נגזרות עוקבות (עם פתרונות תרגילים) - מתמטיקה - 2025

הנגזרים הרצופים הם אלה נגזרים פונקציה אחת אחרי השנייה נגזר. התהליך לחישוב הנגזרים העוקבים הוא כדלקמן: יש לנו פונקציה f, אותה אנו יכולים לגזור וכך להשיג את הפונקציה הנגזרת f '. אנו יכולים לגזור את הנגזרת הזו של f, להשיג (f ')'.

פונקציה חדשה זו נקראת הנגזרת השנייה; כל הנגזרות המחושבות מהשנייה רצופות; לאלו, הנקראים גם סדר גבוה יותר, יש יישומים נהדרים, כמו מתן מידע על עלילת הגרף של הפונקציה, מבחן הנגזרת השנייה לקצוות יחסית וקביעת סדרות אינסופיות.

הַגדָרָה

בעזרת הסימון של לייבניץ, יש לנו כי הנגזרת של פונקציה "y" ביחס ל "x" היא dy / dx. כדי לבטא את הנגזרת השנייה של "y" באמצעות הסימון של לייבניץ, אנו כותבים באופן הבא:

באופן כללי, אנו יכולים לבטא נגזרות עוקבות כדלקמן עם הסימון של לייבניץ, כאשר n מייצג את סדר הנגזרת.

הערות אחרות בהן נעשה שימוש הן:

כמה דוגמאות בהן אנו יכולים לראות את הסימונים השונים הם:

דוגמא 1

השג את כל הנגזרות של הפונקציה f המוגדרת על ידי:

בשימוש בטכניקות הגזירה הרגילות, יש לנו כי הנגזרת של f היא:

על ידי חזרה על התהליך אנו יכולים להשיג את הנגזרת השנייה, הנגזרת השלישית וכן הלאה.

שימו לב שהנגזרת הרביעית היא אפס והנגזרת של אפס היא אפס, ולכן יש לנו:

דוגמא 2

חשב את הנגזרת הרביעית של הפונקציה הבאה:

הפקת הפונקציה הנתונה שיש לנו כתוצאה מכך:

מהירות ותאוצה

אחת המניעים שהובילו לגילוי הנגזרת הייתה החיפוש אחר ההגדרה מהירות מיידית. ההגדרה הרשמית היא כדלקמן:

בואו y = f (t) להיות פונקציה שהגרף שלה מתאר את מסלול החלקיק בזמן t, ואז המהירות שלו בזמן t ניתנת על ידי:

לאחר שהתקבלה מהירות החלקיק, נוכל לחשב תאוצה מיידית, המוגדרת כך:

ההאצה המיידית של חלקיק שדרכו ניתנת על ידי y = f (t) היא:

דוגמא 1

חלקיק נע לאורך קו בהתאם לפונקציית המיקום:

כאשר "y" נמדד במטרים ו" t "בשניות.

- באיזה רגע מהירות המהירות שלה 0?

- באיזה רגע הוא האצה 0 שלה?

כאשר אנו מפיקים את פונקציית המיקום «ו-» יש לנו כי המהירות והתאוצה שלה ניתנים בהתאמה על ידי:

כדי לענות על השאלה הראשונה, די לקבוע מתי הפונקציה v הופכת לאפס; זה:

אנו ממשיכים עם השאלה הבאה בצורה אנלוגית:

דוגמא 2

חלקיק נע לאורך קו בהתאם למשוואת התנועה הבאה:

קבע "t, y" ו- "v" כאשר a = 0.

הידיעה שמהירות ותאוצה ניתנים על ידי

אנו ממשיכים לגזור ולקבל:

ביצירת = 0, יש לנו:

מכאן נוכל להסיק שהערך של t עבור a להיות שווה לאפס הוא t = 1.

לאחר מכן, בהערכת פונקציית המיקום ופונקציית המהירות ב t = 1, יש לנו:

יישומים

נגזרת מפורשת

נגזרות רצופות ניתן להשיג גם על ידי נגזרת מרומזת.

דוגמא

בהינתן האליפסה הבאה, מצא את "y":

נגזר באופן מרומז ביחס ל- x, יש לנו:

ואז, באופן מרומז, נגזר מחדש ביחס ל- x נותן לנו:

לבסוף יש לנו:

קיצוניות יחסית

שימוש נוסף שנוכל להעניק לנגזרות מסדר שני הוא בחישוב הקצוות היחסיים של פונקציה.

