וקטורים במרחב: כיצד לתרשים, יישומים, תרגילים - גוּפָנִי - 2025

וקטור בחלל הוא כל כך מיוצג על ידי מערכת קואורדינטות שנתן x, y ו- z. רוב הזמן מישור ה- xy הוא משטח השטח האופקי וציר ה- z מייצג את הגובה (או העומק).

צירי הקואורדינציה הקרטזית המוצגים באיור 1 מחלקים את החלל ל 8 אזורים הנקראים אוקטנטים, בדומה לאופן בו צירי ה- x - y מחלקים את המישור ל -4 ריבועים. לאחר מכן יהיה לנו אוקטנט ראשון, אוקטנט שני וכן הלאה.

איור 1. וקטור בחלל. מקור: תוצרת עצמית.

איור 1 מכיל ייצוג של וקטור v בחלל. נקודת מבט מסוימת נדרשת כדי ליצור אשליה של שלושה ממדים על מישור המסך, אשר מושגת על ידי ציור מבט אלכסוני.

כדי לתאר גרף של וקטור תלת ממדי, יש להשתמש בקווים המנוקדים הקובעים על הרשת את הקואורדינטות של ההקרנה או "הצל" של v על משטח ה- xy. השלכה זו מתחילה ב- O ומסתיימת בנקודה הירוקה.

כשמגיעים לשם, אתה צריך להמשיך לאורך האנכי לגובה הדרוש (או העומק) בהתאם לערך של z, עד שתגיע לפ '. הווקטור נמשך החל מ- O ומסתיים ב- P, שבדוגמא הוא באוקטנט הראשון.

יישומים

וקטורים בחלל נמצאים בשימוש נרחב במכניקה ובענפים אחרים של פיזיקה והנדסה, שכן המבנים הסובבים אותנו דורשים גיאומטריה בשלושה ממדים.

וקטורי מיקום בחלל משמשים למיקום אובייקטים ביחס לנקודת ייחוס הנקראת המקור OR ולכן הם גם כלים נחוצים בניווט, אך זה לא הכל.

כוחות הפועלים על מבנים כמו ברגים, סוגריים, כבלים, תמוכות ועוד, הם וקטוריים באופיים ומכוונים בחלל. בכדי לדעת את השפעתו, יש לדעת את הכתובת שלה (וגם את נקודת היישום שלה).

ולעתים קרובות ידוע כיוון הכוח על ידי הכרת שתי נקודות בחלל השייכות לקו הפעולה שלו. בדרך זו הכוח הוא:

F = F u

איפה F הוא הגודל או גודל הכח ואת u הוא הווקטור היחיד (מודול 1) בבימויו לאורך קו פעולת F .

תוויות וייצוגים וקטוריים תלת-ממדיים

לפני שנמשיך לפתור כמה דוגמאות, נסקור בקצרה את סימון הווקטור התלת-ממדי.

בדוגמה באיור 1, לווקטור v, שנקודת המוצא שלו עולה בקנה אחד עם המקור O וסופו נקודה P, יש קואורדינטות xyz חיוביות, בעוד שקואורדינטת ה- y שלילית. הקואורדינטות הללו הן: x ₁ , y ₁ , z ₁ , שהם בדיוק הקואורדינטות של P.

כך שאם יש לנו וקטור המקושר למקור, כלומר שנקודת המוצא שלו עולה בקנה אחד עם O, קל מאוד לציין את הקואורדינטות שלו, שיהיו אלה של הנקודה הקיצונית או פ. כדי להבדיל בין נקודה לקטור, נשתמש בכדי ל האותיות והסוגריים האחרונים הנועזים, ככה:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

בעוד הנקודה P מציינת בסוגריים:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

ייצוג אחר עושה שימוש בווקטורי היחידה i , j ו- k המגדירים את שלושת כיווני המרחב בצירי x, y ו- z בהתאמה.

וקטורים אלה בניצב זה לזה ויוצרים בסיס אורתונורמלי (ראה איור 2). משמעות הדבר היא שניתן לכתוב וקטור תלת מימדי במונחים שלם כ:

v = v _x i + v _y j + v _z k

זוויות ובמאי קוסמוסים של וקטור

איור 2 מראה גם את זוויות הבימוי γ ₁ , γ ₂ ו- γ ₃ שהווקטור v מייצר בהתאמה עם צירי x, y ו- z. לדעת את הזוויות הללו ואת גודל הווקטור, זה נקבע לחלוטין. בנוסף, הקוסינוס של זוויות הבמאי פוגש את הקשר הבא:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

איור 2. וקטורי היחידה i, j ו- k קובעים את 3 כיווני המרחב המועדפים. מקור: תוצרת עצמית.

