סיווג המספרים האמיתיים - מַדָע - 2025

הסיווג העיקרי של המספרים האמיתיים מחולק למספרים טבעיים, מספרים שלמים, מספרים רציונאליים ומספרים לא רציונליים. המספרים הריאליים מיוצגים על ידי האות R.

ישנן דרכים רבות בהן ניתן לבנות או לתאר את המספרים האמיתיים השונים, החל מצורות פשוטות יותר למספרים מורכבים יותר, תלוי בעבודה המתמטית שיש לבצע.

כיצד מסווגים המספרים האמיתיים?

- מספרים טבעיים

המספרים הטבעיים מיוצגים על ידי האות (n) והם אלו המשמשים לספירה (0,1,2,3,4 …). לדוגמה "ישנם חמישה עשרה ורדים בגינה", "אוכלוסיית מקסיקו היא 126 מיליון אנשים" או "הסכום השני ו השני הוא ארבעה ". יש לציין כי חלק מהסיווגים כוללים 0 כמספר טבעי ואחרים אינם.

שני ילדים שעושים סכום של שני מספרים טבעיים.

המספרים הטבעיים אינם כוללים את המספרים שיש להם חלק עשרוני. לכן, "אוכלוסיית מקסיקו מונה 126.2 מיליון איש" או "הטמפרטורה היא 24.5 מעלות צלזיוס" לא יכול היה להיחשב כמספרים טבעיים.

בסטנדרט נפוץ, כמו למשל בבתי ספר יסודיים, אפשר לקרוא למספרים טבעיים ספירת מספרים כדי לא לכלול מספרים שליליים ואפס.

מספרים טבעיים הם הבסיסים איתם ניתן לבנות קבוצות רבות אחרות של מספרים בהרחבה: מספרים שלמים, מספרים רציונליים, מספרים אמיתיים ומספרים מורכבים, בין היתר.

המאפיינים של מספרים טבעיים, כמו חלוקת המספרים הראשוניים וחלוקתם, נלמדים בתורת המספרים. בעיות הקשורות לספירה וסדר, כמו ספירות וחלוקה, נלמדות בקומבינטוריקה.

יש להם מספר תכונות, כגון: חיבור, כפל, חיסור, חלוקה וכו '.

מספרים סדירים וקרדינליים

מספרים טבעיים יכולים להיות מסודרים או קרדינאליים.

המספרים הקרדינאליים יהיו אלה המשמשים כמספרים טבעיים, כפי שהזכרנו קודם בדוגמאות. "יש לי שתי עוגיות", "אני אב לשלושה ילדים", "הקופסה כוללת שני קרמים בחינם ".

פקידים הם אלה המביעים סדר או מציינים עמדה. לדוגמא, במירוץ סדר ההגעה של הרצים מופיע החל מהזוכה ומסיים עם האחרון שהגיע לקו הסיום.

באופן זה ייאמר כי המנצח הוא "הראשון", הבא "השני", הבא "השלישי" וכן הלאה עד האחרון. ניתן לייצג מספרים אלה על ידי אות בחלק השמאלי העליון כדי לפשט את הכתיבה (1, 2, 3, 4 וכו ').

- מספרים שלמים

המספרים השלמים מורכבים מאותם מספרים טבעיים ומנוגדים שלהם, כלומר המספרים השליליים (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50 …). בדומה למספרים טבעיים, גם אלה אינם כוללים מספרים שיש להם חלק עשרוני.

דוגמה למספרים שלמים הייתה "לפני 30 מעלות בממוצע בגרמניה", "נשארתי ב 0 בסוף החודש", "כדי לרדת למרתף עליך ללחוץ על כפתור המעלית -1."

בתורו, לא ניתן לכתוב מספרים שלמים עם רכיב שברירי. לדוגמה, מספרים כמו 8.58 או √2 אינם מספרים שלמים.

המספרים השלמים מיוצגים על ידי האות (Z). Z היא תת-קבוצה של קבוצת המספרים הרציונאליים Q, המהווים בתורם את קבוצת המספרים האמיתיים R. כמו מספרים טבעיים, Z היא קבוצה אינסופית לספור.

המספרים השלמים מהווים את הקבוצה הקטנה ביותר ואת הקבוצה הקטנה ביותר של המספרים הטבעיים. בתיאוריית המספרים האלגבריים, מספרים שלמים נקראים לעיתים מספרים שלמים לא הגיוניים כדי להבדיל ביניהם בין מספרים שלמים אלגבריים.

- מספר רציונלי

קבוצת המספרים הרציונליים מיוצגת על ידי האות (Q) וכוללת את כל אותם המספרים שניתן לכתוב כשבריר של המספרים השלמים.

