מהירות זווית ממוצעת: הגדרה ונוסחאות, תרגילים שנפתרו - גוּפָנִי - 2025

מהירות זוויתית הממוצעת של סיבוב מוגדרת זווית סיבוב ליחידה זמן של וקטור המיקום של נקודה מתאר תנועה מעגלית. הלהבים של מאוורר התקרה (כמו זה שמוצג באיור 1), עוקבים אחר תנועה סיבובית ומהירות הסיבוב הזוויתית הממוצעת שלהם מחושבת על ידי לקיחת המנה בין הזווית המסתובבת לזמן בו נסעה זווית זו.

הכללים לפיהם התנועה הסיבובית מקיימת דומים במקצת לכללים המוכרים לתנועה תרגומית. ניתן למדוד את המרחקים שנסעו גם במטרים, אולם עוצמת הזווית רלוונטית במיוחד מכיוון שהם מקלים מאוד על תיאור התנועה.

איור 1. להבי המאוורר מהירים בזווית. מקור: Pixabay

באופן כללי, אותיות יווניות משמשות לכמויות זוויתיות ואותיות לטיניות לכמויות הליניאריות המתאימות.

הגדרה ונוסחאות

באיור 2 מיוצגת תנועת נקודה בנתיב מעגלי c. המיקום P של הנקודה תואם את הרגע t והמיקום הזוויתי המתאים לאותו רגע הוא ϕ.

מהרגע המיידי, חלף פרק זמן זה. באותה תקופה המיקום החדש של הנקודה הוא P 'והמיקום הזוויתי גדל בזווית Δϕ.

איור 2. תנועה מעגלית של נקודה. מקור: תוצרת עצמית

המהירות הזוויתית הממוצעת ω היא הזווית הנסעה ליחידת זמן, ולכן המנה Δϕ / Δt ייצג את המהירות הזוויתית הממוצעת בין זמנים t ו- t + Δt:

מכיוון שזווית נמדדת ברדיאנים וזמן בשניות, היחידה למהירות זווית ממוצעת היא rad / s. אם אנו רוצים לחשב את מהירות הזווית בדיוק ברגע t, נצטרך לחשב את היחס Δϕ / Δt כאשר Δt ➡0.

סיבוב אחיד

תנועה סיבובית אחידה אם בכל רגע שנצפה, הזווית הנסועה זהה באותה פרק זמן. אם הסיבוב אחיד, אז מהירות הזווית בכל רגע עולה בקנה אחד עם המהירות הזוויתית הממוצעת.

בתנועה סיבובית אחידה הזמן בו מתבצעת מהפכה שלמה נקרא התקופה ומסומן על ידי ט.

בנוסף, כאשר מתבצעת סיבוב שלם, הזווית הנסעה היא 2π, ולכן בסיבוב אחיד המהירות הזוויתית ω קשורה לתקופה T, על ידי הנוסחה הבאה:

התדר f של סיבוב אחיד מוגדר כמניין בין מספר הסיבובים לזמן המשמש לעבור אותם, כלומר אם סיבובי N נעשים בזמן Δt אז התדר יהיה:

f = N / Δt

מכיוון שסיבוב אחד (N = 1) נסע בזמן T (התקופה), מתקבל הקשר הבא:

f = 1 / T

כלומר, בסיבוב אחיד המהירות הזוויתית קשורה לתדר דרך הקשר:

ω = 2π ・ f

הקשר בין מהירות זוויתית למהירות ליניארית

המהירות הלינארית v, היא המניין שבין המרחק שנוסע לזמן שנדרש לנסוע בו. באיור 2 המרחק שנמשך הוא אורך הקשת.

הקשת היא פרופורציונלית לזווית הנסועה traveled והרדיוס r, כאשר הקשר הבא מתקיים:

Δs = r ・ Δϕ

בתנאי ש- measured נמדד ברדיאנים.

אם נחלק את הביטוי הקודם לפי חלוף הזמן Δt נקבל:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

המנה של החבר הראשון היא המהירות הלינארית, והמנה של החבר השני הוא המהירות הזוויתית הממוצעת:

v = r ・ ω

תרגילים שנפתרו

-תרגיל 1

קצות להבי מאוורר התקרה המוצגים באיור 1 נעים במהירות של 5 מ '/ שניה והלהבים ברדיוס של 40 ס"מ.

