וקטור שהתקבל: חישוב, דוגמאות, תרגילים - גוּפָנִי - 2025

וקטור וכתוצאה הוא אחד מתקבל על ידי פעולה עם וקטורים התוצאה שלה היא גם וקטורית. בדרך כלל פעולה זו היא סכום של שני וקטורים או יותר, באמצעותם מתקבל וקטור שהשפעתו שווה.

בדרך זו מתקבלים וקטורים כמו המהירות המתקבלת, האצה או כוח. לדוגמה, כאשר כמה כוחות F ₁ , F ₂ , F ₃ , … פועלים על גוף . הסכום הווקטורי של כל הכוחות הללו שווה לכוח הנקי (שהתוצאה) שמתבטא באופן מתמטי באופן הבא:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R או F _N

איור 1. משקל השלג מופץ על הגג וניתן להחליף את פעולתו בכוח שנוצר במקום המתאים במקום. מקור: Pixabay.

הווקטור המתקבל, בין אם זה כוחות או כל גודל וקטורי אחר, נמצא על ידי יישום כללי תוספת וקטור. מכיוון שלווקטורים יש כיוון וחוש, כמו גם ערך מספרי, זה לא מספיק להוסיף את המודולים כדי לקבל את הווקטור שהתקבל.

זה נכון רק במקרה בו הווקטורים המעורבים נמצאים באותו כיוון (ראו דוגמאות). אחרת, יש צורך להשתמש בשיטות סכום וקטורי, אשר בהתאם למקרה יכולות להיות גיאומטריות או אנליטיות.

דוגמאות

שיטות גיאומטריות למציאת הווקטור שנוצר הן שיטת המעבר ושיטת המקביל.

באשר לשיטות האנליטיות, יש את שיטת הרכיבים, באמצעותה ניתן למצוא את הווקטור הנובע ממערכת וקטורים כלשהי, כל עוד יש לנו את המרכיבים הקרטזיים שלו.

שיטות גאומטריות להוסיף שני ווקטורים

נניח שהווקטורים u ו- v (אנו מציינים אותם מודגשים כדי להבדיל אותם מהסקאלארים). באיור 2 א) אנו נמצאים אותם במטוס. באיור 2 ב) הוא תורגם לווקטור v באופן שמקורו חופף לסוף u . הווקטור שהתקבל עובר ממקור הראשון ( u ) לקצה האחרון ( v ):

איור 2. הווקטור שהתקבל מהסכום הגרפי של הווקטורים. מקור: תוצרת עצמית.

הדמות המתקבלת במקרה זה היא משולש (משולש הוא מצולע דו צדדי). אם יש לנו שני וקטורים באותו כיוון, ההליך זהה: מקם את אחד הווקטורים אחרי השני וצייר אחד העובר מהמקור או הזנב של הראשון לקצה או סוף האחרון.

שים לב כי הסדר בו מתבצע הליך זה אינו משנה, מכיוון שסכום הווקטורים הנו קומוטיטיבי.

שימו לב גם במקרה זה המודול (האורך או הגודל) של הווקטור המתקבל הוא סכום המודולים של הווקטורים שנוספו, בניגוד למקרה הקודם, בו המודול של הווקטור המתקבל הוא פחות מסכום של מודולים משתתפים.

שיטת מקבילית

שיטה זו מתאימה מאוד כשצריך להוסיף שני ווקטורים שנקודות המוצא שלהם חופפים, נניח, עם מקור מערכת קואורדינטות xy. נניח שזה המקרה עבור הווקטורים u ו- v (איור 3 א):

איור 3. איור 3. סכום של שני וקטורים בשיטת המקביל עם הווקטור המתקבל בצבע טורקיז. מקור: תוצרת עצמית.

באיור 3b) נבנה מקבילית בעזרת קווים מנוקדים המקבילים ל- u ו- v . הווקטור המתקבל מקורו ב- O וסופו בנקודה בה הקווים המנוקדים מצטלבים. הליך זה שווה לחלוטין לזה המתואר בסעיף הקודם.

תרגילים

-תרגיל 1

בהינתן הווקטורים הבאים, מצא את הווקטור שהתקבל בשיטת המעבר.

איור 4. איורים 4. וקטורים למציאת התוצאה שלהם בשיטה המצולעת. תרגיל 1. מקור: פירוט עצמי.

