סט אינסופי: מאפיינים, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

קבוצה אינסופית מובן שהיא אותה קבוצה שבה מספר האלמנטים שלה אינו ניתן לספור. כלומר, לא משנה כמה גדול יהיה מספר האלמנטים שלה, תמיד ניתן למצוא יותר.

הדוגמה הנפוצה ביותר היא קבוצה אינסופית של מספרים טבעיים N . לא משנה כמה גדול המספר, מכיוון שתמיד אפשר להשיג גדול יותר בתהליך שאין לו סוף:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

איור 1. סמל אינסוף. (pixabay)

קבוצת הכוכבים ביקום היא בהחלט עצומה, אך לא ידוע בוודאות אם היא סופית או אינסופית. בניגוד למספר כוכבי הלכת במערכת השמש הידועה כמערכת סופית.

מאפייני הסט האינסופי

בין המאפיינים של קבוצות אינסופיות אנו יכולים להצביע על הדברים הבאים:

1 - איחוד של שני מערכות אינסופיות מוליד מערך אינסופי חדש.

2- האיחוד של מערכת סופית עם מערכת אינסופית מוליד מערכת אינסופית חדשה.

3- אם קבוצת המשנה של קבוצה נתונה היא אינסופית, הסט המקורי הוא גם אינסופי. ההצהרה ההדדית אינה נכונה.

לא תוכלו למצוא מספר טבעי המסוגל לבטא את הקרדינליות או את מספר האלמנטים של קבוצה אינסופית. עם זאת, המתמטיקאי הגרמני גאורג קנטור הציג את הרעיון של מספר טרנספיני כדי להתייחס למסדר אינסופי הגדול מכל מספר טבעי.

דוגמאות

ה- N הטבעי

הדוגמה השכיחה ביותר לסט אינסופי היא זו של מספרים טבעיים. המספרים הטבעיים הם אלה המשמשים לספירה, אולם המספרים השלמים שעשויים להתקיים אינם ניתנים לספור.

קבוצת המספרים הטבעיים אינה כוללת אפס ומצוינת בדרך כלל כסט N , שבצורה נרחבת באה לידי ביטוי באופן הבא:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ….} וברור שהיא קבוצה אינסופית.

אליפסה משמשת כדי להצביע על כך שאחרי מספר אחד, אחר עוקב אחר כך אחר בתהליך אינסופי או אינסופי.

מערך המספרים הטבעיים שחובר לסט המכיל את המספר אפס (0) מכונה הסט N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} שהיא תוצאה של איחוד האינסופי של הסט N עם הסט הסופי O = {0}, וכתוצאה מכך הסט האינסופי N + .

המספרים השלמים ז

מערכת המספרים השלמים Z מורכבת ממספרים טבעיים, מספרים טבעיים עם סימן שלילי ואפס.

המספרים השלמים Z נחשבים לאבולוציה ביחס למספרים הטבעיים N המשמשים במקור ובראשיתית בתהליך הספירה.

בערכה המספרית Z של מספרים שלמים, אפס משולב כדי לספור או לספור כלום ומספרים שליליים כדי לספור מיצוי, אובדן או חוסר משהו.

כדי להמחיש את הרעיון, נניח שמאזן שלילי מופיע בחשבון הבנק. המשמעות היא שהחשבון נמצא מתחת לאפס וזה לא רק שהחשבון ריק אלא שיש לו הבדל חסר או שלילי, שאיכשהו צריך להחליף אותו לבנק.

בצורה נרחבת הערכה האינסופית Z של מספרים שלמים נכתבת כך:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

המניעים ש

באבולוציה של תהליך הספירה והחלפת דברים, סחורות או שירותים, מופיעים מספרים שברים או רציונליים.

לדוגמה, בחילופי חצי כיכר עם שני תפוחים, בזמן רישום העסקה, עלה בדעתו של מישהו שיש לכתוב את המחצית כחלק או לחלק לשני חלקים: ½. אבל מחצית ממחצית הלחם תירשם בסדירות כדלקמן: ½ / ½ = ¼.

ברור שתהליך החלוקה הזה יכול להיות אינסופי בתיאוריה, אם כי בפועל זה עד שהגיע החלקיק האחרון של הלחם.

