בסיס אורתונורמלי: תכונות, דוגמאות ותרגילים - גוּפָנִי - 2025

בסיס orthonormal נוצר עם וקטורים מאונכים זה לזה מודולוס אשר הוא גם 1 (וקטור יחיד). נזכור כי בסיס B בחלל וקטורי V מוגדר כסט של וקטורים בלתי תלויים לינאריים המסוגלים לייצר מרחב כאמור.

בתורו, מרחב וקטורי הוא ישות מתמטית מופשטת שרכיביה הם וקטורים, הקשורים בדרך כלל לכמויות פיזיות כמו מהירות, כוח ועקירה, או גם עם מטריצות, פולינומים ותפקודים.

איור 1. איור 1. בסיס אורתונורמלי במטוס. מקור: Wikimedia Commons. קוארטל.

וקטורים כוללים שלושה יסודות ייחודיים: גודל או מודולוס, כיוון וחוש. בסיס אורתונורמלי שימושי במיוחד לייצוג ולפעול עימם, מכיוון שכל וקטור השייך לחלל וקטורי מסוים יכול להיות כתוב כשילוב ליניארי של הווקטורים היוצרים את הבסיס האורתונורמלי.

באופן זה מבצעים ניתוחים בין וקטורים, כמו הוספה, חיסור וסוגי המוצרים השונים המוגדרים במרחב האמור.

בין הבסיסים הנפוצים ביותר בפיזיקה הוא הבסיס שנוצר על ידי וקטורי היחידה i , j ו- k המייצגים את שלושת הכיוונים הייחודיים של המרחב התלת ממדי: גובה, רוחב ועומק. וקטורים אלה ידועים גם כקטורים קאנוניים יחידה.

אם במקום זאת, הווקטורים עובדים במטוס, שניים משלושת המרכיבים הללו יספיקו, ואילו עבור ווקטורים חד ממדיים נדרש רק אחד.

מאפייני הבסיס

1- בסיס B הוא קבוצת הווקטורים הקטנה ביותר האפשרית המייצרת את שטח הווקטור V.

2- האלמנטים של B אינם תלויים באופן לינארי.

3 - כל בסיס B של מרחב וקטורי V, מאפשר לבטא את כל הווקטורים של V כשילוב ליניארי שלו וצורה זו היא ייחודית לכל וקטור. מסיבה זו, B ידועה גם כמערכת הייצור.

4- באותו שטח וקטורי V יכול להיות בסיסים שונים.

דוגמאות לבסיסים

להלן מספר דוגמאות לבסיסים ובסיסים אורתונורמליים באופן כללי:

הבסיס הקנוני ב- ℜ

נקרא גם בסיס טבעי או בסיס סטנדרטי של ℜ ⁿ , כאשר ℜ ⁿ הוא מרחב n ממדי, למשל מרחב תלת ממדי הוא ℜ ³ . הערך של n נקרא המימד של מרחב הווקטורי ומצוין כה עמום (V).

כל הווקטורים השייכים ל ℜ ⁿ מיוצגים על ידי מודעות n מסודרות. עבור המרחב ℜ ⁿ , הבסיס הקנוני הוא:

e ₁ = <1,0 ,. . . , 0>; e ₂ = <0.1 ,. . . , 0>; …… .. e _n = <0.0 ,. . . , 1>

בדוגמה זו השתמשנו בסימון עם סוגריים או "סוגריים" ומודגשים עבור וקטורי היחידה e ₁ , e ₂ , e ₃ …

הבסיס הקנוני ב- ℜ

הווקטורים המוכרים i , j ו- k מודים באותה ייצוג זה ושלושתם מספיקים כדי לייצג את הווקטורים ב ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

זה אומר שאפשר לבטא את הבסיס כך:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

כדי לאמת שהם עצמאיים באופן לינארי, הקובע שנוצר איתם אינו אפס וגם שווה ל 1:

צריך להיות אפשרי גם לכתוב כל וקטור השייך ל- as ³ כשילוב לינארי ביניהם. לדוגמה, כוח שמרכיביו המלבניים הם F _x = 4 N, F _y = -7 N ו- F _z = 0 N ייכתב בצורה וקטורית כך:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

לכן אני , j ו- k מהווים מערכת גנרטורים של ℜ ³ .

