צפיפות: דמויות חופפות, קריטריונים, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

ההלימה בגיאומטריה אומרת שאם שתי דמויות מטוס יש באותה צורה וממדים, אלה הם חופפים. לדוגמה, שני מקטעים חופפים כאשר אורכם שווה. גם לזוויות הלימה יש מידה זהה, למרות שאינן מכוונות באותו אופן במישור.

המונח "הלימה" מקורו בקונגגנטיה הלטינית, שמשמעותה התכתבות. כך, שתי דמויות חופפות מתאימות זו לזו בדיוק.

איור 1. ריבועים ABCD ו- A'B'C'D באיור הם חופפים: לצדדים שלהם יש מידה זהה, כמו גם הזוויות הפנימיות שלהם. מקור: פ. זפטה.

לדוגמא, אם אנו מעלים את ההרכב על שני ריבועי התמונה בתמונה, נגלה שהם חופפים, מכיוון שהסידור של הצדדים שלהם זהה והם מודדים זהה.

על ידי הנחת ריבועיות ABCD ו- A'B'C'D 'זו על גבי זו, הדמויות יתאימו בדיוק. הצדדים המקריים נקראים צדדים הומולוגיים או תואמים והסמל ≡ משמש לביטוי הלימה. כך שאנו יכולים לומר ש- ABCD ≡ A'B'C'D '.

קריטריוני כניסה

המאפיינים הבאים שכיחים למצולעים הלימים:

-צורה וגודל זהים.

-מדידות אידאיות לזוויות שלהם.

-מדד זהה מכל צדדיו.

במקרה ששני מצולעים המדוברים הם קבועים, כלומר שכל הצדדים והזוויות הפנימיות מודדים זהים, מובטחת הלימה כאשר מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

הצדדים חופפים

-לאות'ים יש מידה זהה

-הרדיוס של כל מצולע מודד זהה

הכינוי של מצולע רגיל הוא המרחק בין המרכז לאחד הצדדים, ואילו הרדיוס מתאים למרחק שבין המרכז לקודקוד או לפינה של הדמות.

קריטריוני כניסה משמשים לעיתים קרובות מכיוון שכל כך הרבה חלקים ופיסות מכל הסוגים מייצרים המוניים ועליהם להיות באותה צורה ומידות. בדרך זו ניתן להחליף בקלות במידת הצורך, למשל אגוזים, ברגים, סדינים או אבני הריצוף בקרקע ברחוב.

איור 2. אבני הריצוף של הרחוב הן דמויות חופפות, שכן צורתן ומידותיהם זהות לחלוטין, אם כי כיוון האוריינה שלהן על הרצפה עשוי להשתנות. מקור: Pixabay.

התכנסות, זהות ודמיון

ישנם מושגים גיאומטריים הקשורים לחלל, למשל דמויות זהות ודמויות דומות, שלא בהכרח מרמזות על כך שהדמויות מתאימות.

שימו לב כי הדמויות הלימה זהות, אולם עם זאת ניתן היה לכוון את ריבועי הריבועיים באיור 1 בדרכים שונות על המטוס ועדיין להישאר חופפים, מכיוון שהכיוון השונה אינו משנה את גודל הצדדים שלהם או את הזוויות שלהם. במקרה זה הם כבר לא יהיו זהים.

התפיסה האחרת היא זו של הדמיון של דמויות: שתי דמויות מישוריות דומות אם יש להן אותה צורה והזוויות הפנימיות שלהן מודדות זהה, אם כי גודל הדמויות עשוי להיות שונה. אם זה המקרה, הנתונים אינם חופפים.

דוגמאות ללימה

- התכנסות של זוויות

כפי שציינו בהתחלה, לזוויות הלימה יש מידה זהה. ישנן מספר דרכים להשיג זוויות הלימה:

דוגמא 1

שתי קווים עם נקודה משותפת מגדירים שתי זוויות, הנקראות זוויות הפוכות בגלל קודקוד. לזוויות אלה יש מידה זהה, ולכן הן חופפות.

איור 3. זוויות מנוגדות על ידי הקודקוד. מקור: Wikimedia Commons.

דוגמא 2

ישנם שני קווים מקבילים פלוס קו t המצטלב בין שניהם. כמו בדוגמה הקודמת, כאשר קו זה מצטלב את ההקבלות, הוא מייצר זוויות חופפות, אחת בכל שורה בצד ימין ושנייה בצד שמאל. האיור מראה α ו- α ₁ , מימין לשורה t, שהם חופפים.

