מהירות זוויתית: הגדרה, נוסחה, חישוב ותרגילים - גוּפָנִי - 2025

המהירות הזוויתית היא מדד את מהירות סיבוב ואת מוגדרת הזווית שמסתובבת וקטור המיקום של האובייקט מסתובב, ליחידת זמן. זהו גודל המתאר היטב את תנועתם של ריבוי חפצים המסתובבים ללא הפסקה לכל מקום: תקליטורים, גלגלי מכוניות, מכונות, כדור הארץ ורבים אחרים.

באיור הבא ניתן לראות תרשים של "העין של לונדון". הוא מייצג את תנועת הנוסע המיוצג על ידי נקודה P, העוקבת אחר המסלול המעגלי, הנקרא c:

ייצוג סכמטי של השביל המעגלי שעוקב אחר הנוסע של "העין בלונדון". מקור: תוצרת עצמית.

הנוסע תופס את מיקום P ברגע t והמיקום הזוויתי המתאים לאותו רגע הוא ϕ.

מהרגע המיידי, חלף פרק זמן זה. בתקופה זו המיקום החדש של הנוסע הדייק הוא P 'והתנוחה הזוויתית גדלה בזווית Δϕ.

כיצד מחשבים את המהירות הזוויתית?

בכמויות סיבוביות משתמשים באותיות יווניות באופן נרחב כדי להבדיל ביניהן מכמויות לינאריות. אז בתחילה המהירות הזוויתית הממוצעת ω _m מוגדרת כזווית הנסעה בפרק זמן נתון.

ואז המניין Δϕ / Δt ייצג את המהירות הזוויתית הממוצעת ω _m בין מיידיות t ו- t + Δt.

אם אתה רוצה לחשב את מהירות הזווית בדיוק ברגע t, עליך לחשב את היחס Δϕ / Δt כאשר Δt ➡0:

הקשר בין מהירות לינארית לזוויתית

המהירות הלינארית v, היא המניין שבין המרחק שנוסע לזמן שנדרש לנסוע בו.

באיור שלמעלה, הקשת הנסעה היא בסגנון זה. אולם קשת זו פרופורציונלית לזווית הנסעה והרדיוס, כאשר הקשר הבא מתקיים, אשר תקף כל עוד נמדד Δϕ ברדיאנים:

Δs = r ・ Δϕ

אם נחלק את הביטוי הקודם לפי חלוף הזמן andt ונקבל את המגבלה כאשר Δt ➡0, נקבל:

v = r ・ ω

תנועה סיבובית אחידה

בתמונה הוא 'העין הלונדונית' המפורסמת, גלגל מסתובב בגובה 135 מ 'שמסתובב לאט כדי שאנשים יוכלו לעלות על הבקתות בבסיסו וליהנות מהנוף הלונדוני. מקור: Pixabay.

תנועה סיבובית אחידה אם בכל רגע שנצפה, הזווית הנסועה זהה באותה פרק זמן.

אם הסיבוב אחיד, אז מהירות הזווית בכל רגע עולה בקנה אחד עם המהירות הזוויתית הממוצעת.

יתר על כן, כאשר מתבצעת פנייה שלמה, הזווית הנסעה היא 2π (שווה ערך ל 360 מעלות). לכן בסיבוב אחיד המהירות הזוויתית ω קשורה לתקופה T, על ידי הנוסחה הבאה:

f = 1 / T

כלומר, בסיבוב אחיד, המהירות הזוויתית קשורה לתדר על ידי:

ω = 2π ・ f

פתרו בעיות במהירות הזוויתית

תרגיל 1

בקתות הגלגל המסתובב הגדול המכונה "עין לונדון" נעות באטיות. מהירות המוניות היא 26 ס"מ / ש 'והגלגל בקוטר 135 מ'.

בעזרת נתונים אלה חישוב:

i) מהירות הזווית של הגלגל

ii) תדר הסיבוב

iii) הזמן שלוקח לתא לפנות מלא.

תשובות:

i) המהירות v במ"מ / שניות היא: v = 26 ס"מ / ש = 0.26 מטר / שניות.

