ריבועי: אלמנטים, תכונות, סיווג, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

מרובע הוא מצולע עם ארבע צלעות וארבעה קודקודים. הצדדים הנגדים שלו הם אלה שאין להם קודקודים משותפים, ואילו הצדדים ברציפות הם אלה שיש להם קודקוד משותף.

בזווית משולבת, זוויות סמוכות חולקות צד אחד, ואילו לזוויות הפוכות אין צדדים משותפים. מאפיין חשוב נוסף של ריבוע הוא שסכום ארבע הזוויות הפנימיות שלו הוא כפול מזווית המטוס, כלומר רדיאנים של 360 מעלות או 2π.

איור 1. תרשים מרובע שונים. מקור: פ. זפטה.

אלכסונים הם הקטעים המצטרפים לקודקוד עם היפוכו ובמרובע נתון ניתן למשוך אלכסון יחיד מכל קודקוד. המספר הכולל של האלכסונים במרובע הוא שני.

ריבועים הם דמויות המוכרות לאנושות מאז ימי קדם. רישומים ארכיאולוגיים, כמו גם המבנים ששרדו בימינו, מעידים על כך.

באופן דומה, כיום המארבעים ממשיכים להיות בעלי נוכחות חשובה בחיי היומיום של כולם. הקורא יכול למצוא טופס זה על המסך עליו הוא קורא את הטקסט ברגע זה ממש, על חלונות, דלתות, חלקי רכב, ועוד אינספור מקומות.

סיווג מרובע

על פי ההקבלה של הצדדים ההפוכים, הריבועים המדורגים מסווגים כדלקמן:

1. טרפז, כשאין הקבלה והריבוע הוא קמור.
2. טרפז, כאשר קיימת הקבלה בין זוג בודד של צדדים מנוגדים.
3. מקבילית, כאשר הצדדים הנגדים מקבילים שניים על שניים.

תרשים 2. סיווג וסיווג משנה של ארבעה ריבועים. מקור: Wikimedia Commons.

סוגי מקבילים

בתורו, ניתן לסווג את המקבילים לפי זוויותיהם וצדיהם באופן הבא:

1. מלבן הוא המקביל שיש לו ארבע זוויות פנימיות במידה שווה. הזוויות הפנימיות של המלבן יוצרות זווית ישרה (90 מעלות).
2. ריבוע, זהו מלבן עם ארבעת הצדדים שלו במידה שווה.
3. מעוין הוא המקביל עם ארבעת הצדדים השווים שלו, אך זוויות סמוכות שונות.
4. רומבוייד, מקבילי עם זוויות צמודות שונות.

טרַפֵּז

הטרפז הוא מרובע קמור עם שני צדדים מקבילים.

איור 3. בסיסים, צדדים, גובה וחציון של טרפז. מקור: Wikimedia Commons.

- בטרפז, הצדדים המקבילים נקראים בסיסים והצדדים הלא מקבילים נקראים לרוחבים.

- גובה הטרפז הוא המרחק בין שני הבסיסים, כלומר אורך קטע עם קצותיו בבסיסים ובניצבם. קטע זה נקרא גם גובה הטרפז.

- החציון הוא הקטע שמצטרף לנקודות האמצע של הרוחב. ניתן להראות כי החציון מקביל לבסיסי הטרפז ואורכו שווה לחצי הגמר של הבסיסים.

- שטח הטרפז הוא גובהו כפול הסכום החצי של הבסיסים:

סוגי הטרפזידים

-טרפז מלבני : זה זה עם הצד הניצב לבסיסים. הצד הזה הוא גם גובה הטרפז.

טרפז איזוזאלי : זה עם צלעות באורך שווה. בטרפז עם שדיים הזוויות הסמוכות לבסיסים שוות.

-סלפין סלרין : זה עם צלעותיו באורכים שונים. הזוויות הנגדיות שלו יכולות להיות חריפות אחת והשנייה סתומה, אך זה יכול לקרות גם ששניהם סתומים או שניהם חדים.

איור 4. סוגים של טרפז. מקור: פ. זפטה.

