פירוק התוסף של מספר חיובי מורכב להביע אותו כסכום של שני מספרים שלמים או יותר חיוביים. לפיכך, יש לנו כי המספר 5 יכול להתבטא כ 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 או 5 = 1 + 2 + 2. כל אחת מהדרכים הללו לכתיבת המספר 5 היא מה שנקרא פירוק תוסף.

אם נקדיש תשומת לב נוכל לראות כי הביטויים 5 = 2 + 3 ו- 5 = 3 + 2 מייצגים את אותו הרכב; לשניהם אותם המספרים. עם זאת, רק לצורך הנוחות, כל התוספות נכתבות בדרך כלל בעקבות הקריטריון מהנמוך לגבוה ביותר.

פירוק תוסף

כדוגמה נוספת אנו יכולים לקחת את המספר 27, אותו אנו יכולים לבטא כ:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

פירוק תוספות הוא כלי שימושי מאוד המאפשר לחזק את הידע שלנו על מערכות מספור.

פירוק תוספי קנוני

כשיש לנו מספרים עם יותר משתי ספרות, דרך מסוימת לפרק אותם היא בכפולות של 10, 100, 1000, 10 000 וכו ', שמרכיבות את זה. דרך זו של כתיבת מספר כלשהו נקראת פירוק תוספי קנוני. לדוגמה, ניתן לפרק את המספר 1456 כדלקמן:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

אם יש לנו את המספר 20 846 295, פירוקו התוסף הקנוני יהיה:

20 846 295 = 20,000,000 + 800,000 + 40,000 + 6000 + 200 + 90 +5.

בזכות הפירוק הזה, אנו יכולים לראות שהערך של ספרה נתונה ניתן על ידי המיקום שהיא תופס. ניקח כדוגמה את המספרים 24 ו 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

כאן אנו יכולים לראות כי ב- 24 לערך 2 יש ערך של 20 יחידות וב -4 ערך של 4 יחידות; לעומת זאת, ב -42 ל -4 יש ערך של 40 יחידות ו -2 של שתי יחידות. כך, למרות ששני המספרים משתמשים באותה ספרות, הערכים שלהם שונים לחלוטין בגלל המיקום שהם תופסים.

יישומים

אחת היישומים שנוכל לתת לפירוק תוסף היא בסוגים מסוימים של הוכחות, בהן כדאי מאוד לראות מספר שלם חיובי כסכום האחרים.

משפט לדוגמא

ניקח כדוגמה את המשפט הבא עם ההוכחות שלו בהתאמה.

- תן ל- Z להיות מספר שלם בן ארבע ספרות, ואז Z מתחלק ב -5 אם הנתון המקביל שלו ליחידות הוא אפס או חמש.

הפגנה

נזכור מהי החלוקה. אם יש לנו מספרים של מספרים "a" ו- "b", אנו אומרים ש" a "מחלק" b "אם קיים מספר שלם" c "כך ש b = a * c.

אחת מתכונות ההתחלקות אומרת לנו שאם "a" ו- "b" מתחלקים ב- "c", אז גם החיסור "ab" מתחלק.

תן ל- Z להיות מספר בן ספרות; לכן אנו יכולים לכתוב Z כ- Z = ABCD.

באמצעות פירוק תוספי קנוני יש לנו:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

ברור ש- A * 1000 + B * 100 + C * 10 מתחלק ב -5. בשביל זה יש לנו ש- Z מתחלק ב- 5 אם Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) ניתן לחלוקה ב 5.

אבל Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D ו- D הוא מספר ספרתי בודד, כך שהדרך היחידה שהוא יכול להיות מתחלק ב -5 היא שזה יהיה 0 או 5.

לכן Z מתחלק ב- 5 אם D = 0 או D = 5.

הערה שאם זי n ספרות ההוכחה היא בדיוק אותו הדבר, זה משנה רק שעכשיו היינו כותבים Z = A _{1 2} … א _n ואת המטרה תהיה להוכיח כי _n הוא אפס או חמש.

מחיצות

אנו אומרים כי מחיצה של מספר שלם חיובי היא דרך אחת שנוכל לכתוב מספר כסכום של מספרים שלמים חיוביים.

ההבדל בין פירוק תוסף למחיצה הוא שבעוד שהראשונה מבקשת שלפחות ניתן לפרק אותה לשני תוספות או יותר, למחיצה אין הגבלה זו.

לפיכך, יש לנו את הדברים הבאים:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

האמור לעיל הם מחיצות של 5.

כלומר, יש לנו שכל פירוק תוסף הוא מחיצה, אך לא כל מחיצה היא בהכרח פירוק תוסף.

בתיאוריית המספרים, משפט היסוד של חשבון מבטיח כי ניתן לכתוב כל מספר שלם באופן ייחודי כתוצר של ראשוניות.

כאשר בוחנים מחיצות המטרה היא לקבוע בכמה דרכים ניתן לכתוב מספר שלם חיובי כסכום של מספרים שלמים אחרים. לכן, אנו מגדירים את פונקציית המחיצה כמוצג להלן.

הַגדָרָה

פונקציית המחיצה p (n) מוגדרת כמספר הדרכים בהן ניתן לכתוב מספר שלם n חיובי כסכום של מספרים שלמים חיוביים.

בחזרה לדוגמא של 5, יש לנו את זה:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

לפיכך, p (5) = 7.

גרָפִיקָה

ניתן לייצג הן מחיצות והן פירוק תוספות של מספר n. נניח שיש לנו פירוק תוסף של n. בפירוק זה ניתן לסדר את התוספות כך שחברי הסכום מוזמנים מהפחות לגדולים ביותר. אז אוקיי:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r עם

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤ … ≤ a _r .

אנו יכולים לתאר את הפירוק הזה בצורה הבאה: בשורה הראשונה אנו מסמנים את הנקודות ₁ , ואז בסמוך הבא אנו מסמנים ₂ נקודות, וכן הלאה עד שנגיע ל- _r .

קח לדוגמא את המספר 23 ואת הפירוק הבא שלו:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

אנו מזמינים את הפירוק הזה ויש לנו:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

הגרף המקביל שלו יהיה: