נגזרת של הקוטנגנט: חישוב, הוכחה, תרגילים - מתמטיקה - 2025

הנגזרת של cotangent שווה השני של הכיכר של cosecant "-Csc ² ". נוסחה זו מצייתת לחוקי הנגזרת בהגדרה ובבחינה של פונקציות טריגונומטריות. זה מצוין כדלקמן:

d (ctg u) = -csc ² u. דו

שם "דו" מסמל את הביטוי הנגזר מפונקציית הטיעון, ביחס למשתנה הבלתי תלוי.

מקור: Pixabay.com

איך זה מחושב?

הנוהל לפיתוח נגזרות אלה הוא די פשוט. די רק בכדי לזהות נכון את הטיעון ואת סוג הפונקציה שהוא מייצג.

לדוגמה, לביטוי Ctg (f / g) יש חלוקה בטיעון שלה. זה ידרוש הבחנה לגבי U / V, לאחר פיתוח הנגזרת של הקוטנגנט.

הקוטנגנט הוא ההדדי של המשיק. באופן אלגברי פירוש הדבר הוא כי:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

לא נכון לומר כי הפונקציה הקוטנגנטית היא ה"היפוך "של המשיק. הסיבה לכך היא שתפקוד המשיק ההפוך מעצם הגדרתו הוא משיק קשת.

(Tg ^-1 x) = arctg x

על פי הטריגונומטריה הפיתגורית, הקוטנגנט מעורב בסעיפים הבאים:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

על פי הטריגונומטריה האנליטית, היא מגיבה לזהויות הבאות:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

מאפייני הפונקציה הקוטנגנטית

יש צורך לנתח מאפיינים שונים של הפונקציה f (x) = ctg x על מנת להגדיר את ההיבטים הנחוצים בכדי ללמוד את שונותו ויישומו.

אסימפטוטות אנכיות

הפונקציה הקוטנגנטית אינה מוגדרת בערכים ההופכים את הביטוי "Senx" לאפס. בשל ה- Ctg x = (cos x) / (sin x) המקביל לו, תהיה לו קביעה בלתי מוגדרת בכל "nπ" כאשר n שייך למספרים השלמים.

כלומר, בכל אחד מערכים אלה של x = nπ יהיה אסימפטוט אנכי. כשאתה ניגש משמאל, הערך של הקוטנג'נט יקטן במהירות, וכשאתה ניגש מימין, הפונקציה תעלה ללא הגבלת זמן.

תְחוּם

התחום של הפונקציה הקוטנגנטית בא לידי ביטוי בערכה {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. זה נקרא "x השייך לקבוצת המספרים האמיתיים כך ש- x שונה מ- nπ, כאשר n שייך לקבוצת המספרים השלמים".

דַרגָה

טווח הפונקציה הקוטנגנטית הוא מינוס לאינסוף פלוס. לכן ניתן להסיק כי דרגתו היא קבוצת המספרים האמיתיים R.

תדירות

הפונקציה הקוטנגנטית היא תקופתית והתקופה שלה שווה ל- π. באופן זה, השוויון Ctg x = Ctg (x + nπ) מתקיים, כאשר n שייך ל Z.

התנהגות

זוהי פונקציה משונה, שכן Ctg (-x) = - Ctg x. בדרך זו ידוע כי הפונקציה מציגה סימטריה ביחס למוצא הקואורדינטות. זה גם מציג ירידה בכל מרווח שנמצא בין 2 אסימפטוטים אנכיים רצופים.

אין לו ערכי מקסימום או מינימום, מכיוון שקירובו לאסימפטוטים האנכיים מציגים התנהגויות בהן הפונקציה עולה או פוחתת ללא הגבלת זמן.

האפסים או השורשים של הפונקציה הקוטנגנטית נמצאים בכפולות אישיות של π / 2. משמעות הדבר היא ש- Ctg x = 0 מחזיק בערכים בצורה x = nπ / 2 עם מספר שלם לא זוגי.

הפגנה

ישנן שתי דרכים להוכיח את הנגזרת של הפונקציה הקוטנגנטית.

הוכחת דיפרנציאלי טריגונומטרי

מוכחת הנגזרת של הפונקציה הקוטנגנטית מהשווה שלה בסינוסים וקוסינוסים.

מתייחסים אליו כאל נגזרת של חלוקת פונקציות

לאחר נגזר הגורמים מקובצים והמטרה היא לחקות את הזהויות הפיתגוריות

החלפת זהויות ויישום הדדיות, הביטוי

הוכחה בהגדרת נגזרת

הביטוי הבא תואם את הנגזרת בהגדרה. כאשר המרחק בין 2 נקודות הפונקציה מתקרב לאפס.

החלפת הקוטנגנט שיש לנו:

זהויות מוחלות עבור סכום של ויכוחים והדדיות

השבר של המונה מופעל באופן מסורתי

ביטול האלמנטים ההפוכים ולקיחת גורם משותף, אנו משיגים

החלת זהויות פיתגוריות והדדיות עלינו

האלמנטים המוערכים ב- x הם קבועים ביחס למגבלה, ולכן הם יכולים להשאיר את הטיעון של זה. ואז מוחלים תכונות של גבולות טריגונומטריים.

הערכת המגבלה

ואז זה נבדק עד להגיע לערך הרצוי

נגזרת הקוטנגנט מודגם אפוא כהיפך מכיכר הקוסקנט.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

בהתבסס על הפונקציה f (x), הגדר את הביטוי f '(x)

הנגזרת המתאימה מיושמת בכבוד לכלל השרשרת

נגזרת מהוויכוח

לעיתים יש צורך ליישם זהויות הדדיות או טריגונומטריות כדי להתאים את הפתרונות.

תרגיל 2

הגדר את הביטוי ההפרש התואם ל- F (x)

על פי נוסחת הנגזרת וכיבוד כלל השרשרת

הוויכוח נגזר, בעוד שהשאר נותר כשהיה

נגזרת של כל האלמנטים

הפעלה באופן מסורתי מוצרים מאותו בסיס

אלמנטים שווים מתווספים ומוצא את הגורם המשותף

הפשטים מופעלים ומופעלים. מתן דרך לביטוי הנגזר במלואו

הפניות

1. סדרה טריגונומטרית, כרך 1. א. זיגמונד. הוצאת אוניברסיטת קיימברידג ', 2002
2. חישוב של משתנה יחיד. רון לארסון, ברוס ה. אדוארדס. לימוד Cengage, 10 בנובמבר 2008
3. חשבון עם טריגונומטריה וגיאומטריה אנליטית. ג'ון ה. סקסון, ג'ון סקסון, פרנק וואנג, דיאנה הרווי. הוצאת סקסון, 1988
4. ניתוח רב משתנים. סאטיק שיראלי, הרקרישאן לאל וסודבה. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 13 בדצמבר. 2010
5. דינמיקת מערכת: דוגמנות, הדמיה ובקרה של מערכות מכטרוניות. דין סי קרנופ, דונלד ל. מרגוליס, רונלד סי רוזנברג. ג'ון וויילי ובניו, 7 במרץ 2012
6. חשבון: מתמטיקה ודוגמנות. ויליאם בולדרי, ג'וזף ר. פדלר, פרנק ר. ג'ורדנו, אד לודי, ריק ויטריי. אדיסון ווסלי לונגמן, 1 בינואר 1999