מַקבִּילִית

ההקבלה מקבילה היא ריבועית שדפנותיה הנגדיות מקבילות שתיים לשתיים. במקביל, הזוויות הנגדיות שוות והזוויות הסמוכות משלימות, או במילים אחרות, הזוויות הסמוכות מסתכמות ב -180 מעלות.

אם מקבילית יש זווית ישרה, אז כל הזוויות האחרות יהיו מדי, והדמות המתקבלת נקראת מלבן. אבל אם למלבן יש גם דפנותיו הסמוכות באותו אורך, אז כל הצדדים שלו שווים והדמות המתקבלת היא ריבוע.

תרשים 5. מקבילים. המלבן, הריבוע והעיבוי הם מקבילים. מקור: פ. זפטה.

כאשר במקבילית יש שני צדדים סמוכים באותו אורך, כל צלעותיו יהיו באותו אורך, והדמות המתקבלת היא מעוין.

גובהו של מקבילית הוא קטע עם קצותיו בצדדיו הנגדיים ובניצב אליהם.

שטח מקבילי

שטח המקביל הוא תוצר הבסיס כפול גובהו, כאשר הבסיס הוא צד הניצב לגובה (איור 6).

אלכסונים של מקבילית

ריבוע האלכסון המתחיל קודקוד שווה לסכום הריבועים של שני הצדדים הסמוכים לקודקוד האמור בתוספת התוצר הכפול של אותם צדדים על ידי הקוסינוס של הזווית של אותו קודקוד:

f ² = a ² + d ² + 2 מודעה Cos (α)

איור 6. מקביל. זוויות מנוגדות, גובה, אלכסונים. מקור: פ. זפטה.

ריבוע האלכסון מול קודקוד מקבילית שווה לסכום הריבועים של שני הצדדים הסמוכים לקודקוד האמור וחיסור התוצר הכפול של אותם צדדים בקוסינוס של הזווית של אותו קודקוד:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

חוק המקבילים

בכל מקביל, כל סכום הריבועים של דפנותיו שווה לסכום המשבצות באלכסונים:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

המלבן הוא ריבועי שדפנותיו הנגדיות מקבילות שניים ושניים ובנוסף יש זווית ישרה. במילים אחרות, המלבן הוא סוג של מקבילית עם זווית ישרה. מכיוון שמדובר במקביל, למלבן יש צדדים מנוגדים באורך שווה a = c ו- b = d.

אך כמו בכל מקביל, הזוויות הסמוכות משלימות והזוויות הנגדיות שוות, במלבן מכיוון שיש לו זווית ישרה, הוא בהכרח יהווה זוויות ישרות בשלושת הזוויות האחרות. במילים אחרות, במלבן כל הזוויות הפנימיות מודדות 90 רדיאנים או π / 2.

אלכסונים של מלבן

במלבן האלכסונים באורך שווה, כפי שיודגם להלן. ההנמקה היא כדלקמן; מלבן הוא מקבילית על כל זוויות ימין ולכן יורש את כל תכונות ההקבלה, כולל הנוסחה המעניקה את אורך האלכסונים:

f ² = a ² + d ² + 2 מודעה Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

עם α = 90º

מכיוון שקוס (90 מעלות) = 0, אז קורה ש:

f ² = g ² = a ² + d ²

כלומר, f = g, ולכן האורך f ו- g של שני האלכסונים של המלבן שווים ואורכם ניתן על ידי:

יתר על כן, אם במלבן עם הצדדים הסמוכים a ו- b נלקח צד אחד כבסיס, הצד השני יהיה בגובה וכתוצאה מכך שטח המלבן יהיה:

שטח המלבן = גרזן b.

ההיקף הוא הסכום של כל צידי המלבן, אך מכיוון שהניגודים שווים, יוצא כי עבור מלבן עם צלעות a ו- b ההיקף ניתן על ידי הנוסחה הבאה:

היקף המלבן = 2 (a + b)

איור 7. מלבן עם הצדדים a ו- b. האלכסונים f ו- g הם באורך שווה. מקור: פ. זפטה.