פִּתָרוֹן

שיטת המעבר היא הראשונה מבין השיטות שנראו. זכור כי סכום הווקטורים הוא קומוטטיבי (סדר התוספות לא משנה את הסכום), כך שתוכל להתחיל עם כל אחד מהווקטורים, למשל u (איור 5 א) או r (איור 5 ב):

איור 5. סכום הווקטורים בשיטה המצולעת. מקור: תוצרת עצמית.

נתון שהושג הוא מצולע ואת הווקטור וכתוצאה (בכחול) נקרא R . אם אתה מתחיל עם וקטור אחר, הצורה שנוצרת עשויה להיות שונה, כפי שמוצג בדוגמה, אך הווקטור שהתקבל זהה.

תרגיל 2

באיור הבא אנו יודעים שהמודולים של הווקטורים u ו- v בהתאמה הם u = 3 יחידות שרירותיות ו- v = 1.8 יחידות שרירותיות. הזווית שעושה u עם ציר ה- x החיובי היא 45 מעלות, ואילו v מייצרת 60 מעלות עם ציר ה- Y, ​​כפי שניתן לראות בתמונה. מצא את הווקטור, הכוח והכיוון שהתקבלו.

פִּתָרוֹן

בחלק הקודם נמצא הווקטור שהתקבל על ידי יישום שיטת ההקבלה (בטורקיז באיור).

דרך קלה למצוא את הווקטור המתקבל באופן אנליטי היא לבטא את וקטורי התוספת מבחינת הרכיבים הקרטזיים שלהם, וזו משימה קלה כאשר ידועים מודולוס וזווית, כמו הווקטורים בדוגמה זו:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2.12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

v _x = v. sin 60º = 1.8 x sin 60º = 1.56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0.9

הווקטורים u ו- v הם וקטורים השייכים למישור, ולכן הם בעלי שני מרכיבים כל אחד. וקטור u נמצא ברבע הראשון ורכיביו חיוביים, ואילו וקטור v נמצא ברבע הרביעי; רכיב ה- x שלו חיובי, אך השלכתו על הציר האנכי נופלת על ציר ה- Y השלילי.

חישוב המרכיבים הקרטזיים של הווקטור המתקבל

הווקטור המתקבל נמצא על ידי הוספת אלגברית של רכיבי ה- x וה- Y המתאימים, לקבלת הרכיבים הקרטזיים שלהם:

R _x = 2.12 + 1.56 = 3.68

R _y = 2.12 + (-0.9) = 1.22

לאחר ציון הרכיבים הקרטזיים, הווקטור ידוע לחלוטין. ניתן לבטא את הווקטור המתקבל עם הסימון בסוגריים:

R = <3.68; 1.22> יחידות שרירותיות

סימון סוגריים משמש כדי להבדיל וקטור מנקודה במישור (או בחלל). דרך נוספת לבטא את הווקטור המתקבל באופן אנליטי היא באמצעות וקטורי היחידה i ו- j במישור ( i , j ו- k במרחב):

R = 3.68 i + 1.22 j יחידות שרירותיות

מכיוון ששני המרכיבים של הווקטור המתקבל הם חיוביים, הווקטור R שייך לרבע הראשון שכבר נראה גרפי בעבר.

גודל וכיוון של הווקטור המתקבל

ידיעת רכיבים קרטזית, סדר הגודל של R מחושבת באמצעות משפט פיתגורס, מאז וקטור וכתוצאה R , יחד עם מרכיביו R _x ו- R _ו- יוצרים משולש ישר זווית:

גודל או מודול: R = (3.68 ² + 1.22 ² ) ^½ = 3.88

כיוון q לוקח את ציר ה- x החיובי כהפניה: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1.22 /3.68) = 18.3 º

הפניות

1. הוספת וקטורים וכללים. נשלח מ: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. סדרה: פיזיקה למדעים והנדסה. כרך 1. קינמטיקה. 31-68.
3. גוּפָנִי. מודול 8: וקטורים. התאושש מ: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. מכניקה למהנדסים. סטָטִי מהדורה 6. חברת הוצאת קונטיננטל. 15-53.
5. מחשבון תוספת וקטורית. נלקח מ: www.1728.org