הרדיוס הוא חצי הקוטר: r = (135 מ ') / 2 = 67.5 מ'

v = r ・ ω => ω = v / r = (0.26 m / s) / (67.5 m) = 0.00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0.00385 rad / s) / (2π rad) = 6.13 x 10 ^-4 סיבוב / ש

f = 6.13 x 10 ^ -4 סיבוב / שניות = 0.0368 סיבוב / דקה = 2.21 סיבוב לשעה.

iii) T = 1 / f = 1 / 2.21 הברגה / שעה = 0.45311 שעה = 27 דקות 11 שניות

תרגיל 2

מכונית צעצוע נעה על מסילה מעגלית ברדיוס של 2 מ '. בשעה 0 s המיקום הזוויתי שלה הוא 0 rad, אך לאחר זמן t המיקום הזוויתי שלו ניתן על ידי:

φ (t) = 2 ・ t

לקבוע:

i) המהירות הזוויתית

ii) המהירות הקווית בכל רגע.

תשובות:

i) המהירות הזוויתית היא הנגזרת של המיקום הזוויתי: ω = φ '(t) = 2.

במילים אחרות, לרכב הצעצועים יש כל הזמן מהירות זוויתית קבועה השווה ל- 2 רד / ש.

ii) המהירות הקווית של המכונית היא: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14.4 קמ"ש

תרגיל 3

אותה מכונית מהתרגיל הקודם מתחילה לעצור. המיקום הזוויתי שלה כפונקציה של הזמן ניתן על ידי הביטוי הבא:

φ (t) = 2 ・ t - 0.5 ・ t ²

לקבוע:

i) מהירות הזווית בכל רגע

ii) המהירות הקווית בכל רגע

iii) הזמן שלוקח להפסיק מהרגע שהוא מתחיל להאט

iv) הזווית נסעה

v) מרחק נסע

תשובות:

i) המהירות הזוויתית היא הנגזרת של המיקום הזוויתי: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0.5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) המהירות הקווית של המכונית בכל רגע נתון על ידי:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) הזמן שלוקח לעצור מהרגע שהוא מתחיל להאט, נקבע על ידי הכרת הרגע בו המהירות v (t) הופכת לאפס.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

המשמעות היא שהיא נעצרת 2 שניות לאחר שהתחילה לבלום.

iv) בתקופה של 2 שניות מרגע שהוא מתחיל לבלום עד שהוא נעצר, נסעת זווית שניתנה על ידי φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0.5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114.6 מעלות

v) בתקופה של 2 שניות מתחילת הבלימה עד העצירה, נסע מרחק s הנתון על ידי:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

תרגיל 4

גלגלי המכונית בקוטר 80 ס"מ. אם המכונית נוסעת במהירות של 100 קמ"ש. מצא: i) מהירות סיבוב הזווית של הגלגלים, ii) תדירות סיבוב הגלגלים, iii) מספר הסיבובים שהגלגל מבצע בנסיעה של שעה.

תשובות:

i) קודם כל אנו הולכים להמיר את מהירות המכונית מקמ"ש לשעה / שניה

v = 100 קמ"ש = (100 / 3.6) m / s = 27.78 m / s

מהירות הסיבוב הזוויתית של הגלגלים ניתנת על ידי:

ω = v / r = (27.78 מ / ש) / (0.4 מ ') = 69.44 ראד / ש

ii) תדירות הסיבוב של הגלגלים ניתנת על ידי:

f = ω / 2π = (69.44 rad / s) / (2π rad) = 11.05 סיבוב / שניות

תדר הסיבוב מתבטא בדרך כלל בסיבובים לדקה סל"ד

f = 11.05 סיבוב / ש = 11.05 סיבוב / (1/60) דק '= 663.15 סל"ד

iii) מספר ההקפות שהגלגל מבצע בנסיעה של כשעה מחושב בידיעה ששעה = 60 דקות וכי התדר הוא מספר ההקפות N חלקי הזמן בו נעשות הקפות N אלה.

f = N / t => N = f ・ t = 663.15 (סיבוב / דקה) x 60 דק '= 39788.7 סיבובים.

הפניות

1. ג'יאנקולי, ד. פיסיקה. עקרונות עם יישומים. מהדורה 6. אולם פרנטיס. 106-108.
2. רזניק, ר '(1999). גוּפָנִי. כרך 1. מהדורה שלישית בספרדית. מקסיקו. Compañía עריכה קונטיננטל SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). פיסיקה למדע והנדסה. כרך 1. 7. מַהֲדוּרָה. מקסיקו. עורכי לימוד Cengage. 84-85.
4. geogebra.org