נגזרות חלקיות: סימון, דוגמאות ותרגילים שנפתרו - מתמטיקה - 2025

הנגזרות החלקיות של פונקציה של מספר משתנים הן אלה הקובעים את שיעור השינוי של הפונקציה כאשר אחד המשתנה יש וריאציה זעירה, בעוד שאר המשתנים נשארים ללא שינוי.

כדי להפוך את הרעיון למוחשי יותר, נניח שהמקרה של פונקציה של שני משתנים: z = f (x, y). הנגזרת החלקית של הפונקציה f ביחס למשתנה x מחושבת כנגזרת הרגילה ביחס ל- x, אך לוקחים את המשתנה y כאילו הוא קבוע.

איור 1. איור 1. פונקציה f (x, y) ונגזרותיה החלקיות ∂ _x f y ∂ _y f בנקודה P. (פורט על ידי R. Pérez עם גוגברה)

סימון נגזר חלקי

הפעולה הנגזרת החלקית של הפונקציה f (x, y) על המשתנה x מסומנת באחת מהדרכים הבאות:

בנגזרות חלקיות נעשה שימוש בסמל ∂ (סוג של אות מעוגלת הנקראת גם d של יעקובי), בניגוד לנגזרת הרגילה עבור פונקציות חד-משתנות בהן האות d משמשת לנגזרת.

באופן כללי, הנגזרת החלקית של פונקציה מרובת משתנים, ביחס לאחד המשתנים שלה, מביאה לפונקציה חדשה באותו המשתנים של הפונקציה המקורית:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

חישוב הנגזרת החלקית ומשמעותה

לקביעת קצב השינוי או השיפוע של הפונקציה עבור נקודה ספציפית (x = a, y = b) בכיוון המקביל לציר X:

1- מחושב הפונקציה ∂ _x f (x, y) = g (x, y), לוקח את הנגזרת הרגילה במשתנה x ומשאירה את המשתנה y קבוע או קבוע.

2- ואז מוחלף הערך של הנקודה x = a ו- y = b בו אנו רוצים לדעת את קצב השינוי של הפונקציה בכיוון x:

{שיפוע בכיוון x בנקודה (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- כדי לחשב את קצב השינוי בכיוון y בנקודת הקואורדינטה (a, b), תחשב תחילה ∂ _ו- f (x, y) = h (x, y).

4- ואז נקודה (x = a, y = b) מוחלפת בתוצאה הקודמת כדי להשיג:

{שיפוע לכיוון y בנקודה (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

דוגמאות לנגזרות חלקיות

כמה דוגמאות לנגזרות חלקיות הן כדלקמן:

דוגמא 1

בהינתן הפונקציה:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

מצא את הנגזרות החלקיות של הפונקציה f ביחס למשתנה x ולמשתנה y.

פִּתָרוֹן:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

שימו לב שכדי לחשב את הנגזרת החלקית של הפונקציה f ביחס למשתנה x, הנגזרת הרגילה ביחס ל- x בוצעה אך המשתנה y נלקח כאילו הוא קבוע. באופן דומה, בחישוב הנגזרת החלקית של f ביחס ל- y, נלקח המשתנה x כאילו הוא קבוע.

הפונקציה f (x, y) היא משטח הנקרא פרבוליד המוצג באיור 1 בצבע אוקר.

דוגמא 2

מצא את קצב השינוי (או השיפוע) של הפונקציה f (x, y) מדוגמה 1, בכיוון של ציר X וציר Y עבור הנקודה (x = 1, y = 2).

הפיתרון: כדי למצוא את המדרונות בכיווני x ו- y בנקודה הנתונה, פשוט החליפו את ערכי הנקודה לפונקציה ∂ _x f (x, y) ולפונקציה ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _ו- f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

איור 1 מראה את קו המשיק (בצבע אדום) לעיקול שנקבע על ידי צומת הפונקציה f (x, y) עם המישור y = 2, שיפוע קו זה הוא -2. איור 1 מראה גם את קו המשיק (בירוק) לעיקול המגדיר את צומת הפונקציה f עם המישור x = 1; לקו זה יש שיפוע -4.

תרגילים

תרגיל 1

זכוכית חרוטית בזמן נתון מכילה מים כך שעל פני המים יש רדיוס r ועומק h. אך לזכוכית יש חור קטן בתחתית דרכו אבודים מים בקצב של סנטימטרים מעוקבים לשנייה. קבע את קצב הירידה מעל פני המים בסנטימטרים לשנייה.

פִּתָרוֹן:

ראשית, יש לזכור כי נפח המים ברגע הנתון הוא:

עוצמת הקול היא פונקציה של שני משתנים, רדיוס r ועומק h: V (r, h).

כאשר הנפח משתנה בכמות אינפנטיטימאלית dV, הרדיוס r של פני המים ועומק h המים משתנים גם הם לפי הקשר הבא:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

אנו ממשיכים בחישוב הנגזרות החלקיות של V ביחס ל r ו- h בהתאמה:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

יתר על כן, הרדיוס r ועומק h פוגשים את היחסים הבאים:

חלוקת שני החברים לפי הפרש הזמן ב- dt מעניקה:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

אבל dV / dt הוא נפח המים שאבד ליחידת זמן שידוע כ- C סנטימטרים לשנייה, ואילו dh / dt הוא קצב הירידה של פני המים החופשיים, שייקראו v. כלומר, פני המים ברגע הנתון יורדים במהירות v (בס"מ / שניות) הניתנים על ידי:

v = C / (π r ^ 2).

כאפליקציה מספרית, נניח ש- r = 3 ס"מ, h = 4 ס"מ, וקצב הדליפה C הוא 3 ס"מ ^ 3 / s. ואז מהירות ירידת המשטח ברגע זה היא:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0.11 ס"מ / ש = 1.1 מ"מ / שניות.

תרגיל 2

משפט Clairaut-Schwarz קובע כי אם פונקציה היא רציפה במשתנים הבלתי תלויים ונגזרותיה החלקיות ביחס למשתנים הבלתי תלויים הם גם רציפים, אז ניתן להחליף את הנגזרים המעורבים מהסדר השני. בדוק משפט זה לגבי הפונקציה

f (x, y) = x ^ 2 y, כלומר, זה חייב להיות נכון ש f _xy f = ∂ _yx f.

פִּתָרוֹן:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) ואילו ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

הוכח כי משפטו של שוורץ מחזיק, שכן הפונקציה f ונגזרותיו החלקיות רצופות לכל המספרים האמיתיים.

הפניות

1. פרנק איירס, ג'יי, ומנדלסון, א '(2000). חישוב 5. מק גריי היל.
2. לייטולד, ל '(1992). החישוב בעזרת גיאומטריה אנליטית. הרלה, ס.א.
3. פרסל, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). תַחשִׁיב. מקסיקו: פירסון חינוך.
4. Saenz, J. (2005). חשבון דיפרנציאלי. אֲלַכסוֹן.
5. Saenz, J. (2006). חשבון אינטגרלי. אֲלַכסוֹן.
6. ויקיפדיה. נגזרת חלקית. התאושש מ: es.wikipedia.com