מספרים נשגבים: מה הם, נוסחאות, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

המספרים טרנסצנדנטי הם אלה שלא יכולים להיות שהושגו כפי תוצאה של משוואת פולינום. ההפך ממספר טרנסצנדנטי הוא מספר אלגברי, שהם פתרונות של משוואת פולינום מהסוג:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

כאשר המקדמים a _n , _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , ₀ הם מספרים רציונליים, המכונים מקדמי הפולינום. אם מספר x הוא פיתרון למשוואה הקודמת, אז המספר הזה אינו נעלה.

תרשים 1. שני מספרים בעלי חשיבות רבה במדע הם מספרים נשגבים. מקור: publicdomainpictures.net.

ננתח מספרים בודדים ונראה אם ​​הם נשגבים או לא:

א) 3 אינו נעלה מכיוון שהוא פיתרון של x - 3 = 0.

ב) -2 לא יכול להיות נעלה מכיוון שזה פיתרון של x + 2 = 0.

ג) ⅓ הוא פיתרון של 3x - 1 = 0

ד) פיתרון של המשוואה x ² - 2x + 1 = 0 הוא √2 -1, כך שהמספר בהגדרה אינו מתעלה.

ה) אף אחד אינו √2 מכיוון שהוא תוצאה של המשוואה x ² - 2 = 0. על ידי ריבוע √2 הוא מביא ל -2, אשר מופרעים משני שווים לאפס. אז √2 הוא מספר לא הגיוני אבל הוא לא נעלה.

מהם מספרים נשגבים?

הבעיה היא שאין כלל כללי להשיג אותם (נאמר דרך בהמשך), אך חלק מהמפורסמים ביותר הם המספר pi והמספר Neper, שמסומן בהתאמה על ידי: π ו- e.

המספר π

המספר π מופיע באופן טבעי על ידי התבוננות בכך שהמנתח המתמטי בין היקף P של מעגל לקוטרו D, ללא קשר אם הוא מעגל קטן או גדול, תמיד נותן את אותו המספר, הנקרא pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

המשמעות היא שאם קוטר ההיקף נלקח כיחידת המדידה, עבור כולם, גדולים או קטנים, ההיקף תמיד יהיה P = 3.14… = π, כפי שניתן לראות בהדמיה באיור 2.

איור 2. איור היקף המעגל פי פי אורך הקוטר כאשר pi הוא 3.1416 בערך.

בכדי לקבוע יותר עשרונים, יש צורך למדוד P ו- D בדיוק רב יותר ואז לחשב את המנה, שנעשתה מתמטית. המסקנה היא שלעצירת המשתנה אין סוף ולעולם לא חוזרים על עצמם, כך שהמספר π בנוסף להיותו טרנסצנדנטי הוא גם לא הגיוני.

מספר לא הגיוני הוא מספר שלא ניתן לבטא אותו כחלוקה של שני מספרים שלמים.

ידוע שכל מספר טרנסצנדנטי הוא לא הגיוני, אך זה לא נכון שכל המספרים הלא רציונליים הם נשגבים. לדוגמה √2 אינו הגיוני, אך הוא אינו נשגב.

איור 3. המספרים הטרנסצנדנטיים אינם הגיוניים, אך השיחה אינה נכונה.

המספר ה

המספר הטרנסצנדנטי e הוא בסיס הלוגריתמים הטבעיים והקירוב העשרוני שלו הוא:

ו- 18 2.718281828459045235360….

אם היית רוצה לכתוב את המספר e במדויק, היה צורך לכתוב עשרונים לאינסוף, מכיוון שכל מספר טרנסצנדנטי הוא לא הגיוני, כאמור קודם.

קל לזכור את עשר הספרות הראשונות של e:

2,7 1828 1828 ולמרות שנראה שהוא דפוס חוזר, הדבר לא מושג בעשורים בסדר גודל גדול מתשע.

ההגדרה הרשמית יותר של e היא כדלקמן:

משמעות הדבר היא שהערך המדויק של e מתקבל על ידי ביצוע הפעולה המצוינת בנוסחה זו, כאשר המספר הטבעי n נוטה לאינסוף.

זה מסביר מדוע אנו יכולים להשיג רק קירובים של e, מכיוון שלא משנה כמה גדול ממוקם המספר n, תמיד ניתן למצוא n גדול יותר.

בואו לחפש כמה קירובים בעצמנו:

כאשר n = 100 אז (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 שכמעט לא עולה בקנה אחד עם העשרון הראשון עם הערך "האמיתי" של e.

אם תבחר n = 10,000, יש לך (1 + 1 / 10,000) ^10,000 = 2,71815, אשר עולה בקנה אחד עם הערך "המדויק" של e בשלושת המקומות הראשונים.

יש לעקוב אחר התהליך הזה אינסוף על מנת להשיג את הערך "האמיתי" של e. אני לא חושב שיש לנו זמן לעשות את זה, אבל בואו ננסה עוד אחד:

בוא נשתמש ב- n = 100,000:

(1 + 1 / 100,000) ^100,000 = 2.7182682372

זה כולל רק ארבעה מקומות עשרוניים שתואמים את הערך שנחשב מדויק.

