חלוקת פואסון: נוסחאות, משוואות, מודל, מאפיינים - דודס - 2025

התפלגות פואסון היא הפצת הסתברות בדידה, שדרכו אפשר לדעת את ההסתברות כי, בתוך היקף מדגם ובמהלך מרווח מסוים, אירוע ההסתברות שלהם קטן יתרחש.

לעיתים קרובות ניתן להשתמש בחלוקת פויסון במקום החלוקה הבינומית, כל עוד מתקיימים התנאים הבאים: מדגם גדול והסתברות קטנה.

איור 1. תרשים של התפלגות פואסון לפרמטרים שונים. מקור: Wikimedia Commons.

סימון-דניס פויסון (1781-1840) יצר תפוצה זו הנושאת את שמו, שימושית מאוד בכל הקשור לאירועים בלתי צפויים. פואסון פרסם את תוצאותיו בשנת 1837, עבודת חקירה בנושא ההסתברות להתרחשותם של עונשים פליליים שגויים.

בהמשך, חוקרים אחרים התאימו את ההתפלגות באזורים אחרים, למשל, את מספר הכוכבים שניתן למצוא בכמות נפח מסוימת של החלל, או את ההסתברות שחייל ימות מבעיטת סוס.

נוסחה ומשוואות

הצורה המתמטית של חלוקת פויסון היא כדלקמן:

- μ (נקרא לפעמים גם כ- λ) הוא הממוצע או הפרמטר של ההתפלגות

- מספר אוילר: e = 2.71828

- ההסתברות להשיג y = k היא P

- k הוא מספר ההצלחות 0, 1,2,3 …

- n הוא מספר המבחנים או האירועים (גודל המדגם)

משתנים אקראיים נפרדים, כפי ששמם מרמז, תלויים בסיכוי ולוקחים רק ערכים נפרדים: 0, 1, 2, 3, 4 …, k.

ממוצע ההפצה ניתן על ידי:

השונות σ, המודדת את התפשטות הנתונים, היא פרמטר חשוב נוסף. להפצת פויסון זה:

σ = μ

פויסון קבע שכאשר n → ∞, ו- p → 0, הממוצע μ - המכונה גם הערך הצפוי - נוטה לקבוע:

-האירועים או האירועים הנחשבים אינם תלויים זה בזה ומתרחשים באופן אקראי.

ההסתברות P לאירוע מסוים המתרחש בפרק זמן מסוים היא קטנה מאוד: P → 0.

ההסתברות ליותר מאירוע אחד המתרחש במרווח הזמן היא 0.

הערך הממוצע מקורב לקבוע הנתון על ידי: μ = np (n הוא גודל המדגם)

מכיוון שהפיזור σ שווה ל- μ, מאחר שהוא מאמצ ערכים גדולים יותר, כך גם השונות הופכת גדולה יותר.

יש לחלק את האירועים באופן שווה בפרק הזמן בו נעשה שימוש.

מערך הערכים האפשריים של האירוע y הוא: 0,1,2,3,4….

-סכום משתני ה- i העוקבים אחר חלוקת פויסון הוא גם משתנה אחר של פויסון. הערך הממוצע שלה הוא סכום הערכים הממוצע של משתנים אלה.

הבדלים עם ההתפלגות הבינומית

התפלגות פואסון שונה מהתפוצה הבינומית בדרכים החשובות הבאות:

-הפיזור הבינומי מושפע הן מגודל המדגם N והן מההסתברות P, אך התפלגות פואסון מושפעת רק על ידי הממוצע הממוצע.

-בתפוצה בינומית, הערכים האפשריים של המשתנה האקראי הם 0,1,2, …, N, ואילו בתפוצת פויסון אין גבול עליון לערכים אלה.

דוגמאות

תחילה יישם פויסון את תפוצתו המפורסמת על מקרים משפטיים, אך ברמה התעשייתית, אחד השימושים הראשונים שלו היה בבישול בירה. בתהליך זה משתמשים בתרבויות שמרים לתסיסה.

שמרים מורכבים מתאים חיים שאוכלוסייתם משתנה לאורך זמן. בייצור בירה יש להוסיף את הכמות הדרושה, ולכן יש לדעת את כמות התאים שיש ליחידת נפח.

במהלך מלחמת העולם השנייה נעשה שימוש בהפצת פויסון כדי לגלות אם הגרמנים מכוונים למעשה ללונדון מקאלה, או סתם יורים באקראי. זה היה חשוב לבעלות הברית כדי לקבוע עד כמה הטכנולוגיה העומדת לרשות הנאצים הייתה טובה.

יישומים מעשיים

היישומים של חלוקת פויסון מתייחסים תמיד לספירות בזמן או לספירות במרחב. ומכיוון שההסתברות להתרחשות קטנה היא ידועה גם בשם "חוק האירועים הנדירים".

להלן רשימת אירועים הנכללים באחת מהקטגוריות הבאות:

- רישום החלקיקים בהתפרקות רדיואקטיבית, שכמו גידול תאי שמרים, הוא פונקציה מעריכית.

- מספר ביקורים באתר מסוים.

-העברת אנשים לתור לשלם או להשתתף בהם (תיאוריית התורים).

-מספר מכוניות העוברות נקודה מסוימת בכביש, בפרק זמן נתון.

איור 2. מספר המכוניות העוברות בנקודה עוקבות בערך התפלגות פויסון. מקור: Pixabay.