בסיסים אורטונמליים אחרים ב- ℜ

הבסיס הסטנדרטי המתואר בסעיף הקודם אינו הבסיס האורתונורמלי היחיד ב- ℜ ³ . הנה למשל הבסיסים:

B ₁ = {; <- חטא θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

ניתן להראות כי בסיסים אלה הם אורטונמליים, לשם כך אנו זוכרים את התנאים שיש לעמוד בהם:

הווקטורים היוצרים את הבסיס חייבים להיות אורטוגונלים זה לזה.

כל אחד מהם חייב להיות יחידתי.

אנו יכולים לאמת זאת על ידי ידיעה כי הקובע שנוצר על ידם חייב להיות שאינו אפס ושווה ל -1.

הבסיס B ₁ הוא בדיוק זה של קואורדינטות גליליות ρ, φ ו- z, דרך נוספת להביע וקטורים במרחב.

איור 2. איור 2. קואורדינטות גליליות. מקור: Wikimedia Commons. חובב מתמטיקה.

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

הראו שהבסיס B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} הוא אורתונורמלי.

פִּתָרוֹן

כדי להראות שהווקטורים בניצב זה לזה, נשתמש במוצר הסקלרי, המכונה גם המוצר הפנימי או הנקודה של שני ווקטורים.

תן לכל שני וקטורים u ו- v , מוצר הנקודה שלהם מוגדר על ידי:

u • v = uv cosθ

כדי להבדיל את הווקטורים של המודולים שלהם אנו נשתמש מודגש לאותיות ראשונות ורגילות עבור השנייה. θ הוא הזווית בין u ל- v, לכן אם הם בניצב, זה אומר ש θ = 90º והמוצר הסקלרי הוא אפס.

לחלופין, אם הווקטורים ניתנים מבחינת מרכיביהם: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, המוצר הסקלרי של שניהם, שהוא קומוטטיבי, מחושב באופן זה:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

באופן זה, המוצרים הסקלריים בין כל זוג וקטורים הם, בהתאמה:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

עבור התנאי השני מחושב המודול של כל וקטור, המתקבל על ידי:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

לפיכך, המודולים של כל וקטור הם:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0.1> │ = √ = 1

לכן שלושתם הם ווקטורי יחידות. לבסוף, הקובע שהם יוצרים אינו אפס ושווה ל 1:

- תרגיל 2

כתוב את הקואורדינטות של הווקטור w = <2, 3,1> במונחים של הבסיס למעלה.

פִּתָרוֹן

לשם כך משתמשים במשפט הבא:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ + … < w • v _n > v _n

משמעות הדבר היא שנוכל לכתוב את הווקטור בבסיס B, בעזרת מקדמים < w • v ₁ >, < w • v ₂ >, … < w • v _n >, עליהם אנו חייבים לחשב את המוצרים הסקלריים המצוינים:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

עם התוצרים הסקלריים המתקבלים, בנויה מטריצה, הנקראת מטריצת הקואורדינטות w.

לכן הקואורדינטות של הווקטור w בבסיס B באות לידי ביטוי על ידי:

_B =

מטריצת הקואורדינטות אינה הווקטור, מאחר וקטור אינו זהה לקואורדינטות שלו. אלה רק קבוצת מספרים המשמשים לביטוי הווקטור בבסיס נתון, ולא הווקטור ככזה. הם תלויים גם בבסיס שנבחר.

לבסוף, בעקבות המשפט, הווקטור w יבוא לידי ביטוי באופן הבא :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

עם: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, כלומר הווקטורים של הבסיס B.

הפניות

1. לארסון, ר. יסודות האלגברה הלינארית. 6. מַהֲדוּרָה. לימוד Cengage.
2. Larson, R. 2006. חשבון. 7. מַהֲדוּרָה. כרך 2. מקגרו היל.
3. Salas, J. Lingebra Algebra. יחידה 10. בסיסים אורטונורליים. התאושש מ: ocw.uc3m.es.
4. אוניברסיטת סביליה. קואורדינטות גליליות. בסיס וקטורי. התאושש מ: laplace.us.es.
5. ויקיפדיה. בסיס אורתונורמלי. התאושש מ: es.wikipedia.org.