ניתוח ממדי: טכניקות, עקרון ותרגילים - גוּפָנִי - 2025

ניתוח ממדי הוא כלי בשימוש נרחב סניפים שונים של מדע והנדסה כדי להבין טוב יותר את התופעות הכרוכות בנוכחות כמויות פיזיות שונות. לכמויות יש מידות ומתוכן נגזרות יחידות המדידה השונות.

מקורו של מושג הממד נמצא אצל המתמטיקאי הצרפתי ג'וזף פורייה, שהיה זה שטבע אותו. פורייה הבין גם שכדי ששתי משוואות יהיו דומות, הן חייבות להיות הומוגניות ביחס לממדיהם. במילים אחרות, לא ניתן להוסיף מטרים לקילוגרמים.

לפיכך, ניתוח ממדי אחראי על לימוד גודל, מידות והומוגניות של משוואות פיזיות. מסיבה זו משתמשים בו לעתים קרובות לבדיקת מערכות יחסים וחישובים, או לבניית השערות בשאלות מורכבות שאפשר לבחון אחר כך בניסוי.

באופן זה, ניתוח ממדי הוא כלי מושלם לגלות שגיאות בחישובים על ידי בדיקת ההתאמה או חוסר העקביות של היחידות המשמשות בהן, תוך שימת דגש מיוחד על יחידות התוצאות הסופיות.

בנוסף, ניתוח מימדי משמש לתכנון ניסויים שיטתיים. זה מאפשר לצמצם את מספר הניסויים הנחוצים, כמו גם להקל על הפרשנות של התוצאות שהתקבלו.

אחד הבסיסים הבסיסיים של ניתוח ממדי הוא שאפשר לייצג כל כמות פיזיקלית כתוצר של כוחות של כמות קטנה יותר, המכונה כמויות יסודיות שמקורן האחרים.

כמויות בסיסיות ונוסחה ממדית

בפיזיקה כמויות מהותיות נחשבות לכאלה המאפשרות לביטוי לאחרים כפונקציה של אלה. על פי האמנה נבחרו הבאים: אורך (L), זמן (T), מסה (M), עוצמת הזרם החשמלי (I), טמפרטורה (θ), עוצמת הזוהר (J) ו- כמות החומר (N).

להפך, השאר נחשבים לכמויות נגזרות. חלקם הם: שטח, נפח, צפיפות, מהירות, תאוצה, בין היתר.

נוסחה ממדית מוגדרת כשוויון מתמטי המציג את הקשר בין כמות נגזרת לבין אלו הבסיסיים.

טכניקות ניתוח ממדיות

ישנן טכניקות שונות או שיטות לניתוח ממדי. שניים מהחשובים הם הבאים:

שיטת ריילי

ריילי, שיחד עם פורייה היה מראשוני הניתוח הממדי פיתח שיטה ישירה ופשוטה מאוד המאפשרת לנו להשיג אלמנטים חסרי ממדים. בשיטה זו יש לבצע את הצעדים הבאים:

1- מוגדרת פונקצית התווים הפוטנציאלית של המשתנה התלוי.

2- כל משתנה משתנה לפי הממדים המתאימים לו.

3- נקבעות המשוואות של מצב הומוגניות.

4 - הלא ידועים ב- np מוגדרים.

5 - החליפו אקספוננטים שחושבו וקיבעו במשוואה הפוטנציאלית.

6- קבוצות המשתנים מועברות להגדרת המספרים חסרי הממדים.

שיטת בקינגהאם

שיטה זו מבוססת על משפט או משפט ה- pi של בקינגהאם, הקובע את הדברים הבאים:

אם יש קשר ממדי הומוגני בין מספר "n" בכמויות פיזיות או משתנות בהן "p" כוללים מימדים בסיסיים שונים, יש גם קשר הומוגני ממדי בין קבוצות n - p, עצמאיות חסרות ממדים.

עקרון הומוגניות ממדית

עקרון פורייה, הידוע גם כעקרון ההומוגניות הממדית, משפיע על המבנה התקין של הביטויים הקושרים בין כמויות פיזיות באלגבריות.

זהו עיקרון שיש לו עקביות מתמטית וקובע כי האפשרות היחידה היא לחסר או להוסיף כמויות פיזיקליות שהם מאותו אופי. לכן לא ניתן להוסיף מסה באורך ולא זמן עם משטח וכו '.

באופן דומה, העיקרון קובע כי כדי שהמשוואות הגופניות יהיו נכונות למימד, סך התנאים של חברי שני הצדדים של השוויון צריך להיות בעל אותו מימד. עיקרון זה מאפשר להבטיח את הקוהרנטיות של המשוואות הפיזיות.

עקרון הדמיון

עקרון הדמיון הוא הרחבה של אופי ההומוגניות הממדית של המשוואות הפיזיות. נאמר כך:

חוקים גופניים נותרו ללא שינוי כאשר הם מתמודדים עם שינויים בממדים (גודל) של אירוע פיזי באותה מערכת של יחידות, בין אם מדובר בשינויים בעלי אופי אמיתי או דמיוני.

היישום הברור ביותר של עקרון הדמיון מתרחש בניתוח התכונות הפיזיקליות של מודל שנעשה בקנה מידה קטן יותר, כדי להשתמש בהמשך בתוצאות באובייקט בגודל אמיתי.

תרגול זה חיוני בתחומים כמו תכנון וייצור מטוסים וספינות ובעבודות הידראוליות גדולות.

יישומים

היישומים הרבים של ניתוח ממדי כוללים את אלה המפורטים להלן.

- מצא שגיאות אפשריות בפעולות שבוצעו

- לפתור בעיות שהפתרון שלהן מציג קושי מתמטי בלתי עביר.

- לתכנן ולנתח דגמים בקנה מידה קטן.

- ערכו תצפיות לגבי האופן בו שינויים אפשריים משפיעים על מודל.

כמו כן, ניתוח ממדי משמש לעתים קרובות למדי במחקר מכניקת נוזלים.

הרלוונטיות של ניתוח ממדי במכניקת הנוזלים נובעת מכמה קשה לבסס משוואות בזרימות מסוימות כמו גם מהקושי לפתור אותן, וזו הסיבה שאי אפשר להשיג קשרים אמפיריים. מסיבה זו, יש צורך לפנות לשיטת הניסוי.

תרגילים שנפתרו

תרגיל ראשון

מצא את המשוואה הממדית עבור מהירות ותאוצה.

פִּתָרוֹן

מכיוון ש- v = s / t, נכון הוא: = L / T = L ∙ T ^-1

באופן דומה:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

תרגיל שני

קבע את המשוואה הממדית לרגע התנע.

פִּתָרוֹן

מכיוון שהתנופה היא תוצר של מסה ומהירות, נכון ש- p = m ∙ v

כך:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

הפניות

1. ניתוח ממדי (nd). בויקיפדיה. הוחזר ב -19 במאי 2018 מ- es.wikipedia.org.
2. ניתוח ממדי (nd). בויקיפדיה. הוחזר ב -19 במאי 2018 מ- en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), ניתוח ממדי ותורת המודלים, וויילי.
4. פידאלגו סאנצ'ס, חוסה אנטוניו (2005). פיזיקה וכימיה . אוורסט
5. דייוויד סי קאסידי, ג'רלד ג'יימס הולטון, פלויד ג'יימס רתרפורד (2002). הבנת הפיזיקה. Birkhäuser.