כיכר

הריבוע הוא מלבן שצדידיו הסמוכים הם באותו אורך. אם לרבוע יש צד a, אזי האלכסונים שלה f ו- g הם באותו אורך, שהוא f = g = (√2) a.

שטח הריבוע הוא הצד המשובץ שלו:

שטח ריבוע = ²

היקף הריבוע הוא כפול מהצד:

היקף ריבוע = 4 א

איור 8. ריבוע עם צדי א ', המציין את שטחו, את היקפו ואת אורך האלכסונים. מקור: פ. זפטה ..

יהלום

מעוין הוא מקבילית שדפנותיו הסמוכות זהות באותו אורך, אך מכיוון שבקבלה מקבילה הצדדים הנגדים שווים אז כל צידי מעוין שווים באורך.

האלכסונים של מעוין הם בעלי אורך שונה, אך הם מצטלבים בזוויות ישרות.

איור 9. מעוין של צד א ', המציין את שטחו, את היקפו ואת אורך האלכסונים שלו. מקור: פ. זפטה.

דוגמאות

דוגמא 1

הראו שבמרובע (לא חוצים) הזוויות הפנימיות מסתכמות ב -360 מעלות.

איור 10: מוצג כיצד סכום הזוויות של ריבועיות מסתכם עד 360 מעלות. מקור: פ. זפטה.

נחשב ABCD מרובע (ראה איור 10) וה- BD האלכסוני נמשך. נוצרים שני משולשים ABD ו- BCD. סכום הזוויות הפנימיות של המשולש ABD הוא:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

וסכום הזוויות הפנימיות של המשולש BCD הוא:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

הוספת שתי המשוואות שאנו משיגים:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

הַקבָּצָה:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

על ידי קיבוץ ושינוי שם, סוף סוף מוצג כי:

α + β + δ + γ = 360º

דוגמא 2

הראו שהחציון של טרפז מקביל לבסיסיו ואורכו חצי הגודל של הבסיסים.

איור 11. איור 11. חציון MN של הטרפז ABCD. מקור: פ. זפטה.

החציון של טרפז הוא הקטע שמצטרף לנקודות האמצע של הצדדים שלו, כלומר הצדדים הלא מקבילים. בטרפז ABCD המוצג באיור 11 החציון הוא MN.

מכיוון ש- M הוא נקודת האמצע של הספירה ו- N הוא נקודת האמצע של לפני הספירה, יחס ה- AM / AD ו- BN / BC שווה.

כלומר, AM הוא פרופורציונלי ל- BN באותה פרופורציה כמו לספירה היא לפני הספירה, ולכן ניתנים התנאים ליישום משפט Thales (הדדי), הקובע את הדברים הבאים:

"אם נקבעים מגזרים פרופורציונליים בשלושה קווים או יותר שנחתכים על ידי שני פרקים, הקווים האלה כולם מקבילים."

במקרה שלנו ניתן להסיק כי הקווים MN, AB ו- DC מקבילים זה לזה, לפיכך:

"החציון של טרפז מקביל לבסיסיו."

כעת יושם משפט Thales:

"קבוצה של מקבילות שנחתכו על ידי שני סקטורים או יותר קובעות קטעים פרופורציונליים."

במקרה שלנו AD = 2 AM, AC = 2 AO, כך שהמשולש DAC דומה למשולש MAO, וכתוצאה מכך DC = 2 MO.

טיעון דומה מאפשר לנו לאשר ש- CAB דומה ל- CON, כאשר CA = 2 CO ו- CB = 2 CN. יוצא מיד ש- AB = 2 ON.

בקיצור, AB = 2 ON ו- DC = 2 MO. אז כשמוסיפים יש לנו:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

לבסוף מנקה MN:

MN = (AB + DC) / 2

והגיע למסקנה כי החציון של טרפז מודד את סכום המחצית של הבסיסים, או לנסח דרך אחרת: החציון מודד את סכום הבסיסים, מחולק לשניים.

דוגמא 3

הראו שברומבוס האלכסונים מצטלבים בזוויות ישרות.

איור 12. מעוין והדגמה כי האלכסונים שלה מצטלבים בזוויות ישרות. מקור: פ. זפטה.

