נגזרות אלגבריות (עם דוגמאות) - מתמטיקה - 2025

נגזר אלגבריים מורכבים המחקר של הנגזר במקרה של פונקציות אלגבריות. מקור תפיסת הנגזרת מתוארך ליוון העתיקה. התפתחות רעיון זה הונעה על ידי הצורך לפתור שתי בעיות חשובות, האחת בפיזיקה והשנייה במתמטיקה.

בפיזיקה, הנגזרת פותרת את בעיית קביעת המהירות המיידית של אובייקט נע. במתמטיקה זה מאפשר לך למצוא את קו המשיק לעיקול בנקודה נתונה.

למרות שיש באמת הרבה יותר בעיות שנפתרות באמצעות הנגזרת, כמו גם הכללותיו, תוצאות שהגיעו לאחר הצגת המושג שלה.

חלוצי חשבון הדיפרנציאל הם ניוטון ולייבניץ. לפני שנתן את ההגדרה הרשמית, אנו הולכים לפתח את הרעיון שמאחוריו, מבחינה מתמטית ופיזית.

הנגזרת כשיפוע של קו המשיק לעיקול

נניח שהגרף של הפונקציה y = f (x) הוא גרף רציף (ללא פסגות או קודקודים או פערים), ותן ל- A = (a, f (a)) להיות נקודה קבועה עליו. אנו רוצים למצוא את המשוואה של משיק הקו לתרשים של הפונקציה f בנקודה A.

בואו ניקח כל נקודה אחרת P = (x, f (x)) בתרשים, קרוב לנקודה A, ונצייר את הקו הבטוח העובר דרך A ו- P. קו מבודד הוא קו שחותך את הגרף של עקומה בזה אחר זה או יותר נקודות.

כדי להשיג את קו המשיק שאנחנו רוצים, אנו צריכים רק לחשב את המדרון מכיוון שכבר יש לנו נקודה בקו: נקודה A.

אם נעביר את נקודה P לאורך הגרף ונתקרב יותר ויותר לנקודה A, הקו הסמנטי שהוזכר קודם יתקרב לקו המשיק אותו אנו רוצים למצוא. אם לוקחים את המגבלה כאשר "P נוטה ל- A", שני הקווים יחפפו זה בזה, ולכן גם מורדותיהם.

השיפוע של הקו הבטוח ניתן על ידי

האמירה ש- P מתקרב ל- A שווה לאמירה ש- "x" מתקרב ל "a". לפיכך, שיפוע קו המשיק לגרף של f בנקודה A יהיה שווה ל:

הביטוי לעיל מסומן על ידי f '(a), ומוגדר כנגזרת של פונקציה f בנקודה "a". אנו רואים אפוא כי באופן אנליטי, נגזרת הפונקציה בנקודה היא גבול, אך מבחינה גיאומטרית זהו שיפוע קו המשיק לגרף הפונקציה בנקודה.

כעת נסתכל על הרעיון הזה מנקודת המבט של הפיזיקה. נגיע לאותה ביטוי של הגבול הקודם, אם כי בדרך אחרת, וכך נקבל את אחדות ההגדרה.

הנגזרת כמהירות המיידית של אובייקט נע

בואו נסתכל על דוגמא קצרה למשמעות מהירות מיידית. כשאומרים, למשל, שמכונית להגיע ליעד עשתה זאת במהירות של 100 קמ"ש, מה שאומר שתוך שעה נסעה 100 ק"מ.

זה לא אומר בהכרח שבמשך כל השעה שהמכונית הייתה תמיד 100 ק"מ, מד המהירות של המכונית יכול היה לרגע לסמן פחות או יותר. אם היה לך צורך לעצור ברמזור, המהירות שלך באותה תקופה הייתה 0 ק"מ. עם זאת, לאחר שעה המסע היה 100 ק"מ.

זה מה שמכונה מהירות ממוצעת וניתן על ידי כמות המרחק שנמשך והזמן שחלף, כפי שראינו זה עתה. מהירות מיידית, לעומת זאת, היא זו המסמנת את מחט מד המהירות של המכונית ברגע נתון (זמן).

בואו נסתכל על זה עכשיו באופן כללי יותר. נניח שאובייקט נע לאורך קו ושעקירה זו מיוצגת על ידי המשוואה s = f (t), כאשר המשתנה t מודד את הזמן והמשתנה הוא העקירה, תוך התחשבות בתחילתו ב המיידי t = 0, ובאותו זמן הוא גם אפס, כלומר f (0) = 0.

פונקציה זו f (t) ידועה בשם פונקציית המיקום.

ביטוי מבוקש למהירותו המיידית של האובייקט ברגע קבוע "a". במהירות זו נציין אותה על ידי V (א).

בוא לא להיות כל רגע קרוב לאינסטנט "א". במרווח הזמן שבין "a" ל- "t", השינוי במיקום האובייקט ניתן על ידי f (t) -f (a).

המהירות הממוצעת בפרק זמן זה היא:

המהווה קירוב למהירות המיידית V (א). הקירוב הזה יהיה טוב יותר ככל ש- לא יתקרב ל- "a". לכן,

שימו לב שביטוי זה זהה לזה שהתקבל במקרה הקודם, אך מנקודת מבט אחרת. זה מה שמכונה נגזרת של פונקציה f בנקודה "a" ומסומן על ידי f '(a), כאמור לעיל.

