Ed. אתנהיאום.