וקטורים חופשיים: תכונות, דוגמאות, תרגילים - גוּפָנִי - 2025

וקטורים חינם הם אלה שצוינו באופן מלא על ידי הגודל, הכיוון והתחושה שלה, מבלי להיות הכרחי כדי להצביע על נקודה של יישום או ממוצא מסוים.

מכיוון שניתן לצייר וקטורים אינסופיים בצורה זו, וקטור חופשי אינו יישות יחידה, אלא קבוצה של וקטורים מקבילים וזהים שאינם תלויים היכן הם נמצאים.

איור 1. וקטורים חופשיים שונים. מקור: תוצרת עצמית.

נניח שיש לנו כמה וקטורים בעוצמה 3 המכוונים אנכית כלפי מעלה, או בעוצמה 5 והם נוטים ימינה, כמו באיור 1.

אף אחד מהווקטורים הללו אינו מיושם ספציפית בשום שלב. ואז כל אחד מהווקטורים הכחולים או הירוקים מייצג את הקבוצה שלהם בהתאמה, שכן המאפיינים שלהם - מודול, כיוון ותחושתם - אינם משתנים כלל כאשר הם מועברים למקום אחר במטוס.

וקטור חופשי מצוין בדרך כלל בטקסט מודפס על ידי אותיות קטנות וקטנות, למשל v. או עם אותיות קטנות וחץ מעליו אם זה כתוב בכתב יד .

היתרון שיש לווקטורים חופשיים הוא בכך שהם יכולים להיות מועברים דרך המטוס או דרך החלל ולשמור על תכונותיהם, מכיוון שכל נציג של הסט תקף באותה מידה.

זו הסיבה שבפיזיקה והמכניקה משתמשים בהן לעתים קרובות. לדוגמה, כדי לציין את המהירות הליניארית של מוצק נע, אין הכרח לבחור נקודה מסוימת על העצם. אז וקטור המהירות מתנהג כמו וקטור חופשי.

דוגמא נוספת לווקטור חופשי היא צמד הכוחות. זוג מורכב משני כוחות בעלי גודל וכיוון שווים, אך מכיוונים מנוגדים, המופעלים בנקודות שונות על מוצק. ההשפעה של בני זוג היא לא להזיז את האובייקט, אלא לגרום לסיבוב בזכות הרגע המיוצר.

איור 2 מראה כמה כוחות המופעלים על ההגה. באמצעות הכוחות F ₁ ו- F ₂ נוצר מומנט המסובב את גלגל התנופה סביב מרכזו ובכיוון השעון.

איור 2. איור 2. כמה כוחות המופעלים על ההגה מעניקים לו סיבוב בכיוון השעון. מקור: בילסקו.

אתה יכול לבצע כמה שינויים במומנט ועדיין לקבל את אותו אפקט מסתובב, למשל להגדיל את הכוח, אך להקטין את המרחק ביניהם. או שמרו על הכוח והמרחק, אך הפעילו את המומנט על זוג נקודות נוסף על ההגה, כלומר סובבו את המומנט סביב המרכז.

הרגע של הזוג או פשוט הזוג, הוא וקטור שמודולוסו הוא Fd ומכוון בניצב למישור גלגל התנופה. בדוגמה המוצגת על ידי המוסכמה לסיבוב עם כיוון השעון יש כיוון שלילי.

מאפיינים ומאפיינים

לעומת הווקטור החופשי v, הווקטורים AB ו- CD קבועים (ראה איור 3) מכיוון שיש להם נקודת התחלה ונקודת הגעה. אך מכיוון שהם מקשרים זה עם זה בצוות, ובתורם עם הווקטור v , הם מייצגים את הווקטור החופשי v .

איור 3. איורים 3. וקטורים חופשיים, וקטורי עדשות צוות וקטורים קבועים. מקור: תוצרת עצמית.

המאפיינים העיקריים של וקטורים חופשיים הם הבאים:

-כל וקטור AB (ראה איור 2) הוא, כאמור, נציג של הווקטור החופשי v .

-המודול, הכיוון והתחושה זהים בכל נציג של הווקטור החופשי. באיור 2, הווקטורים AB ו- CD מייצגים את הווקטור החופשי v והם בעלי עדשות צוות.

