הכלל Sarrus משמש כדי לחשב את התוצאה של 3 × 3 גורמים. אלה משמשים לפתרון משוואות לינאריות ולברר אם הן תואמות.
מערכות תואמות מקלות על קבלת הפיתרון. הם משמשים גם כדי לקבוע אם קבוצות של וקטורים אינם תלויים באופן ליניארי ומהווים את בסיס מרחב הווקטור.
יישומים אלה מבוססים על אי-יכולת ההמרה של המטריצות. אם מטריצה היא רגילה, הקובע שלה שונה מ 0. אם הוא יחיד, הקובע שלו שווה ל 0. Determinants ניתן לחשב רק במטריקס מרובע.
כדי לחשב מטריצות מכל סדר, ניתן להשתמש במשפט Laplace. משפט זה מאפשר לנו לפשט מטריצות בממדים גבוהים, בסכומים של קביעים קטנים שאנו מפרקים מהמטריצה הראשית.
הוא קובע כי הקובע של מטריצה שווה לסכום התוצרים של כל שורה או טור, כפול הקובע של המטריקס הסמוך שלה.
זה מצמצם את הקובעים כך שקובע תואר n הופך ל- n קובעים של n-1. אם אנו מיישמים כלל זה ברצף, נוכל להשיג קובעים של מימד 2 (2 × 2) או 3 (3 × 3), כאשר החישוב שלו קל בהרבה.
שלטון סארוס
פייר פרדריק סארוס היה מתמטיקאי צרפתי בן המאה ה -19. מרבית התהליכים המתמטיים שלו מבוססים על שיטות לפתרון משוואות וחישוב הווריאציות, בתוך משוואות מספריות.
באחד מהמסגרות שלו הוא פתר את אחת החידות המורכבות ביותר במכניקה. כדי לפתור את הבעיות של היצירות המפורסמות, הציג סארוס את הטרנספורמציה של תנועות מלבניות חלופיות, בתנועות מעגליות אחידות. מערכת חדשה זו ידועה כמנגנון סארוס.
המחקר שהעניק למתמטיקאי זה הכי הרבה תהילה היה בו הציג שיטה חדשה לחישוב דטרמנטים, במאמר "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (שיטה חדשה לפתרון משוואות), שפורסמה ב שנה 1833. דרך זו לפיתור משוואות לינאריות ידועה כשלטון של סארוס.
הכלל של סרוס מאפשר לנו לחשב את הקובע של מטריצה 3 × 3, ללא צורך להשתמש במשפט של לפלאס, תוך הצגת שיטה פשוטה ופשוטה הרבה יותר ואינטואיטיבית. על מנת לבדוק את ערך הכלל של סרוס, אנו לוקחים כל מטריצה של מימד 3:
חישוב הקובע שלו יתבצע באמצעות תוצר האלכסונים העיקריים, תוך חיסור תוצר האלכסונים ההפוכים. זה יהיה כדלקמן:
הכלל של סארוס מאפשר לנו להשיג חזון הרבה יותר קל בעת חישוב האלכסונים של הקובע. זה יהיה מפושט על ידי הוספת שתי העמודות הראשונות בחלק האחורי של המטריצה. באופן זה ניתן לראות בבירור יותר מהם האלכסונים העיקריים שלו ואילו אלה הפוכים לצורך חישוב המוצר.
באמצעות תמונה זו אנו יכולים לראות את יישום הכלל של סרוס, אנו כוללים שורה 1 ו -2, מתחת לייצוג הגרפי של המטריצה הראשונית. באופן זה האלכסונים העיקריים הם שלושת האלכסונים המופיעים ראשונים.
שלושת האלכסונים ההפוכים, בתורם, הם אלו המופיעים לראשונה מאחור.
באופן זה האלכסונים מופיעים בצורה ויזואלית יותר, מבלי לסבך את הרזולוציה של הקובע, תוך ניסיון לגלות אילו אלמנטים במטריקס שייכים לכל אלכסון.
כפי שהוא מופיע בתמונה, אנו בוחרים באלכסונים ומחושבים את התוצר המתקבל של כל פונקציה. האלכסונים המופיעים בכחול הם אלו המצטברים. לסיכום אלה, אנו מחסרים את ערך האלכסונים המופיעים באדום.
כדי להקל על הדחיסה, נוכל להשתמש בדוגמה מספרית, במקום להשתמש במונחים ותת-תחומים אלגבריים.
אם ניקח מטריצה של 3 × 3, למשל:
כדי להחיל את הכלל של סארוס, ולפתור אותה בצורה ויזואלית יותר, עלינו לכלול שורה 1 ו -2, כשורה 4 ו -5 בהתאמה. חשוב לשמור על שורה 1 במיקום הרביעי, ועל שורה 2 במיקום החמישי. מכיוון שאם נחליף אותם, כלל סארוס לא יהיה יעיל.
כדי לחשב את הקובע, המטריצה שלנו תהיה כדלקמן:
כדי להמשיך בחישוב, נכפיל את היסודות של האלכסונים הראשיים. צאצאים החל משמאל יקבלו סימן חיובי; בעוד שלאלכסונים הפוכים, המתחילים מימין, יש סימן שלילי.
בדוגמה זו, הכחולים היו בעלי סימן חיובי והאדומים עם סימן שלילי. החישוב הסופי של כלל סארוס ייראה כך:
סוגי הקובעים
קובע מימד 1
אם הממד של המטריצה הוא 1, המטריצה נראית כך: A = (a)
לכן הקובע שלו יהיה כדלקמן: det (A) = -A- = a
לסיכום, הקובע של מטריצה A שווה לערך המוחלט של מטריקס A, שבמקרה זה הוא א.
קובע מימד 2
אם אנו עוברים למטריצות ממד 2, אנו משיגים מטריצות מהסוג:
כאשר הקובע שלה מוגדר כ:
הרזולוציה של קובע זה מבוססת על כפל האלכסון הראשי שלו, מחסירה את תוצר האלכסון ההפוך שלו.
כמנמונית אנו יכולים להשתמש בתרשים הבא כדי לזכור את הקובע שלה:
קובע מימד 3
אם הממד של המטריצה הוא 3, המטריצה המתקבלת תהיה מסוג זה:
הקובע של מטריצה זו ייפתר באמצעות שלטונו של סרוס בדרך זו:
הפניות
- ג'ני אוליב (1998) מתמטיקה: מדריך הישרדות של סטודנטים. הוצאת אוניברסיטת קיימברידג '.
- ריצ'רד ג'יי בראון (2012) מתמטיקה בת 30 שניות: 50 התיאוריות המרחיבות את המוח במתמטיקה. Ivy Press Limited.
- דייב קירקבי (2004) מתמטיקה Connect. היינמן.
- Awol Assen (2013) מחקר על חישוב קובעי המטריקס 3 × 3. הוצאה לאור אקדמית של Lap Lambert.
- אנתוני ניקוליידס (1994) Determinants & Matrices. פרסום עובר.
- ג'סי ראסל (2012) כלל סרארוס.
- M. Casteleiro Villalba (2004) מבוא לאלגברה לינארית. ESIC מערכת.