שים לב שביצוע השינוי h = xa, יש לנו שכאשר "x" נוטה ל "a", "h" נוטה ל 0, והגבול הקודם הופך (באופן שווה) ל:

שני הביטויים שקולים אך לפעמים עדיף להשתמש באחד במקום באחר, תלוי במקרה.

הנגזרת של פונקציה f בכל נקודה "x" השייכת לתחום שלה מוגדרת אז באופן כללי יותר

הסימון הנפוץ ביותר לייצוג הנגזרת של פונקציה y = f (x) הוא זה שראינו זה עתה (f 'או y'). עם זאת, סימון נוסף הנמצא בשימוש נרחב הוא התיאור של לייבניץ המיוצג כאחד מהביטויים הבאים:

מכיוון שהנגזרת הינה למעשה מגבלה, היא עשויה להתקיים או לא עשויה, מכיוון שלא תמיד קיימות גבולות. אם היא קיימת, נאמר שהפונקציה המדוברת ניתנת להבחנה בנקודה הנתונה.

פונקציה אלגברית

פונקציה אלגברית היא שילוב של פולינומים באמצעות תוספת, חיסור, מוצרים, כמותים, כוחות ורדיקלים.

פולינום הוא ביטוי לצורה

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

כאשר n הוא מספר טבעי וכל _i , עם i = 0,1, …, n, הם מספרים רציונליים ו- _n ≠ 0. במקרה זה אומרים כי מידת הפולינום הזה היא n.

להלן דוגמאות לפונקציות אלגבריות:

פונקציות אקספוננציאליות, לוגריתמיות וטריגונומטריות אינן כלולות כאן. כללי הגזירה שנראה בהמשך תקפים לפונקציות באופן כללי, אך אנו נגביל את עצמנו ונחיל אותם במקרה של פונקציות אלגבריות.

עקוף כללי

נגזרת של קבוע

מציין שהנגזרת של קבוע היא אפס. כלומר, אם f (x) = c, אז f '(x) = 0. לדוגמא, הנגזרת של הפונקציה הקבועה 2 שווה ל 0.

נגזרת של כוח

אם f (x) = x ⁿ , אז f '(x) = nx ^n-1 . לדוגמה, הנגזרת של x ³ היא 3x ² . כתוצאה מכך אנו משיגים כי הנגזרת של פונקציית הזהות f (x) = x היא f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

דוגמה נוספת היא הבאה: תן f (x) = 1 / x ² , ואז f (x) = x ^-2 ו- f '(x) = - 2x ^-2-1 = ^{-2x -3} .

מאפיין זה הוא גם שורשים תקפים, שכן שורשים הם סמכויות רציונליות וניתן ליישם את האמור לעיל גם במקרה זה. לדוגמא, הנגזרת של שורש ריבועי ניתנת על ידי

נגזרת של חיבור וחיסור

אם f ו- g הם פונקציות ניתנות להפרדה ב- x, אז גם הסכום f + g ניתן להבחין וזה נכון ש- (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

באופן דומה, יש לנו את זה (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). במילים אחרות, הנגזרת של סכום (חיסור), היא הסכום (או החיסור) של הנגזרות.

דוגמא

אם h (x) = x ² + x-1, אז

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

נגזר ממוצר

אם f ו- g הם פונקציות ניתנות להבחנה ב- x, אז ה- fg של המוצר נבדל גם ב- x ונכון שכן

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

כתוצאה מכך, יוצא שאם c הוא קבוע ו- f הוא פונקציה ניתנת להבחנה ב- x, אז גם cf ניתן להבחנה ב- x ו- (cf) '(x) = cf' (X).

דוגמא

אם f (x) = 3x (x ² +1), אז

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

נגזרת של המנה

אם f ו- g ניתנים להבחנה ב- x ו- g (x) ≠ 0, אז f / g הוא גם זהה ב- x, ונכון ש

דוגמה: אם h (x) = x ³ / (x ² -5x), אז

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

כלל שרשרת

כלל זה מאפשר לגזור את הרכב הפונקציות. קבע את הדברים הבאים: אם y = f (u) ניתן להבחנה ב- u, Yu = g (x) ניתן להבחנה ב- x, אז הפונקציה המורכבת f (g (x)) ניתנת להבחנה ב- x, ונכון ש- = f '(g (x)) g' (x).

כלומר הנגזרת של פונקציה מורכבת היא תוצר הנגזרת של הפונקציה החיצונית (נגזרת חיצונית) והנגזרת של הפונקציה הפנימית (נגזרת פנימית).

דוגמא

אם f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , אז

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

יש תוצאות גם לחישוב הנגזרת של ההיפוך של פונקציה, כמו גם הכללה לנגזרות בסדר גודל גבוה יותר. היישומים הם רחבים. ביניהם בולטת השימושיות שלה בבעיות אופטימיזציה ופונקציות מקסימליות ומינימום.

הפניות

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). חשבון דיפרנציאלי. ITM.
2. קבררה, VM (1997). חישוב 4000. פרוגרסו עריכה.
3. Castaño, HF (2005). מתמטיקה לפני החישוב. אוניברסיטת מדיין.
4. אדוארדו, נ.א. (2003). מבוא לחשבון. מהדורות סף.
5. Fuentes, A. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחשבון. Lulu.com.
6. פרסל, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). תַחשִׁיב. פירסון חינוך.
7. Saenz, J. (2005). חשבון דיפרנציאלי (מהדורה שנייה). ברקיזימיטו: היפוטנוזה.
8. תומאס, ג'יי.בי.או, וויר, MD (2006) חישוב: מספר משתנים. פירסון חינוך.