תרגילים שנפתרו

-תרגיל 1

באיור 2 הזוויות γ ₁ , γ ₂ ו- γ ₃ שהווקטור v של מודולוס 50 נוצר עם צירי הקואורדינטות הן בהתאמה: 75.0º, 60.0º ו- 34.3º. מצא את המרכיבים הקרטזיים של וקטור זה ומייצג אותו מבחינת וקטורי היחידה i , j ו- k .

פִּתָרוֹן

ההקרנה של הווקטור v על ציר ה- x היא v _x = 50. cos 75º = 12,941. באותו אופן, השלכת v על ציר y היא v _y = 50 cos 60 º = 25 ולבסוף על ציר z הוא v _z = 50. cos 34.3 º = 41.3. כעת ניתן לבטא v כ:

v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 k

- תרגיל 2

מצא את המתחים בכל אחד מהכבלים המחזיקים את הדלי בתמונה שנמצאת בשיווי משקל, אם משקלו הוא 30 N.

איור 3. תרשים מתח לתרגיל 2.

פִּתָרוֹן

על הדלי, תרשים הגוף החופשי מציין כי T _D (ירוק) מקזז את המשקל W (צהוב), ומכאן T _D = W = 30 N.

בצומת, הווקטור T _D מכוון אנכית כלפי מטה, ואז:

T _D = 30 (- k ) נ.

כדי לקבוע את המתחים שנותרו, בצע את הצעדים הבאים:

שלב 1: מצא את הקואורדינטות של כל הנקודות

A = (4.5,0,3) (A נמצא במישור הקיר xz)

B = (1.5,0,0) (B נמצא על ציר ה- x)

C = (0, 2.5, 3) (C נמצא על מישור הקיר ו- z)

D = (1.5, 1.5, 0) (D נמצא במישור ה- xy האופקי)

שלב 2: מצא את הווקטורים לכל כיוון על ידי חיסור הקואורדינטות של הסוף וההתחלה

DA = <3; -1.5; 3>

DC = <-1.5; אחד; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

שלב 3: חישוב מודולים וקטורי יחידות

וקטור יחידה מתקבל באמצעות הביטוי: u = r / r, כאשר r (ב מודגש) הוא הווקטור ו- r (ללא מודגש) הוא המודול של הווקטור האמור.

DA = (3 ² + (-1.5) ² + 3 ² ) ^½ = 4.5; DC = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3.5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>

u _DC = <-1.5; אחד; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>

u _DB = <0; -אחד; 0>

u _D = <0; 0; -1>

שלב 4: הביע את כל הלחצים כווקטורים

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0.67; -0.33; 0.67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0.43; 0.29; 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -אחד; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

שלב 5: החל את מצב שיווי המשקל הסטטי ופתור את מערכת המשוואות

לבסוף, מצב שיווי המשקל הסטטי מוחל על הדלי, כך שסכום הווקטור של כל הכוחות בצומת הוא אפס:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

מכיוון שהמתחים נמצאים בחלל, הדבר יביא למערכת של שלוש משוואות לכל רכיב (x, y ו- z) של המתח.

0.67 T _DA -0.43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0.33 T _DA + 0.29 T _DC - T _DB = 0

0.67 T _DA + 0.86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

הפיתרון הוא: T _DA = 14.9 N; T _DA = 23.3 N; T _DB = 1.82 N

הפניות

1. Bedford, 2000. A. מכניקה הנדסית: סטטיקה. אדיסון ווסלי. 38-52.
2. Figueroa, D. סדרה: פיזיקה למדעים והנדסה. כרך 1. קינמטיקה. 31-68.
3. גוּפָנִי. מודול 8: וקטורים. התאושש מ: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. מכניקה למהנדסים. סטָטִי מהדורה 6. חברת הוצאת קונטיננטל. 15-53.
5. מחשבון תוספת וקטורית. התאושש מ: 1728.org