איור 4. הזוויות המוצגות באיור הן חופפות. מקור: Wikimedia Commons. לפלברג / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

דוגמא 3

במקביל, ישנן ארבע זוויות פנים, שתואמות שתיים עד שתיים. הם אלה שבין הקודקודים ההפוכים, כפי שמוצג באיור הבא, בו שתי הזוויות בירוק הן הלימה, כמו גם שתי הזוויות באדום.

איור 5. הזוויות הפנימיות של ההקבלה מקבילות זו לזו. מקור: Wikimedia Commons.

- התכנסות משולשים

שני משולשים בעלי אותה צורה וגודל זהים זה לזה. כדי לאמת זאת ישנם שלושה קריטריונים שניתן לבחון בחיפוש אחר הלימה:

- קריטריון LLL : לשלושת הצדדים של המשולשים יש את אותם המידות, לכן L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ ו- L ₃ = L' _3.

איור 6. דוגמא למשולשים חופפים, שצידיהם מודדים זהה. מקור: פ. זפטה.

- קריטריונים של ALA ו- AAL : למשולשים יש שתי זוויות פנימיות שוות ולצד בין זוויות אלה יש מידה זהה.

איור 7. איור 7. קריטריוני ALA ו- AAL עבור הלימה במשולש. מקור: Wikimedia Commons.

- קריטריון LAL : שניים מהצדדים זהים (מקבילים) ויש אותה זווית ביניהם.

איור 8. קריטריון LAL להתאמה בין משולשים. מקור: Wikimedia Commons.

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

שני משולשים מוצגים באיור הבא: ΔABC ו- ΔECF. ידוע ש- AC = EF, ש- AB = 6 וכי CF = 10. יתרה מזאת, הזוויות ∡BAC ו- ECFEC הם חופפים והזוויות ∡ACB ו- ∡FCB גם הם חופפים.

איור 9. משולשים לדוגמא שעבדו. מקור: F. Zapata.

ואז אורך הקטע BE שווה ל:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

פִּתָרוֹן

מכיוון שלשני המשולשים יש צד באורך שווה AC = EF בין הזוויות השוות ∡BAC = ∡CEF ו- ∡BCA = ∡CFE, ניתן לומר ששני המשולשים חופפים בקריטריון ALA.

כלומר, ΔBAC ≡ ΔCEF, ולכן עלינו:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

אבל הקטע שיש לחשב הוא BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

אז התשובה הנכונה היא (iii).

- תרגיל 2

שלושה משולשים מוצגים באיור למטה. ידוע גם כי שתי הזוויות המצוינות נמדדות 80 מעלות כל אחת וכי הקטעים AB = PD ו- AP = CD. מצא את הערך של הזווית X המצוינת באיור.

איור 10. משולשים לדוגמה שנפתרה 2. מקור: F. Zapata.

פִּתָרוֹן

עליכם להחיל את המאפיינים של המשולשים, המפורטים צעד אחר צעד.

שלב 1

החל בקריטריון הלימה של משולש LAL, ניתן לקבוע כי משולשי ה- BAP וה- PDC הם חופפים:

ΔBAP ≡ ΔPDC

שלב 2

האמור לעיל מוביל לאשר ש- BP = PC, ולכן המשולש ΔBPC הוא שדיים ∡PCB = ∡PBC = X.

שלב 3

אם אנו קוראים לזווית BPC γ, יוצא כי:

2x + γ = 180º

שלב 4

ואם נקרא לזוויות APB ו- DCP β ו- α לזוויות ABP ו- DPC, יש לנו:

α + β + γ = 180º (מכיוון ש- APB הוא זווית מישורית).

שלב 5

יתר על כן, α + β + 80º = 180º בסכום של הזוויות הפנימיות של המשולש APB.

שלב 6

שילוב של כל הביטויים האלה שיש לנו:

α + β = 100º

שלב 7

ולכן:

γ = 80º.

שלב 8

לבסוף יוצא כי:

2X + 80º = 180º

עם X = 50 מעלות.

הפניות

1. Baldor, A. 1973. Plane and Geometry Space. תרבות מרכז אמריקה.
2. קרן CK-12. מצולעים מתכנסים. התאושש מ: ck 12.org.
3. תיהנו מתמטיקה. הגדרות: רדיוס (מצולע). התאושש מ: enjoylasmatematicas.com.
4. הפניה למתמטיקה פתוחה. בדיקת מצולעים להתאמה. התאושש מ: mathopenref.com.
5. ויקיפדיה. צפיפות (גיאומטריה). התאושש מ: es.wikipedia.org.
6. זאפאטה, פ. משולשים, היסטוריה, אלמנטים, סיווג, מאפיינים. התאושש מ: lifeder.com.