קבוצת המספרים הרציונליים (או החלקיים) מסומנת כך:

ש = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

האליפסיס בין שני המספרים השלמים פירושו שבין שני המספרים או הערכים האלה יש אינסוף מחיצות או חלוקות. זו הסיבה שמערכת המספרים הרציונליים אומרים שהיא צפופה עד אינסוף. הסיבה לכך היא שלא משנה כמה קרובים שני מספרים רציונליים זה לזה, ניתן למצוא אינסוף ערכים.

כדי להמחיש את האמור לעיל, נניח כי אנו מתבקשים למצוא מספר רציונאלי בין 2 ל 3. המספר הזה יכול להיות 2⅓, וזה מה שמכונה מספר מעורב המורכב משני חלקים שלמים פלוס שליש מהיחידה, שהיא שווה ערך לכתיבה 4/3.

בין 2 ל- 2⅓ ניתן למצוא ערך אחר, למשל 2⅙. ובין 2 ל -2⅙ ניתן למצוא ערך אחר, למשל 2⅛. בין שני אלה זה לזה, וביניהם עוד אחד, אחד ועוד אחד.

איור 2. חלוקות אינסופיות במספרים רציונליים. (פיקוד וויקימדיה)

מספרים לא הגיוניים

ישנם מספרים שלא ניתן לכתוב כחלוקה או שבר של שני מספרים שלמים. זה מערך מספרי זה שנקרא הסט I של מספרים לא הגיוניים וזה גם סט אינסופי.

כמה אלמנטים בולטים או נציגים של קבוצה מספרית זו הם המספר pi (π), מספר אוילר (e), יחס הזהב או מספר זהוב (φ). ניתן לכתוב מספרים אלה בערך על ידי מספר רציונלי:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (וממשיך לאינסוף ומעבר …)

e = 2.7182818284590452353602874713527 …… (ונמשך מעבר אינסוף…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (עד אינסוף… .. ומעבר… ..)

מספרים לא הגיוניים אחרים מופיעים כשמנסים למצוא פתרונות למשוואות פשוטות מאוד, למשל למשוואה X ^ 2 = 2 אין פיתרון רציונאלי מדויק. הפיתרון המדויק בא לידי ביטוי בסימבולוגיה הבאה: X = √2 הנקרא x שווה לשורש של שניים. ביטוי רציונאלי (או עשרוני) משוער עבור √2 הוא:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

ישנם אינספור מספרים לא הגיוניים, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) כדי להזכיר כמה.

קבוצת הריאלים R

מספרים אמיתיים הם המספר שנקבע לרוב בשימוש בחישובים מתמטיים, פיזיקה והנדסה. קבוצת המספרים הזו היא איחוד המספרים הרציונליים Q והמספרים הלא הגיוניים I :

R = Q U I

אינסוף גדול מאינסוף

מבין התפאורות האינסופיות חלקן גדולות יותר מאחרות. לדוגמה, קבוצת המספרים הטבעיים N הוא אינסופי אבל היא קבוצת משנה של מספרים שלמים Z שהוא אינסופי, כך סט אינסופי Z גדול סט אינסופי N .

באופן דומה, הקבוצה של מספרי השלמים Z היא קבוצת משנה של המספרים האמיתי R , ולכן סט R הוא "אינסוף" הסט האינסופי Z .

הפניות

1. סלבריימה. דוגמאות לסטים אינסופיים. התאושש מ: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחשבון. Lulu.com.
3. גארו, מ '(2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד פותרים משוואה ריבועית. מארילו גרו.
4. הייסלר, אי.פי, ופול, רס (2003). מתמטיקה לניהול וכלכלה. פירסון חינוך.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). מתמטיקה 1 SEP. מפתן.
6. Preciado, CT (2005). קורס מתמטיקה שלישי. פרוגרסו עריכה.
7. רוק, נ.מ. (2006). אלגברה אני קלה! כל כך קל. צוות רוק עיתונות.
8. Sullivan, J. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. פירסון חינוך.
9. ויקיפדיה. סט אינסופי. התאושש מ: es.wikipedia.com