הקריטריון של הנגזרת הראשונה לקיצוניות מקומית אומר לנו שאם יש לנו פונקציה רציפה f על מרווח (a, b) וישנו c ששייך למרווח האמור כך ש- f נעלם ב- c (כלומר, זה c היא נקודה קריטית), אחד משלושה מקרים עשוי להופיע:

- אם f '(x)> 0 עבור כל x השייך ל (a, c) ו- f' (x) <0 עבור x השייך ל (c, b), אז f (c) הוא מקסימום מקומי.

- אם f '(x) <0 עבור כל x השייך ל (a, c) ו- f' (x)> 0 עבור x השייך ל (c, b), אז f (c) הוא מינימום מקומי.

- אם ל- f '(x) יש אותו כניסה (a, c) וב- (c, b), זה מרמז ש- f (c) אינו קיצוני מקומי.

בעזרת הקריטריון של הנגזרת השנייה נוכל לדעת אם מספר קריטי של פונקציה הוא מקסימום מקומי או מינימום, מבלי שנצטרך לראות מה הסימן של הפונקציה במרווחים שהוזכרו לעיל.

הקריטריון של הסחף השני אומר לנו שאם f´ (c) = 0 וה- f´´ (x) הוא רציף ב- (a, b), קורה שאם f´´ (c)> 0 אז f (c) הוא מינימום מקומי ואם f´´ (c) <0 אז f (c) הוא מקסימום מקומי.

אם f´´ (c) = 0, איננו יכולים להסיק שום דבר.

דוגמא

בהינתן הפונקציה f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , מצא את המקסימות והמינימום היחסיים של f תוך שימוש בקריטריון של הנגזרת השנייה.

ראשית אנו מחשבים את f´ (x) ו- f´´ (x) ויש לנו:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

עכשיו, f '(x) = 0 אם, ורק אם 4x (x + 2) (x - 1) = 0, וזה קורה כאשר x = 0, x = 1 או x = - 2.

כדי לקבוע אם המספרים הקריטיים המתקבלים הם קיצוניים יחסית, די להעריך ב- f 'ובכך לשמור על הסימן שלה.

f´´ (0) = - 8, כך f (0) הוא מקסימום מקומי.

f´´ (1) = 12, כך f (1) הוא מינימום מקומי.

f´´ (- 2) = 24, כך f (- 2) הוא מינימום מקומי.

סדרת טיילור

לאפשר f להיות פונקציה המוגדרת כך:

לפונקציה זו יש רדיוס של התכנסות R> 0 ויש לה נגזרים של כל ההזמנות ב- (-R, R). הנגזרות הרצופות של f נותנות לנו:

אם ניקח את x = 0, אנו יכולים להשיג את הערכים של c _n כפונקציה של הנגזרות שלהם באופן הבא:

אם ניקח an = 0 כפונקציה f (כלומר f ^ 0 = f), נוכל לשכתב את הפונקציה כך:

עכשיו בואו נתייחס לפונקציה כסדרת כוחות ב- x = a:

אם נבצע ניתוח המקביל לקודם, היינו צריכים שנוכל לכתוב את הפונקציה f כ:

סדרות אלה ידועות כסדרות טיילור מ- f ל- a. כאשר a = 0 יש לנו את המקרה המסוים שנקרא סדרת מקלאורין. לסדרה זו יש חשיבות מתמטית רבה במיוחד בניתוח מספרי, מכיוון שבזכות אלה אנו יכולים להגדיר פונקציות במחשבים כמו e ^x , sin (x) ו- cos (x).

דוגמא

השג את סדרת המקלאורין ל- e ^x .

שים לב שאם f (x) = e ^x , אז f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x ו- f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, אז סדרת המקלאורין שלה היא:

הפניות

1. פרנק איירס, ג ', ומנדלסון, א' (נ '). חישוב 5. מק גריי היל.
2. לייטולד, ל '(1992). החישוב בעזרת גיאומטריה אנליטית. הרלה, ס.א.
3. פרסל, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). תַחשִׁיב. מקסיקו: פירסון חינוך.
4. Saenz, J. (2005). חשבון דיפרנציאלי. אֲלַכסוֹן.
5. סאנז, ג '(נ'). חשבון אינטגרלי. אֲלַכסוֹן.