מהירות מיידית: הגדרה, נוסחה, חישוב ותרגילים - גוּפָנִי - 2025

המהירות הרגעית מוגדרת השינוי המיידי של שינוי הזמן. זהו מושג שמוסיף דיוק רב לחקר התנועה. וזה מקדמה ביחס למהירות הממוצעת, שהמידע שלה מאוד כללי.

כדי להשיג את המהירות המיידית, בואו נסתכל על מרווח זמן קטן ככל האפשר. חשבון דיפרנציאלי הוא הכלי המושלם לבטא רעיון זה באופן מתמטי.

מהירות מיידית מציגה את מהירות הנייד בכל נקודה בנסיעתו. מקור: Pixabay.

נקודת המוצא היא המהירות הממוצעת:

גבול זה ידוע כנגזרת. בסימון החישוב ההפרש יש לנו:

כל עוד התנועה מוגבלת לקו ישר, ניתן לוותר על סימון הווקטור.

חישוב המהירות המיידית: פרשנות גיאומטרית

האיור הבא מראה את הפרשנות הגיאומטרית של המושג הנגזר: זהו שיפוע קו המשיק לעיקול x (t) לעומת t בכל נקודה.

המהירות המיידית ב- P שווה מבחינה מספרית למדרון של קו המשיק לעיקול x לעומת t בנקודה P. מקור: מקור: す じ に く シ チ ュ ー.

אתה יכול לדמיין כיצד להשיג את הגבול אם נקודה Q ניגשת מעט לאט לנקודה P. יהיה רגע בו שתי הנקודות קרובות כל כך, שלא תוכל להבדיל זו מזו.

הקו שמצטרף אליהם יעבור אז מלהיות בטוחה (קו המצטלב בשתי נקודות) להיות משיק (קו שנוגע לעיקול בנקודה אחת בלבד). לכן, כדי למצוא את המהירות המיידית של חלקיק נע אנו צריכים להיות:

• הגרף של מיקום החלקיק כפונקציה של הזמן. אנו מוצאים את שיפוע קו המשיק לעיקול בכל רגע של זמן, ויש לנו את המהירות המיידית בכל נקודה שהחלקיק תופס.

נו טוב:

• פונקציית המיקום של החלקיק x (t), הנגזרת לקבלת פונקציית המהירות v (t), ואז פונקציה זו מוערכת בכל פעם t, בנוחות. ההנחה היא כי פונקציית המיקום יכולה להיות מובחנת.

כמה מקרים מיוחדים בחישוב המהירות המיידית

שיפוע קו המשיק לעיקול P הוא 0. שיפוע אפס פירושו שהמובייל נעצר וכי המהירות שלו היא כמובן 0.

-השיפוע של קו המשיק לעיקול ב P גדול מ 0. המהירות חיובית. בתרשים למעלה פירוש הדבר שהנייד מתרחק מ- O.

-השיפוע של קו המשיק לעיקול ב P הוא פחות מ 0. המהירות תהיה שלילית. בתרשים לעיל, אין נקודות כאלה, אך במקרה זה החלקיק יתקרב ל- O.

-השיפוע של קו המשיק לעיקול קבוע ב P ובכל שאר הנקודות. במקרה זה הגרף הוא קו ישר והנייד בעל תנועה ישראלית אחידה MRU (המהירות שלו קבועה).

באופן כללי הפונקציה v (t) היא גם פונקציה של זמן, שבתורה יכולה להיות נגזרת. מה אם לא ניתן היה למצוא את הנגזרים של הפונקציות x (t) ו- v (t)?

במקרה של x (t) יכול להיות שהשיפוע - המהירות המיידית - משתנה בפתאומיות. או שזה יעבור מאפס לערך אחר באופן מיידי.

אם כן, הגרף x (t) יציג נקודות או פינות במקומות של שינויים פתאומיים. שונה מאוד מהמקרה המיוצג בתמונה הקודמת, בו העקומה x (t) היא עקומה חלקה, ללא נקודות, פינות, הפסקות או שינויים פתאומיים.