הדבר החשוב הוא להבין שככל שהערך של n שנבחר לחישוב e _{n גבוה} יותר, כך הוא יהיה קרוב יותר לערך האמיתי. אך לערך האמיתי הזה יהיה רק ​​כאשר n הוא אינסופי.

איור 4. מוצג בצורה גרפית כיצד ככל שהערך של n גבוה יותר, קרוב יותר ל- e, אך כדי להגיע לערך המדויק n חייב להיות אינסופי.

מספרים חשובים אחרים

מלבד המספרים המפורסמים הללו ישנם מספרים טרנסצנדנטיים אחרים, למשל:

- 2 ^√2

המספר של צ'מפרנאנה בבסיס 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

המספר של צ'מפרנאנה בבסיס 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-מספר הגמא γ או אוילר-מסצ'רוני קבוע:

γ ≈ 0.577 215 664 901 532 860 606

שמתקבל על ידי ביצוע החישוב הבא:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

כי כאשר n הוא מאוד גדול. כדי לקבל את הערך המדויק של מספר הגמא, יהיה צורך לבצע את החישוב עם אינסוף n. משהו דומה למה שעשינו למעלה.

ויש הרבה יותר מספרים טרנסצנדנטיים. המתמטיקאי הגדול גאורג קנטור, יליד רוסיה וחי בין 1845 ל -1918, הראה כי מערך המספרים הטרנסצנדנטיים גדול בהרבה ממערך המספרים האלגבריים.

נוסחאות בהן מופיע המספר הטרנסצנדנטי π

היקף ההיקף

P = π D = 2 π R, כאשר P הוא ההיקף, D הקוטר, ו- R הרדיוס של ההיקף. יש לזכור כי:

-קוטר ההיקף הוא הקטע הארוך ביותר המצטרף לשתי נקודות זהות ותמיד עובר במרכזו,

-הרדיוס הוא חצי הקוטר והוא הקטע שעובר מהמרכז לקצה.

שטח מעגל

A = π R ² = ¼ π D ²

פני כדור

S = 4 π R ^2.

כן, למרות שזה אולי לא נראה ככה, פני השטח של הכדור זהים לזה של ארבעה עיגולים באותו רדיוס כמו הכדור.

נפח הכדור

V = 4/3 π R ³

תרגילים

- תרגיל 1

בפיצריית "EXÓTICA" מוכרים פיצות בשלושה קוטרים: קטן 30 ס"מ, בינוני 37 ס"מ וגודל 45 ס"מ. ילד רעב מאוד והוא הבין ששתי פיצות קטנות עולות זהה לאחת גדולה. מה עדיף לו, לקנות שתי פיצות קטנות או אחת גדולה?

איור 5.- שטח הפיצה פרופורציונלי לכיכר הרדיוס, כאשר pi הוא קבוע המידתיות. מקור: Pixabay.

פִּתָרוֹן

ככל שהאזור גדול יותר, כך כמות הפיצה גדולה יותר, מסיבה זו יחושב שטח הפיצה הגדולה ויושווה לזה של שתי פיצות קטנות:

שטח הפיצה הגדולה = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 ס"מ ²

שטח הפיצה הקטנה = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 ס"מ ²

לכן שתי פיצות קטנות יהיו באזור של

2 x 706.86 = 1413.72 ס"מ ² .

ברור: יהיו לכם יותר פיצות שקונות אחת גדולה משתי קטנות.

- תרגיל 2

הפיצרייה "EXÓTICA" מוכרת גם פיצה חצי כדורית עם רדיוס של 30 ס"מ במחיר זהה לזה של מלבנית בגודל 30X40 ס"מ מכל צד. איזה מהם היית בוחר?

איור 6- פני השטח של חצי הכדור הם כפול המשטח העגול של הבסיס. מקור: פ. זפטה.

פִּתָרוֹן

כפי שהוזכר בסעיף הקודם, פני הכדור הם פי ארבעה מזה של מעגל באותו קוטר, כך שקוטר הכדור 30 ס"מ יהיה:

פיצה חצי כדורית 30 ס"מ: 1413.72 ס"מ ² (פעמיים עגול בקוטר זהה)

פיצה מלבנית: (30 ס"מ) x (40 ס"מ) = 1200 ס"מ ² .

לפיצה ההמיספריה שטח גדול יותר.

הפניות

1. Fernández J. המספר ה. מקור וסקרנות. התאושש מ: soymatematicas.com
2. תיהנו מתמטיקה. המספר של אוילר. התאושש מ: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. מתמטיקה 1. מְגוּוָן. מהדורות CO-BO.
4. García, M. המספר e בחישוב היסודי. התאושש מ: matematica.ciens.ucv.ve.
5. ויקיפדיה. מספר PI. התאושש מ: wikipedia.com
6. ויקיפדיה. מספרים נשגבים. התאושש מ: wikipedia.com