-תן נקודה P בחלל, תמיד ניתן למצוא נציג של הווקטור החופשי v שמקורו ב- P ונציג זה הוא ייחודי. זהו המאפיין החשוב ביותר של וקטורים חופשיים וזה שהופך אותם לכל כך מגוונים.

-ווקטור חופשי null מצוין כ- 0 והוא קבוצת כל הווקטורים חסרי גודל, כיוון וחוש.

אם הווקטור AB מייצג את הווקטור החופשי v , ואז הווקטור BA מייצג את הווקטור החופשי - v .

-הציון V ^{3 ישמש} לייעוד הסט של כל הווקטורים החופשיים בחלל ו- V ² לייעוד כל הווקטורים החופשיים במטוס.

תרגילים שנפתרו

בעזרת וקטורים חופשיים ניתן לבצע את הפעולות הבאות:

-סְכוּם

-חִסוּר

- ריבוי סקלרים על ידי וקטור

-מוצר סקלרי בין שני ווקטורים.

מוצר חוצה בין שני ווקטורים

שילוב וקטורים לינארי

ועוד.

-תרגיל 1

סטודנט מנסה לשחות מנקודה אחת על גדת נהר לאחרת שנמצאת ממש ממול. כדי להשיג זאת, הוא שוחה ישירות במהירות של 6 קמ"ש, בכיוון בניצב. עם זאת, לזרם מהירות של 4 קמ"ש המסיטה אותו.

חשב את מהירות התוצאה של השחיין וכמה הוא מוסט על ידי הזרם.

פִּתָרוֹן

המהירות המתקבלת של השחיין היא סכום הווקטוריות של מהירותו (ביחס לנהר, נמשך אנכית כלפי מעלה) ומהירות הנהר (נמשך משמאל לימין), המתבצע כמצוין בתמונה למטה:

עוצמת המהירות המתקבלת תואמת את מתאם המשולש הימני המוצג, לכן:

v = (6 ² + 4 ² ) ^½ קמ"ש = 7.2 קמ"ש

ניתן לחשב את הכיוון לפי הזווית ביחס לניצב לחוף:

α = arctg (4/6) = 33.7º או 56.3º ביחס לחוף.

תרגיל 2

מצא את רגע צמד הכוחות המוצג בתמונה:

פִּתָרוֹן

הרגע מחושב על ידי:

M = r x F

יחידות הרגע הן lb-f.ft. מכיוון שהזוג נמצא במטוס המסך, הרגע מופנה בניצב אליו, כלפי חוץ או כלפי פנים.

מכיוון שהמומנט בדוגמה נוטה לסובב את האובייקט עליו הוא מוחל (שאינו מוצג באיור) בכיוון השעון, הרגע הזה נחשב כמצביע לכיוון פנים המסך ועם סימן שלילי.

גודל הרגע הוא M = Fdsen a, כאשר a הוא הזווית בין הכוח לווקטור r. אתה צריך לבחור נקודה ביחס לחישוב הרגע שהוא וקטור חופשי. מקור מקור מערכת ההתייחסות נבחר, ולכן r עוברת מ- O לנקודת היישום של כל כוח.

M ₁ = M ₂ = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60 מעלות ל"פ. ft = -8660.3 lb-f. כף רגל

ברגע נטו הוא הסכום של M ₁ ו- M ₂ : -17,329.5 lb-F. כף רגל.

הפניות

1. בארדון, ט. 2011. מבוא לווקטורים. התאושש מ: nrich.maths.org.
2. Bedford, 2000. A. מכניקה הנדסית: סטטיקה. אדיסון ווסלי. 38-52.
3. Figueroa, D. סדרה: פיזיקה למדעים והנדסה. כרך 1. קינמטיקה. 31-68.
4. גוּפָנִי. מודול 8: וקטורים. התאושש מ: frtl.utn.edu.ar
5. Hibbeler, R. 2006. מכניקה למהנדסים. סטָטִי מהדורה 6. חברת הוצאת קונטיננטל. 15-53.
6. מחשבון תוספת וקטורית. התאושש מ: 1728.org
7. וקטורים. התאושש מ: en.wikibooks.org