כלומר, קבוצה זו כוללת מספרים טבעיים (4/1), מספרים שלמים (-4/1) ומספרים עשרוניים מדויקים (15.50 = 1550/100).

החלוקה של 1/6 מהגבינה היא מספר רציונלי.

ההרחבה העשרונית של מספר רציונאלי מסתיימת תמיד אחרי מספר סופי של ספרות (לדוגמה: 15.50) או כאשר אותו רצף ספרות סופי מתחיל לחזור שוב ושוב (למשל: 0.3456666666666666…). לכן, בתוך מערך המספרים הרציונליים כלולים מספרים. עיתונים טהורים או עיתונים מעורבים.

בנוסף, כל עשרון חוזר או מסוף מייצג מספר רציונאלי. הצהרות אלה נכונות לא רק עבור בסיס 10, אלא גם לגבי כל בסיס שלם אחר.

מספר אמיתי שאינו רציונלי נקרא לא הגיוני. מספרים לא הגיוניים כוללים למשל √2, π ו- e. מכיוון שכל מערך המספרים הרציונליים ניתן לספור, וקבוצת המספרים האמיתיים אינה ניתנת לספירה, ניתן לומר שכמעט כל המספרים האמיתיים אינם הגיוניים.

ניתן להגדיר באופן רשמי מספרים רציונליים ככיתות שקילות של זוגות מספרים שלמים (p, q) כך ש- q 0 או הקשר השווה המוגדר על ידי (p1, q1) (p2, q2) רק אם p1, q2 = p2q1.

מספרים רציונליים, יחד עם תוספת וכפלה, יוצרים שדות המרכיבים מספרים שלמים ונכללים על ידי כל ענף המכיל מספרים שלמים.

- מספרים אי - רציונליים

מספרים לא הגיוניים הם כולם מספרים אמיתיים שאינם מספרים רציונליים; לא ניתן לבטא מספרים לא הגיוניים כשברים. מספרים רציונליים הם מספרים המורכבים משברים של מספרים שלמים.

כתוצאה מהוכחתו של קנטור האומרת כי כל המספרים האמיתיים אינם ניתנים לספירה וכי המספרים הרציונליים ניתנים לספירה, ניתן להסיק כי כמעט כל המספרים האמיתיים אינם הגיוניים.

כאשר רדיוס האורך של שני קטעי קו הוא מספר בלתי רציונאלי, ניתן לומר כי קטעי קו אלה אינם ניתנים לבחירה; כלומר אין מספיק אורך כך שניתן יהיה למדוד כל אחד מהם בעזרת הכפל המספר השלם שלו.

בין המספרים הלא הגיוניים ניתן למנות את הרדיוס π של היקף מעגל לקוטרו, מספר אוילר (e), המספר המוזהב (φ) והשורש הריבועי של שניים; יתר על כן, כל השורשים המרובעים של מספרים טבעיים אינם הגיוניים. החריג היחיד לכלל זה הם ריבועים מושלמים.

ניתן לראות שכאשר מספרים לא רציונאלים באים לידי ביטוי באופן פוזיציוני במערכת ספרות, (כמו למשל במספרים עשרוניים) הם לא מסתיימים או חוזרים על עצמם.

המשמעות היא שהם אינם מכילים רצף של ספרות, החזרה באמצעותה מבוצעת שורה אחת של הייצוג.

פישוט המספר הלא רציונאלי pi.

לדוגמא: הייצוג העשרוני של המספר π מתחיל ב- 3.14159265358979, אך אין מספר סופי של ספרות שיכולות לייצג π בדיוק, וגם לא ניתן לחזור עליהם.

ההוכחה לכך שההרחבה העשרונית של מספר רציונאלי חייבת להסתיים או לחזור עליה שונה מההוכחה שהרחבה עשרונית חייבת להיות מספר רציונלי; למרות שהם בסיסיים וממושכים במידת מה, מבחנים אלו דורשים עבודה מסוימת.

בדרך כלל מתמטיקאים אינם נוהגים להבין את הרעיון של "סיום או חזרה" כדי להגדיר את המושג מספר רציונלי.

ניתן לטפל במספרים לא הגיוניים באמצעות שברים לא רציפים.

הפניות

1. מסווג ריאליסטי מספרים. התאושש מ- chilimath.com.
2. מספר טבעי. התאושש מ- wikipedia.org.
3. סיווג מספרים. התאושש מ- ditutor.com.
4. התאושש מ- wikipedia.org.
5. מספר לא הגיוני. התאושש מ- wikipedia.org.