-השתנות סבלו בשרשרת DNA מסוימת לאחר שקיבלו חשיפה לקרינה.

מספר מטאוריטים בקוטר הגדול מ -1 מ 'נפלו בשנה.

-פגמים למטר מרובע מבד.

כמות תאי הדם בסנטימטר קוב.

-קביעות לדקה למסוק טלפון.

- צ'יפס שוקולד קיים ב 1 ק"ג של בלילת העוגה.

- מספר עצים הנגועים בטפיל מסוים בדונם של יער.

שימו לב שמשתנים אקראיים אלו מייצגים את מספר הפעמים שאירוע מתרחש בפרק זמן קבוע (שיחות לדקה לחלל הטלפונים), או אזור נתון של שטח (פגמי בדים למ"ר).

אירועים אלה, כפי שכבר נקבעו, אינם תלויים בזמן שחלף מאז ההתרחשות האחרונה.

קירוב החלוקה הבינומית עם חלוקת פויסון

התפלגות פויסון היא קירוב טוב להפצה הבינומית כל עוד:

-גודל המדגם הוא גדול: n ≥ 100

ההסתברות p קטנה: p ≤ 0.1

- μ הוא בסדר גודל של: np ≤ 10

במקרים כאלה חלוקת פויסון היא כלי מצוין, מכיוון שקשה ליישם את התפוצה הבינומית.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

מחקר סייסמולוגי קבע כי במהלך מאה השנים האחרונות היו 93 רעידות אדמה גדולות ברחבי העולם, מתוך לפחות 6.0 בסולם ריכטר - logarithmic-. נניח שהפצת פויסון היא מודל מתאים במקרה זה. למצוא:

א) המופע הממוצע של רעידות אדמה גדולות בשנה.

ב) אם P (y) הוא ההסתברות לרעידות אדמה במהלך השנה שנבחרה באופן אקראי, מצא את ההסתברויות הבאות:

זה די פחות מ- P (2).

התוצאות מפורטות להלן:

P (0) = 0.395, P (1) = 0.367, P (2) = 0.171, P (3) = 0.0529, P (4) = 0.0123, P (5) = 0.00229, P (6) = 0.000355, P (7) = 0.0000471.

לדוגמא, ניתן לומר כי קיימת סבירות של 39.5% כי לא תתרחש רעידת אדמה גדולה בשנה נתונה. או שיש 5.29% משלוש רעידות האדמה הגדולות המתרחשות באותה שנה.

פיתרון ג)

ג) התדרים מנותחים, כפול n = 100 שנים:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 ו- 0.00471.

לדוגמה:

- תדירות של 39.5 מצביעה על כך ש 0 רעידות אדמה גדולות מתרחשות בשנת 39.5 מתוך 100 שנה, אפשר לומר שהיא די קרובה לתוצאה בפועל של 47 שנים ללא רעידת אדמה גדולה.

בואו נשווה תוצאה אחרת של פויסון לתוצאות בפועל:

- הערך המתקבל של 36.7 פירושו שבתקופה של 37 שנים יש רעידת אדמה אחת גדולה. התוצאה בפועל היא שבתוך 31 שנה אירעה רעידת אדמה גדולה אחת, שתואמת את הדגם.

- צפויות 17.1 שנים עם 2 רעידות אדמה גדולות וידוע שבעוד 13 שנים, שזה ערך קרוב, היו אכן 2 רעידות אדמה גדולות.

לכן דגם פויסון מקובל במקרה זה.

תרגיל 2

חברה אחת מעריכה שמספר הרכיבים שנכשלו לפני שהגיעו ל 100 שעות פעילות עוקב אחר חלוקת פויסון. אם מספר הכשלים הממוצע הוא 8 באותה תקופה, מצא את ההסתברויות הבאות:

א) כי רכיב נכשל תוך 25 שעות.

ב) כישלון של פחות משני רכיבים, תוך 50 שעות.

ג) לפחות שלושה רכיבים נכשלים תוך 125 שעות.

פתרון ל)

א) ידוע כי ממוצע הכישלונות ב 100 שעות הוא 8, ולכן ב 25 שעות צפוי רבע כישלונות, כלומר 2 כישלונות. זה יהיה הפרמטר μ.

ההסתברות לכך שמרכיב אחד נכשל מתבקש, המשתנה האקראי הוא "רכיבים שנכשלים לפני 25 שעות" וערכו הוא y = 1. על ידי החלפת פונקציית ההסתברות:

עם זאת, השאלה היא ההסתברות שפחות משני רכיבים נכשלים תוך 50 שעות, ולא ששני רכיבים בדיוק נכשלים תוך 50 שעות, ולכן עלינו להוסיף את ההסתברויות ש:

-אין נכשלים

- כישלון 1 בלבד

הפרמטר μ של ההתפלגות במקרה זה הוא:

μ = 8 + 2 = 10 כשלים ב 125 שעות.

P (3 רכיבים ומעלה נכשלים) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

הפניות

1. מתמטיקה. התפלגות פואסון. התאושש מ: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. סטטיסטיקה לניהול וכלכלה. 3. מַהֲדוּרָה. Iberoamérica, עורכת גרופ.
3. סטט טרק. למד את עצמך סטטיסטיקה. התפלגות פואסון. התאושש מ: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. סטטיסטיקה אלמנטרית. י"א. חינוך עורכת דין פירסון.
5. ויקיפדיה. התפלגות פואסון. התאושש מ: en.wikipedia.org