האמת היא שלמוביילים אמיתיים, העקומות החלקות הן אלה שמייצגות בצורה הטובה ביותר את התנהגות האובייקט.

התנועה באופן כללי מורכבת למדי. ניתן לעצור את הניידים לזמן מה, להאיץ ממנוחה כדי לקבל מהירות ולהתרחק מנקודת ההתחלה, לשמור על מהירות לזמן מה, ואז לבלום לעצור שוב וכן הלאה.

שוב הם יכולים להתחיל שוב ולהמשיך באותו כיוון. הפעילו את ההפך והחזרו. זה נקרא תנועה מגוונת בממד אחד.

להלן מספר דוגמאות לחישוב המהירות המיידית, יבהירו את השימוש בהגדרות הנתונות:

נפתרו תרגילים במהירות מיידית

תרגיל 1

חלקיק נע בקו ישר עם חוק התנועה הבא:

כל היחידות נמצאות במערכת הבינלאומית. למצוא:

א) מיקום החלקיק בזמן t = 3 שניות.

ב) המהירות הממוצעת במרווח שבין t = 0 שניות ו- t = 3 שניות.

ג) המהירות הממוצעת במרווח שבין t = 0 שניות ו- t = 3 שניות.

ד) המהירות המיידית של החלקיק מהשאלה הקודמת, ב t = 1 שניות.

תשובות

א) כדי למצוא את מיקום החלקיק, חוק התנועה (פונקצית המיקום) מוערך ב t = 3:

x (3) = (-4/3) .3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6.3 - 10 מ '= -10 מ'

אין שום בעיה שהעמדה שלילית. השלט (-) מציין כי החלקיק נמצא משמאל למוצא O.

ב) בחישוב המהירות הממוצעת נדרשים המיקומים הסופיים וההתחלתיים של החלקיק בזמנים הנקובים: x (3) ו- x (0). המיקום t = 3 הוא x (3) וידוע מהתוצאה הקודמת. המיקום t = 0 שניות הוא x (0) = -10 מ '.

מכיוון שהמיקום הסופי זהה למיקום ההתחלתי, ניתן להסיק מיד כי המהירות הממוצעת היא 0.

ג) המהירות הממוצעת היא היחס בין המרחק שנוסע לזמן שנדרש. כעת, המרחק הוא המודול או גודל העקירה, לכן:

מרחק = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 מ '

שימו לב שהמרחק שנמשך הוא תמיד חיובי.

v _{m = 20 m / 3 s = 6.7 m / s}

ד) כאן יש צורך למצוא את הנגזרת הראשונה של המשרה ביחס לזמן. ואז זה מוערך למשך t = 1 שניה.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4.1 ² + 4.1 + 6 m / s = 6 m / s

תרגיל 2

להלן הגרף של מיקום הנייד כפונקציה של הזמן. מצא את המהירות המיידית בזמן t = 2 שניות.

גרף המיקום לעומת הזמן לנייד. מקור: תוצרת עצמית.

תשובה

צייר את קו המשיק לעיקול ב t = 2 שניות, ואז מצא את השיפוע שלו, לוקח שתי נקודות על הקו.

כדי לחשב את המהירות המיידית בנקודה המצוינת, צייר את קו המשיק לאותה נקודה ומצא את שיפועו. מקור: תוצרת עצמית.

בדוגמה זו ניקח שתי נקודות שמדמיות בקלות, שקואורדינטות שלהן (2 שניות, 10 מ ') והחתך עם הציר האנכי (0 ש', 7 מ '):

הפניות

1. ג'יאנקולי, ד. פיסיקה. עקרונות עם יישומים. 6 ^th Edition. אולם פרנטיס. 22-25.
2. רזניק, ר '(1999). גוּפָנִי. כרך 1. מהדורה שלישית בספרדית. מקסיקו. Compañía עריכה קונטיננטל SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). פיסיקה למדע והנדסה. כרך 1. 7 ^מא . מַהֲדוּרָה. מקסיקו. עורכי לימוד Cengage. 23-25.