בעזרת נתונים אלה, חישוב: i) המהירות הזוויתית הממוצעת של הגלגל, ii) מספר הסיבובים שהגלגל מבצע בשנייה אחת, iii) התקופה בשניות.

פִּתָרוֹן

i) המהירות הליניארית היא v = 5 m / s.

הרדיוס הוא r = 0.40 מ '.

מהקשר בין מהירות לינארית למהירות זוויתית אנו פותרים את האחרון:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0.40 מ ') = 12.57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12.57 rad / s) / (2π rad) = 2 סיבוב / ש

iii) T = 1 / f = 1 / (2 סיבוב / שניות) = 0.5 שניות לכל סיבוב.

- תרגיל 2

טיולון צעצועים נע על מסילה מעגלית ברדיוס של 2 מ '. בשעה 0 המיקום הזוויתי שלה הוא 0 rad, אך לאחר הזמן t המיקום הזוויתי שלו הוא

φ (t) = 2 ・ t.

עם הנתונים האלה

i) חשב את מהירות הזווית הממוצעת בפרקי הזמן הבאים: ; ולבסוף בזמן הפיגוע.

ii) בהתבסס על תוצאות חלק i) מה ניתן לומר על התנועה?

iii) קבע את המהירות הממוצעת ליניארית באותה פרק זמן מחלק i)

iv) מצא את המהירות הזוויתית ואת המהירות הקווית בכל רגע.

פִּתָרוֹן

i) המהירות הזוויתית הממוצעת ניתנת על ידי הנוסחה הבאה:

אנו ממשיכים בחישוב הזווית שנסעה וחלוף הזמן שחלף בכל מרווח.

מרווח 1: Δϕ = ϕ (0.5 שניות) - ϕ (0.0 שניות) = 2 (rad / s) * 0.5s - 2 (rad / s) * 0.0s = 1.0 rad

Δt = 0.5s - 0.0s = 0.5s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

מרווח 2: Δϕ = ϕ (1.0 שניות) - ϕ (0.5 שניות) = 2 (rad / s) * 1.0s - 2 (rad / s) * 0.5s = 1.0 rad

=t = 1.0s - 0.5s = 0.5s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

מרווח 3: Δϕ = ϕ (1.5 שניות) - ϕ (1.0 שניות) = 2 (רד / ש) * 1.5 ש '- 2 (רד / ש) * 1.0 ש' = 1.0 רד

Δt = 1.5s - 1.0s = 0.5s

ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

מרווח 4: Δϕ = ϕ (1.5 שניות) - ϕ (0.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s - 2 (rad / s) * 0.0s = 3.0 rad

Δt = 1.5s - 0.0s = 1.5s

ω = Δϕ / Δt = 3.0rad / 1.5s = 2.0 rad / s

ii) לאור התוצאות הקודמות, בהן מחושב המהירות הזוויתית הממוצעת בפרקי זמן שונים, תוך קבלת תמיד אותה תוצאה, נראה שזה מצביע על היותה תנועה מעגלית אחידה. עם זאת, תוצאות אלה אינן חד משמעיות.

הדרך להבטיח את המסקנה היא לחשב את מהירות הזווית הממוצעת למרווח שרירותי: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2.0 rad / s

המשמעות היא שלעגלת הצעצועים מהירות זווית ממוצעת קבועה של 2 רד / ש 'בכל פרק זמן שנחשב. אבל אתה יכול ללכת רחוק יותר אם מחשבים את המהירות הזוויתית המיידית:

זה מתפרש כך שלמכונית הצעצועים יש כל הזמן מהירות זווית קבועה = 2 רד / ש.

הפניות

1. ג'יאנקולי, ד. פיסיקה. עקרונות עם יישומים. מהדורה 6. אולם פרנטיס. 30- 45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. פיזיקה: מבט על העולם. 6 ^ta עריכה מקוצרת. לימוד Cengage. 117.
3. רזניק, ר '(1999). גוּפָנִי. כרך 1. מהדורה שלישית בספרדית. מקסיקו. Compañía עריכה קונטיננטל SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). פיסיקה למדע והנדסה. כרך 1. 7. מַהֲדוּרָה. מקסיקו. עורכי לימוד Cengage. 32-55.
5. ויקיפדיה. מהירות זוויתית. התאושש מ: wikipedia.com