הלוח באיור 12 מראה את הבנייה הדרושה. ראשית המקביל ABCD מצויר עם AB = BC, כלומר מעוין. האלכסונים AC ו- DB קובעים שמונה זוויות המוצגות באיור.

בעזרת משפט (aip) הקובע כי זוויות פנים חלופיות בין מקבילות שנחתכות על ידי קשת קובעות זוויות שוות, אנו יכולים לקבוע את הדברים הבאים:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ ו- δ2 = β2. (*)

לעומת זאת, מכיוון שהצדדים הסמוכים של מעוין הם בעלי אורך שווה, נקבעים ארבעה משולשים עם שדיים:

DAB, BCD, CDA ו- ABC

כעת מופעלת משפט המשולש (השבילי איזוסלי), הקובע כי הזוויות הסמוכות לבסיס הן במידה שווה, וממנה ניתן להסיק כי:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ ו- α ₁ = γ2 (**)

אם היחסים (*) ו- (**) משולבים, מושג שוויון הזוויות הבא:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ מצד אחד ו- β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 מצד שני.

כזכור את משפט המשולשים השווים שקובע כי שני משולשים עם צד שווה בין שתי זוויות שוות שווים, יש לנו:

AOD = AOB וכתוצאה מכך גם הזוויות ∡AOD = ∡AOB.

ואז ∡AOD + ∡AOB = 180º, אך מכיוון ששתי הזוויות הן במידה שווה, יש לנו 2 ∡AOD = 180º שמשמעותו ש- ODAOD = 90º.

כלומר, מוצג באופן גיאומטרי כי האלכסונים של מעוין מצטלבים בזוויות ישרות.

תרגילים נפתרו

- תרגיל 1

הראו שבטרפז ימני, הזוויות הלא ימניות הן משלימות.

פִּתָרוֹן

איור 13. טרפז ימני. מקור: פ. זפטה.

הטרפז ABCD בנוי עם בסיסים AB ו- DC במקביל. הזווית הפנימית של קודקוד A היא נכונה (היא מודדת 90 מעלות), כך שיש לנו טרפז ימני.

הזוויות α ו- δ הן זוויות פנימיות בין שתי מקבילות AB ו- DC, ולכן הן שוות, כלומר δ = α = 90º.

מצד שני, הוכח כי סכום הזוויות הפנימיות של ריבוע מסתכם ב 360 מעלות, כלומר:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

האמור לעיל מוביל ל:

β + δ = 180º

אישור מה שרצה להראות, שהזוויות β ו- δ משלימות.

- תרגיל 2

מקבילית ABCD כוללת AB = 2 ס"מ ו- AD = 1 ס"מ, בנוסף הזווית BAD היא 30 מעלות. קבע את שטח מקבילית זו ואת אורך שני האלכסונים שלה.

פִּתָרוֹן

שטח המקביל הוא תוצר של אורך בסיסו וגובהו. במקרה זה, אורך הקטע b = AB = 2 ס"מ ייקח כבסיס, לצד השני אורך a = AD = 1 ס"מ והגובה h יחושב כך:

h = AD * סן (30 º) = 1 ס"מ * (1/2) = ½ ס"מ.

אז: שטח = b * h = 2 ס"מ * ½ ס"מ = 1 ס"מ ² .

הפניות

1. CEA (2003). אלמנטים בגיאומטריה: עם תרגילים וגיאומטריה של מצפן. אוניברסיטת מדיין.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). מתמטיקה 2. גרפו עורך פטריה.
3. Freed, K. (2007). גלה מצולעים. חברת חינוך בנצ'מרק.
4. Hendrik, V. (2013). מצולעים כללית. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Tacaná סמסטר א 'במתמטיקה. IGER.
6. גיאומטריה ג'וניור. (2014). מצולעים. Lulu Press, Inc.
7. מילר, האדרמס והורנסבי. (2006). מתמטיקה: נימוקים ויישומים (המהדורה העשירית). פירסון חינוך.
8. Patiño, M. (2006). מתמטיקה 5. פרוגרסו עריכה.
9. ויקיפדיה. ריבועים. התאושש מ: es.wikipedia.com